2021年浙江省高中數(shù)學聯(lián)賽試題（含參考答案）20212021浙江初賽試題第頁2021年浙江省高中數(shù)學聯(lián)賽試題2021.4.15一、填空題己知。為正實數(shù)，且-一是奇函數(shù)，則/W的值域為a収+12018設數(shù)列｛暫｝滿足ax=l,an+i=5an+1（用-1,2,…），則￡兔=口3+3+sin(八12r亦a14丿4cos(a十/?)=—,在八個數(shù)字2,4,6,7,8414243中任取兩個組成分數(shù)。這些分數(shù)中有個既約分數(shù)。已知虛數(shù)z滿足z3+l=0,則&設網(wǎng)=l（k若平面上點尸滿足，對于任意蟲R,有JP-tAB>3,則PAPH的最小值為t此時\pa^pb\=o7.在△如?C中,AB+AC=7且一角形的面積為4,則血厶4的最小值為8”設/(a)=|^+1|+|a|-|a-2H則/(/(x))+l=0有個不同的解*設滿足-60-4少刁+12=0,則x的取值范圍為四面體P-ABC,PA=BC=伍,PB=AC=^,PC+B=尿,則該四面體外接球的半徑為o二、解答題（本題滿分如分）已知動直線f與圓O：相切，與橢Hy+/=1相交于不同的兩點求原點到」40的中垂線的最大距離°（本題滿分20分）設acR,且對任意實數(shù)b均有maxx1+ax+b>1,求◎的re[0,l]取值范圍?！脖绢}滿分20分)設實數(shù)加,…,％滿足W+15申(“12…,2016)和2018,[[兀二1,證明：^1009^1010'1◎rt=l14+〔本題滿分30分)將加(?>2)個不同整數(shù)分成兩組瑪4,…心；?息…心。證明工g|-z(耳-叩+1勺-勺|)才\<i<n15.〔本題滿分30分)如圖所示將同心圓環(huán)均勻分成"C?>3)Mn在內環(huán)中固定數(shù)字1?用°問能否將數(shù)字］?找填入外環(huán)格內，使得外環(huán)旋轉任意格后有且僅有一個格中內外壞的數(shù)字相同？

參考答案1.解由加為奇函數(shù)可知〉￡=￡穢寸解得“2,即心寺磊,由此得/（力的值域為O2._11S"1解由<??+i=5</n+1=>an+i+--5(c?n+-)=>=~r~~;j所以444420L?In=l耳+空+…+20L?In=l耳+空+…+5叩）一20184_5佔期lx?620184807716^3jT5665^3jT56653.43Jr5'遊S+Q〒徵嗆+加-嚴如-曠-了所以=cds(cj+/?)cos(df-—)+sin(6r+^)sin(6r-—)=444.解在7,11J3中任取一個整數(shù)與在W,8t12中任取一個整數(shù)構成既約分數(shù)，共有2C]C*=30種；在7J1.13中任取兩個整數(shù)也構成既約分數(shù)，共有=6中。合計有36種不同的既約分數(shù)。5.解P+1=0n+1）（于一2+1）=0二＞芝‘一2+1=0,所以&解由阿T喬卜3可知點尸到直線血的距離為丸設蟲*的中點為。口由極化恒等式得=+W-(^-WH-{(2W)2-102}>-{36-100}=-16o444此時PA+P/3=607.49解由AH+AC=7^ABxAC<—,又4327-/l^xJCsinZA=4^>sinZA>—==-時取等號。4928.-jc-3,x<-1因為/（x）^|x+因為/（x）^|x+1|+|x|-|jc-2|=^x-L-l<x<03x-tO<x<2由/（/⑴）+1=0得到j?、7或/(對=0。由/(x)=-2,得一個解x=-l;由f{x)=0得兩個解x二一遼二*,共3個解＜,9.解由兀-60-心-廠12=0=（店-尸-2尸+（"-3尸=1.令Jx-尹-2-cos^j^/y-3—sin0nx—（2十cos^）:+（3+sin0）2=14+a/52=14+a/52sin（6?+（9）（sin^=2TFT）,所以14-2V13<^<14+271310.解將四面體還原到?個長方體中「設該長方體的長、寬、高分別為sb,則a2+戻=10^2+?=8=/+臚+寸=12,所以四面體外搖球的半徑為J5°a2-^c2-6■.11?

解依題意可設=+*0）-因為直線f與圓O相切，所以，O到直線f的距離為1,即mJl+Fy=kx+旳宀9才_9=0得（1+9尸）/+必如處十（9y=kx+旳宀9才_9=0得（1+9尸）/+必如處十（9腫一9）二0得到x}+x2=]^kni1+9?所以/!好的中點坐標為（9kmml+9jt2l+9/r-10分O到直線中垂線的距離=1代入"啤V1+A2O到直線中垂線的距離=1代入"啤V1+A2得姑由均值不等式,1+療26環(huán)故M的中垂線方程為曠俵=*+將）'化簡得”如鵲r=o?15分當且僅當|i|=y時取等號。所以，當|心芻⑷=字叭原點到初的中垂線的最大距離為'20分12.解1設f(x)=x2+b,對于,所以只要考慮\b\<[.當-中蘭0時，即^>0.此時函數(shù)八巧的最值在拋物線的左右端點取得，對任意網(wǎng)《1有/⑴二1+口+心/(0)二辦，所以于⑴二1+0+21，TOC\o"1-5"\h\z解得^>lo10分當0時，即-l<a<0,此時函數(shù)/(對的最值在拋物線的頂慮和右端點取得，而對"0有|/(1)|=|1十*1川一步]于<1.⑶當學-*1時，即此時函數(shù)/'(巧的最值在拋物線的頂點和M丄左端點取得，而對〃"有孑(0}|二問彳)二手15分⑷當-彳工1時，即a<-2,此時函數(shù)/(x)的最值在拋物線的左右端點取得，對任意問<1有f(O)|=0|v],所以/(])=|+”肚—],解得^<-3.綜上疚仝1或口E—3<j20分解2設m-maxa:2+￡7；v+6L則有工日叮]|m>\b\,m>\}+a+b^>2m>”|+1+口+b>1+a|依題意，+>1=>a>\或2u冬一3□13.

證明：由條件兀屁+=同號口反證法，假設xlh(wxl01()>1c(1)若州卯，工劇。問為正數(shù)，由兀,％十2問百可知哥，習,***，也0卅問號。.**.**5由兀+1—兀由兀+1—兀f斗十2=><兀葉2_心OOT<卞仙0<玄1011尤1004尤1&09-^101010分15分10分15分矛盾勺=>爲劇工]創(chuàng)0蘭n工L們L工100*>同理沁_二遇?沁玉Hu?沁二血二曲血工(0|2>1*10(/7-^1008-^1007-^lOlO^L&]1^1030類似可證明:20IB因此匸[?！?gt;1,Ji=l⑵若和奶臨m同為負數(shù)，由孔忑+2同號可知弘心…,％g均為負數(shù)，仍然有攵二蘭斗Ep^―<—7類似(1)可證得口加分嘰兀+i14.證明令町二工|外—勺卜工(耳―如+1?—Q|),下面用歸納法證明]<f<wKi<j<>n1可血當n^l時，不妨設ffj<alyb}<b2>a2<b2DTi=匾一叫|+覘一為|+1切一碣|+|切一對一匾一嶼卜恢一殲I，TOC\o"1-5"\h\z當口]<切n『2=q—t?]+&+g◎>2;5分當函>勺二>廠產(chǎn)為一礙+坷+$>2<p1()分假設對正整數(shù)〃成立，對正整數(shù)丹+1,不妨設a.w%<…<<%<…<<b*再設bk<an+i<bk+]t則有科w祁稈人+i=X臥+]-?I+工k+i_^I_X庇+i-a]~￡忙|-fej+|^+i-￡+」+Tnj=1r=lr=li=l■■■15分nnnh下證￡為-磯|+工憶+i-引-E陽十i-毎|-工肉+i-旬|》0of=\i=\i=\i=\由(1)如<%<齢仗二1,2,，得到科円科觀曲-?|+￡|%-引-￡|%-坷I-￡0曲-勺1=1f=li=ii=la=225f=Jt+lnrnn⑵若暫+1",則Yl%+1-碣|+刃昭-$|-工|粘|-碼I-工冋+】-鳥|i=li=la=lj=l=工(也一5[)>J如分i=l15.解答：設對應于內環(huán)1Z…，門的外環(huán)數(shù)字為—7,它是數(shù)字1Z門的一個排列。對k=、2…』,記外環(huán)數(shù)字在按順時針方向轉動人格時，和內環(huán)數(shù)字相同，即TOC\o"1-5"\h\zik-k=jkmodk=12…訂ioio分根據(jù)題意，丿［J』,…,人應是0,1,2，…丿-1的排列口