集合集合及其表示方法第一課時集合的概念學(xué)習(xí)目標(biāo).通過實例，了解集合的含義,體會元素與集合的關(guān)系,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng)..針對具體問題,能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上,用符號語言刻畫集合，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)..在具體情境中，了解空集的含義,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)..集合的概念⑴集合:把一些能夠確定的、丕國的對象匯集在一起,就說由這些對象組成一個集合（有時簡稱為集）.集合通常用英文大寫字母A,B,C,…表示.⑵元素:組成集合的每個對象都是這個集合的元素.集合的元素通常用英文小寫字母a,b,c,…表示.思考1：集合中的元素只能是數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式嗎？答案:組成集合的元素除了常見的數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式等數(shù)學(xué)對象,也可以是其他任何形式的對象，只要是有確定標(biāo)準(zhǔn)的對象即可.另外,一個集合也可以是另一個集合的元素..元素與集合的關(guān)系.空集關(guān)系語言描述記法讀法屬于a是集合A的元素a_GAa屬于A不屬于a不是集合A的元素a^Aa不屬于A一般地，我們把不含任何元素的集合稱為空集,記作0..集合相等給定兩個集合A和B,如果組成它們的元素完全相同,就稱這兩個集合相等,記作A5B..集合元素的三個特點(diǎn).集合的分類及常用數(shù)集特點(diǎn)意義確定性集合的元素必須是確定的,即給定元素a和集合A,A與a建A必居其一互異性對于一個給定的集合,集合中的元素一定是不同的,即aeA,且b￡A時,必有aWb無序性集合中的元素可以任意排列(1)集合的分類①有限集：含有有限個元素的集合稱為有限集;空集可以看成包含0個元素的集合，所以是有限集.②無限集:含有無限個元素的集合稱為無J1集.⑵常用數(shù)集思考2:非負(fù)整數(shù)集與正整數(shù)集有何區(qū)別？最小的自然數(shù)是什么？名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN.或N*ZQR答案:非負(fù)整數(shù)集包括0,而正整數(shù)集不包括0.由于自然數(shù)又稱為非負(fù)整數(shù)，因此最小的自然數(shù)是0.關(guān)于空集的理解：（1）空集是一個實實在在的集合，只不過此集合中沒有任何元素,故稱為空集.例如，由“方程x2+l=0的實數(shù)根”組成的集合，因為沒有適合該集合的元素,所以它是空集.（2）不要將實數(shù)0或只含一個元素0的集合與空集混為一談.實數(shù)0只能作為元素出現(xiàn)，它不是集合,只含一個元素0的集合不等同于空集，因為它含有元素，只不過是0而已.至探③點(diǎn)二集合的概念［例1］下列所給的對象能組成集合的是.①比較接近1的數(shù)的全體；②某校高一年級所有16歲以下的學(xué)生；③平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)的集合；④所有參加2018年平昌冬季奧運(yùn)會的年輕運(yùn)動員；⑤近的近似值的全體.解析:①不能組成集合，因為“比較接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不確定，故不能組成集合；②能組成集合，其中的元素是“某校高一年級16歲以下的學(xué)生”；③能組成集合,其中的元素是“平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)”；④不能組成集合，因為“年輕”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的、不確定的，故不能組成集合；⑤不能組成集合，因為“式的近似值”未明確精確到什么程度，因此很難斷定一個數(shù)是不是它的近似值,所以不能組成集合.答案:②③判斷一組對象能否組成集合的關(guān)鍵是看該組對象是否具有明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對于任何一個對象,都能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不是給定集合的元素.應(yīng)特別注意,含有不確定的對象,如本例中①④,都不是數(shù)學(xué)意義上的集合.針對訓(xùn)練:下列對象能組成集合的是（）A.高一年級全體較胖的學(xué)生B.無限接近0的數(shù)C.全體很大的自然數(shù)D.平面內(nèi)到aABC三個頂點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)解析:對于A,因為較胖學(xué)生沒有一個確定的標(biāo)準(zhǔn),所以高一年級較胖的學(xué)生,不滿足集合中元素的確定性,故A錯誤;對于B,不滿足集合元素的確定性，故B錯誤;對于C,由于全體很大的自然數(shù)沒有一個確定的標(biāo)準(zhǔn),所以不滿足集合元素的確定性，故C錯誤;對于D,平面內(nèi)到4ABC三個頂點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn),就是AABC外接圓的圓心,滿足集合的定義,D正確.故選D.［備用例1］（多選題）下列各組對象能構(gòu)成集合的是（）A.2019籃球世界杯參賽隊伍B.中國文學(xué)四大名著C.我國著名的河流D.我國的直轄市解析:A,B,D所表示的對象都能確定,能組成集合；選項C“我國著名的河流”，怎樣算著名，不能確定,不能組成集合.故選ABI).⑨探究點(diǎn)二元素與集合之間的關(guān)系[例2](1)下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是()①兀WR;②應(yīng)住Q;③OWN*;④|-5|他.A.1B.2C,3D.4⑵己知集合A含有三個元素2,4,6,且當(dāng)aEA時，有6-aGA,那么a為()A.2B.2或4c.4D.0解析：(1)兀是實數(shù);魚是無理數(shù);0不是正整數(shù)；1-5|=5,5是正整數(shù),則①②正確.故選B.(2)由題知,a=2eA,6-a=4eA,所以a=2,或者a=4EA,6-a=2￡A,所以a=4.綜上知，a=2或4.故選B.判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法⑴直接法:如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.⑵推理法:對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征.針對訓(xùn)練：已知集合A中的元素x是被3除余2的整數(shù),則有17A-5A（用'飛”填空）.解析：由題意可設(shè)x=3k+2,k￡Z,令3k+2=17,得k=5￡Z,所以17￡A.令3k+2=-5,得k=-，Z,所以-5住A.答案：￡生您好^集合中元素的特性[例3]（8分）已知集合A由元素12,9+4a,a-2組成,且-3@A,求實數(shù)a的值.規(guī)范解答：因為集合A由元素12,9+4a,a-2組成,且-3《A,所以9+4a=-3或a-2=-3.2分當(dāng)9+4a=-3時,a=-3,4分若a=-3,則9+4a=-3,a-2=-5,滿足題意;6分當(dāng)a-2=-3時，，解得a=-l,若a=-l,則9+4a=5,a-2=-3,滿足題意.7分綜上，a=-l或a=-3.8分變式探究:若條件“-3WA”改為“16a+28《A”，求實數(shù)a的值.解:因為集合A由元素12,9+4a,a-2組成,且16a+28EA,所以16a+28=12或16a+28=9+4a或a-2=16a+28.當(dāng)16a+28=12時，a=T,經(jīng)檢驗滿足題意；當(dāng)9+4a=16a+28時，經(jīng)檢驗滿足題意；當(dāng)a-2=16a+28時，a=-2,經(jīng)檢驗滿足題意.綜上可知，a=-l或a=-2或a=--.12處理集合中元素含字母的問題時,在求得其中元素（或字母）的值以后,要充分考慮集合元素的互異性與分類討論思想的應(yīng)用，要進(jìn)行代入檢驗,舍去不符合集合中元素的互異性的值.［備用例2］設(shè)集合M中含有三個元素3,x,x2-2x.⑴求實數(shù)x應(yīng)滿足的條件；⑵若-2￡此求實數(shù)x的值.解：（D由集合中元素的互異性可知，xW3,且x^x2-2x,x?—2xW3.解得xWT,xWO,且xW3.⑵因為-2EM,所以x=-2或x-2x=-2.若x-2x=-2,則x-2x+2=0.因為△=（-2）-4X1X2=-4<0,方程無解；若x=-2,x2-2x=8,滿足題意，所以x=-2..下列說法中正確的個數(shù)為（C）①高一數(shù)學(xué)課本中較難的題組成集合；②大于0的整數(shù)組成集合；③聯(lián)合國安理會常任理事國組成集合；④空集雖然含有0個元素，但空集是有限集.A.1B.2C.3D.4解析：因為較難的題沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，即元素不確定,所以不能組成集合，因此①不正確；大于0的整數(shù)是一個確定的集合，因此②正確；因為聯(lián)合國常任理事國是確定的,所以能組成集合，因此③正確；空集雖然含有0個元素，但空集是有限集,故④正確.故選C..下列五個關(guān)系中，正確的個數(shù)為（C）①|(zhì)￡R;②&CQ;③n&Q;④[-3|制；⑤-A.1B.2C.3D.4解析:算R,故①正確;V2,n都是無理數(shù)，故②正確,③錯誤;|-3|=3eN,故④錯誤;-"=-26Z,故⑤正確.故選C..已知集合A中有四個元素0,1,2,3,集合B中有三個元素0,1,2,且元素