2.6帶電粒子在勻強磁場中的運動——有界磁場中的動態(tài)分析何為有界磁場？帶電粒子在勻強磁場中的運動（2）V⊥B勻速圓周運動（1）V//B勻速直線運動課前導(dǎo)學(xué)（1）圓心的確定質(zhì)疑討論一、如何確定帶電粒子圓周運動圓心O、半徑r和運動時間tO已知帶電粒子經(jīng)過軌跡圓上兩點及其速度確定圓心

方法一：過兩點作速度的垂線，兩垂線交點即為圓心。ABVVO例：質(zhì)量為m帶電量為e的電子垂直磁場方向從M點進入，從N點射出，如圖所示，磁感應(yīng)強度為B，磁場寬度d，求粒子的初速度多大？MNVV300dB30°1.圓心在哪里?2.軌跡半徑是多少?思考OBdv例3：r=d/sin30o

=2d

r=mv/qBt=（30o/360o）T=T/12T=2πm/qBT=2πr/v小結(jié)：rt/T=30o/360oA=30°vqvB=mv2/rt=T/12=πm/6qB3、偏轉(zhuǎn)角=圓心角1、兩洛倫茲力的交點即圓心2、偏轉(zhuǎn)角：初末速度的夾角。4.穿透磁場的時間如何求？3、圓心角θ=?θ

t=T/12=πd/3vm=qBr/v=2qdB/vFFO已知帶電粒子經(jīng)過軌跡圓上兩點及一點的速度，確定圓心

方法二：過已知速度的點作速度的垂線和兩點連線的中垂線，兩垂線交點即為圓心。ABV帶電粒子在磁場中運動問題的解題思路找圓心畫軌跡1、已知兩點速度方向2、已知一點速度方向和另一點位置兩洛倫茲力方向的延長線交點為圓心弦的垂直平分線與一直徑的交點為圓心v1Ov2ABv1ABO定半徑1、找圓心：方法2、定半徑：3、確定運動時間：注意：θ用弧度表示幾何法求半徑向心力公式求半徑利用v⊥R利用弦的中垂線t=（

θ

o/360o）T一、確定帶電粒子在有界磁場中運動軌跡的方法反饋矯正

問題1.如圖所示，在y＜0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙里，磁感應(yīng)強度為B.一帶負電的粒子（質(zhì)量為m、電荷量為q）以速度v0從O點射入磁場，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為θ.求：（1）該粒子射出磁場的位置；（2）該粒子在磁場中運動的時間.（所受重力不計）θθ質(zhì)疑討論二、粒子速度方向不變，速度大小變化

粒子運動軌跡的圓心都在垂直于初速度的直線上，速度增加時，軌道半徑隨著增加，尋找運動軌跡的臨界點返回問題變化１:(1)若速度方向不變,使速度的大小增大,則該粒子在磁場中運動時間是否變化?θ問題變化２:(2)若速度大小不變,速度方向改變,則軌跡圓的圓心的軌跡是什么曲線?質(zhì)疑討論此時由于速度大小不變，則所有粒子運動的軌道半徑相同，但不同粒子的圓心位置不同，其共同規(guī)律是：所有粒子的圓心都在以入射點為圓心，以軌道半徑為半徑的圓上，從而找出動圓的圓心軌跡，再確定運動軌跡的臨界點。結(jié)果討論問題變化３：若磁場的下邊界為y=L則為使粒子能從磁場下邊界射出，則v0

至少多大？題型3帶電粒子在磁場中運動的極值問題【例3】

如圖7所示,勻強磁場 的磁感應(yīng)強度為B,寬度為d,邊界 為CD和EF.一電子從CD邊界外 側(cè)以速率v0垂直勻強磁場射入,

入射方向與CD邊界間夾角為θ.

已知電子的質(zhì)量為m,電荷量為e,

為使電子能從磁場的另一側(cè)EF射 出,求電子的速率v0至少多大?圖7思維導(dǎo)圖解析

當(dāng)入射速率v0很小時,電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從CD一側(cè)射出,速率越大,軌道半徑越大,當(dāng)軌道的邊界與EF相切時,電子恰好不能從EF射出,如圖所示.電子恰好射出時,由幾何知識可得:r+rcosθ=d ①又r= ②由①②得v0= ③故電子要射出磁場時速率至少應(yīng)為答案規(guī)律總結(jié)1.解決此類問題的關(guān)鍵是:找準(zhǔn)臨界點.2.找臨界點的方法是:以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口,借助半徑R和速度v（或磁場B）之間的約束關(guān)系進行動態(tài)運動軌跡分析,確定軌跡圓和邊界的關(guān)系,找出臨界點,然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值,常用結(jié)論如下:（1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切.（2）當(dāng)速度v一定時,弧長（或弦長）越長,圓周角越大,則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長.（3）當(dāng)速率v變化時,圓周角大的,運動時間越長.題型1帶電粒子在有界磁場中的運動【例1】在以坐標(biāo)原點O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi),存在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場,如圖

4所示.一個不計重力的帶電 粒子從磁場邊界與x軸的交 點A處以速度v沿-x方向射入 磁場,它恰好從磁場邊界與y

軸的交點C處沿+y方向飛出.題型探究圖4（1）請判斷該粒子帶何種電荷,并求出其比荷.（2）若磁場的方向和所在空間范圍不變,而磁感應(yīng)強度的大小變?yōu)锽′,該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場,但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角,求磁感應(yīng)強度B′多大？此次粒子在磁場中運動所用時間t是多少？思路點撥如何確定帶電粒子的圓心和運動軌跡?磁場圓的半徑與軌跡圓的半徑有怎樣的定量關(guān)系?解析（1）由粒子的運行軌跡,利用左手定則可知,該粒子帶負電荷.粒子由A點射入,由C點飛出,其速度方向改變了90°,則粒子軌跡半徑R=r又qvB=則粒子的比荷（2）粒子從D點飛出磁場速度方向改變了60°角,故AD弧所對圓心角為60°,如右圖所示.粒子做圓周運動的半徑R′=rcot30°=r又R′=所以B′=B粒子在磁場中運行時間t=答案

（1）負電荷（2）二．帶電粒子在平行直線邊界磁場中的運動①速度較小時，作半圓運動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出SBPSSQPQQ①速度較小時，作圓周運動通過射入點；②速度增加為某臨界值時，粒子作圓周運動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出圓心在過入射點跟跟速度方向垂直的直線上圓心在過入射點跟邊界垂直的直線上圓心在磁場原邊界上量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)P①速度較小時，作圓弧運動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出三．帶電粒子在矩形邊界磁場中的運動oBdabcθB圓心在磁場原邊界上圓心在過入射點跟速度方向垂直的直線上①速度較小時粒子作半圓運動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)時從側(cè)面邊界飛出；③速度較大時粒子作部分圓周運動從對面邊界飛出。①速度較小時粒子做部分圓周運動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)從上側(cè)面邊界飛；③速度較大時粒子做部分圓周運動從右側(cè)面邊界飛出；④速度更大時粒子做部分圓周運動從下側(cè)面邊界飛出。量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切）例4.如圖所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，在ad邊中點O方向垂直磁場射入一速度方向跟ad邊夾角θ=300

、大小為v0的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為m、電量為q，ab邊足夠長，ad邊長為L，粒子的重力不計。求：⑴.粒子能從ab邊上射出磁場的v0大小范圍。⑵.如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場中運動的最長時間。V0OabcdV0Oabcdθ300600●●例2．如圖,在一水平放置的平板MN上方有勻強磁場,磁感應(yīng)強度的大小為B,磁場方向垂直于紙面向里,許多質(zhì)量為m,帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,不計重力,不計粒子間的相互影響.下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域,其中R=mv/qB.哪個圖是正確的?MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.解：帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,由R=mv/qB,各個粒子在磁場中運動的半徑均相同,在磁場中運動的軌跡圓圓心是在以O(shè)為圓心、以R=mv/qB為半徑的1/2圓弧上,如圖虛線示:各粒子的運動軌跡如圖實線示:帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域陰影部分如圖斜線示2RR2RMNO變式練習(xí)2電子質(zhì)量為m,電荷量為e,從坐標(biāo)原點O處沿xOy平面射入第一象限,射入時速度方向不同,速度大小均為v0,如圖8所示.現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場,磁感應(yīng)強度為B,若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上,熒光屏與y軸平行,求:（1）熒光屏上光斑的長度.（2）所加磁場范圍的最小面積.圖8解析

（1）如右圖所示,求光斑的長度,關(guān)鍵是找到兩個邊界點沿弧OB運動到P,初速度方向沿y軸正方向的電子,初速度方向沿x軸正方向的電子,沿弧OC運動到Q.設(shè)粒子在磁場中運動的半徑為R,由牛頓第二定律得:qv0B=m,即R=從圖中可以看出PQ=R=（2）沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后都能垂直打到熒光屏MN上,所加最小面積的磁場的邊界是以O(shè)′為圓心、坐標(biāo)為（0,R）、半徑為R的圓的一部分,如圖中實線包圍面積.所以磁場范圍的最小面積S=πR2+R2-πR2=（+1）（）2答案

（1） （2）（+1）（）25.如圖14所示,邊長為L的等邊三角形ABC為兩個有界勻強磁場的理想邊界,三角形內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外,磁感應(yīng)強度大小為B,三角形外的磁場(足夠大)方向垂直紙面向里,磁感應(yīng)強度大小也為B.把粒子源放在頂點A處,它將沿∠A的角平分線發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q、初速度為v= 的負電粒子(粒子重力不計).求:圖14(1)從A射出的粒子第一次到達C點所用時間為多少?(2)帶電粒子在題設(shè)的兩個有界磁場中運動的周期.解析

(1)帶電粒子垂直進入磁場,做勻速圓周運動qvB=T=將已知條件代入有r=L從A點到達C點的運動軌跡如圖所示,可得tAC=TtAC=(2)帶電粒子在一個運動的周期運動軌跡如第(1)問圖所示.粒子通過圓弧從C點運動至B點的時間為tCB=帶電粒子運動的周期為TABC=3(tAC+tCB)解得TABC=答案

(1) (2)6.如圖15所示,在直角坐標(biāo)系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中 的直角三角形區(qū)域內(nèi),分布著磁感應(yīng)強度均為B=5.0× 10-2T的勻強磁場,方向分別垂直紙面向外和向里.質(zhì) 量為m=6.64×10-27kg、電荷量為q=+3.2×10-19C的 粒子(不計粒子重力),由靜止開始經(jīng)加速電壓為

U=1205V的電場(圖中未畫出)加速后,從坐標(biāo)點M

(-4,)處平行于x軸向右運動,并先后通過勻強磁場 區(qū)域.圖15

(1)請你求出粒子在磁場中的運動半徑. (2)請你在圖中畫出粒子從直線x=-4到直線x=4之間的運動軌跡,并在圖中標(biāo)明軌跡與直線x=4交點的坐標(biāo). (3)求出粒子在兩個磁場區(qū)域偏轉(zhuǎn)所用的總時間.

解答(1)粒子在電場中被加速,由動能定理得

qU=mv2

粒子在磁場中偏轉(zhuǎn),由牛頓第二定律得

qvB=聯(lián)立解得r== m=×10-1m(2)如下圖所示(3)帶電粒子在磁場中的運動周期T=

粒子在兩個磁場中偏轉(zhuǎn)的角度均為,在磁場中的運動總時間t===6.5×10-7s反思總結(jié)返回小結(jié)1.帶電粒子進入有界磁場,運動軌跡為一段弧線.2.當(dāng)同源粒子垂直進入磁場的運動軌跡3.注意圓周運動中的有關(guān)對稱規(guī)律:(2)粒子進入單邊磁場時,入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角;(1)在圓形磁場區(qū)域內(nèi),沿徑向射入的粒子,必沿徑向射出.O3rrO4rrO2rrO1rrOS一朵梅花五．帶電粒子在磁場中運動軌跡賞析O1O2O3Ld一把球拍aaOxyvvP甲乙tB-B0B00T2T一條波浪aaOxPvO1aaOxPvO1O3O2oABv0o1rrPQ一顆明星aaBv0一幅窗簾v0v0

一勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場分布在以O(shè)為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)。一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速度為v，方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖所示。不計重力影響。求磁場的磁感應(yīng)強度B的大小和

xy平面上磁場區(qū)域的半徑R。30°LxyOPv由幾何關(guān)系知