*5.4

最佳平方逼近*5.4.1

最佳平方逼近及其計算最佳平方逼近問題:對f(x)∈C[a,b]及C[a,b]中的一個子集若存在函數(shù),使下式成立則稱S*(x)是f(x)在子集中的最佳平方逼近函數(shù).為了求S*(x),由上式可知該問題等價于求多元函數(shù)的最小值.由于I(a0,a1,…,an)是關(guān)于a0,a1,…,an的二次函數(shù)，利用多元函數(shù)求極值的必要條件即于是有是關(guān)于a0,a1,…,an的線性方程組，稱為法方程，即由于函數(shù)組線性無關(guān)，故系數(shù)矩陣的行列式非零，即從而得到最佳平方逼近函數(shù)于是方程組有唯一解

下面證明S*(x)滿足最佳平方逼近的定義，即但我們只需證明為此我們只要考慮由于S*(x)的系數(shù)ak*是法方程的解，故從而上式第二項積分為0.于是可得即得S*(x)必定是所求函數(shù)f(x)的最佳平方逼近函數(shù).注：若取則要在Hn中求n次最佳平方逼近多項式此時若用H表示對應(yīng)的矩陣，即則稱H為希爾伯特(Hilbert)矩陣，若記向量則法方程為其解ak=

ak*(k=0,1,…,n),即得所求最佳平方多項式為的系數(shù).

解

由公式有得法方程組

例1

求

在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項式.解出故得所求的一次最佳平方逼近多項式為平方誤差為最大誤差為注：若用{1,x,…,xn}做基，求最佳平方多項式，計算簡單，但當(dāng)n較大時,系數(shù)矩陣H是高度病態(tài)的(見第2章),因此直接求解法方程是相當(dāng)困難的，故通常是采用正交多項式做基底構(gòu)造最佳平方多項式.*5.4.2

用正交函數(shù)族作最佳平方逼近

設(shè)f(x)∈C[a,b]，若是正交函數(shù)族，即滿足故法方程的系數(shù)矩陣為非奇異對角陣，即立刻得到法方程的解為于是f(x)∈C[a,b]在φ中的最佳平方逼近函數(shù)為可得均方誤差為

下面考慮函數(shù)f(x)∈C[-1,1]，按勒讓德多項式{P0(x),P1(x),…,Pn(x)}展開，由公式可得其中平方誤差為

解

先計算(f(x),Pk(x))(k=0,1,2,3)

例2

求f(x)=ex在[-1,1]的三次最佳平方逼近多項式.由公式解得得三次最佳平方逼近多項式為可得均方誤差為可得最大誤差為注1：

如果f(x)∈C[a,b]，求[a,b]上的最佳平方逼近多項式，做變換于是在[-1,1]上可用勒讓德多項式做最佳平方逼近多項式

S*(t)，從而可得到區(qū)間[a,b]上的最佳平方逼近多項式注2：由于勒讓德多項式{Pk(x)}是在[-1,1]上由多項式基{1,x,…,xn,…}正交化得到的，因此利用函數(shù)的勒讓德展開得到最佳平方逼近多項式與由直接通過解法方程得到Hn中的最佳平方逼近多項式是一致的，但是當(dāng)n較大時法方程出現(xiàn)病態(tài)，計算誤差較大，不能使用，而用勒讓德展開不用解線性方程組，不存在病態(tài)問題，計算公式比較方便，因此通常都用這種方法求最佳平方逼近多項式.*5.5

最佳一致逼近多項式5.5.1

基本概念及其理論

本節(jié)討論f∈C[a,b]，在Hn=span{1,x,…,xn}中求多項式Pn*(x)

，使其誤差這就是通常所謂最佳一致逼近或切比雪夫逼近問題.

最佳一致逼近多項式問題定義1設(shè)Pn(x)∈Hn，f(x)∈C[a,b],稱為f(x)與Pn(x)在[a,b]上的偏差.

顯然,的全體組成一個集合，記為{},它有下界0.若記集合的下確界為

則稱之為f(x)在[a,b]上的最小偏差.定義2假定f(x)∈C[a,b],若存在Pn*(x)∈Hn使得則稱Pn*(x)是f(x)在[a,b]上的最佳一致逼近多項式或最小偏差逼近多項式.

注意,定義并未說明最佳逼近多項式是否存在,但可以證明下面的存在定理.

定理1

若f(x)∈C[a,b],則總存在Pn*(x)使證明略.就稱x0是P(x)對f(x)的偏差點.若稱x0為“正”偏差點.

為了研究最佳逼近多項式的特性，先引進偏差點的定義.

定義3(偏差點定義)設(shè)f(x)∈C[a,b]，P(x)∈Hn，若在x＝x0上有若稱x0為“負(fù)”偏差點.

由于函數(shù)P(x)－f(x)在[a,b]上連續(xù),因此,至少存在一個點x0∈[a,b]使

也就是說P(x)的偏差點總是存在的.下面給出反映最佳逼近多項式特征的切比雪夫定理.

定理2(切比雪夫定理

)Pn(x)∈Hn是f(x)∈C[a,b]的最佳逼近多項式的充分必要條件是Pn(x)在[a,b]上至少有n+2個輪流為“正”，“負(fù)”的偏差點，即有n+2個點a≤x1＜x2＜...＜xn+2≤b，使這樣的點組稱為切比雪夫交錯點組.

切比雪夫定理說明用P(x)逼近f(x)的誤差曲線y=P(x)－f(x)是均勻分布的.由這個定理還可得以下重要推論.

定理3

在區(qū)間[-1,1]上所有最高次項系數(shù)為1的n次多項式中,

利用切比雪夫定理可直接得到切比雪夫多項式Tn(x)的一個重要性質(zhì)，即

推論1

若f(x)∈C[a,b]，則在Hn中存在唯一的最佳逼近多項式.(證明略)與零的偏差最小，其偏差為.(證明見p207)

即可以理解為f(x)－Pn-1*(x)與零的偏差等于最小當(dāng)且僅當(dāng)

例1

求f(x)=2x3+x2+2x-1在[-1,1]上的最佳2次逼近多項式.

解

由題意，所求最佳逼近多項式P2*(x)應(yīng)滿足由定理3可知，當(dāng)時，多項式f(x)－P2*(x)與零偏差最小，故就是f(x)在[-1,1]上的最佳2次逼近多項式.*5.5.2

最佳一次逼近多項式

切比雪夫定理給出了最佳逼近多項式P(x)的特性，但要求出P(x)卻相當(dāng)困難.下面討論n=1的情形.假定f(x)∈C2[a,b].且f"(x)在(a,b)內(nèi)不變號，我們要求最佳一次逼近多項式

P1(x)=a0+a1x

，根據(jù)定理可知至少有3個點a≤x1＜x2＜x3≤b，使

由于f"(x)在[a,b]上不變號,故f'(x)單調(diào),f'(x)-a1在(a,b)內(nèi)只有一個零點，記為x2,于是即另外兩個偏差點必定是區(qū)間的端點，即x1=a,x3=b，且滿足由此得到代入到(2)得這就得到最佳一次逼近多項式P1(x)，其方程為由(1)式得

解