第三章空間力系§3-1 回顧

1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影

xyzXiZiYiFiXiZiYiFiX=FsinγcosφY=FsinγsinφZ=Fcosγβαγφxyzγ

X=FcosαY=Fcosβ

Z=Fcosγ2、力的分解3、空間力偶（F,F’)的力偶矩矢力偶矩矢的三要素：

大小、方位和轉(zhuǎn)向ndFF’BAMnMM為自由矢M為自由矢M為自由矢M為自由矢O就是力偶矩的大小?？梢?，與矩心無關(guān)。如圖力偶（F，F(xiàn)’）對O點(diǎn)的矩為：4、匯交力系、力偶系的合成與平衡

合成結(jié)果：

R=ΣFi，M=ΣMi

平衡條件

ΣFi

=0，ΣMi=0§3-2力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩

1.回顧力對點(diǎn)的矩

力F

對點(diǎn)O的矩的矢量MO(F

)，大小為：|MO(F)|=Fh=2△OAB式中△OAB為圖中陰影部分的面積。

MO(F)=r×F力對點(diǎn)的矩矢等于矩心到力的作用點(diǎn)的矢徑與該力的的矢量積。nhrFOABzxyMO(F)力對點(diǎn)的矩矢為定位矢量若以O(shè)

點(diǎn)為原點(diǎn),令

i、j、k分別為坐標(biāo)軸

x、y、z

方向的單位矢量，設(shè)力在三坐標(biāo)軸的投影為

X、Y、Z，則有

r=xi+yj+zk F=Xi+Yj+Zk=(yZ

－zY)i+(zX

－xZ)j+(xY

－yX)k2.力對軸的矩為了度量力對繞定軸轉(zhuǎn)動的物體作用效果，必須了解力對軸的矩。以一個門為例：門上作用一個力F假定門繞z

軸旋轉(zhuǎn)將力F

向z

軸和xy

面分解成兩個分力Fz

和Fxy，顯然力Fxy

使門繞z

軸旋轉(zhuǎn)。FFxyFzzxyOz力對軸的矩之定義 力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對于此平面與該軸的交點(diǎn)的矩的大小。頂著坐標(biāo)軸看力使物體繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)為正。FFxyFzABh即

Mz(F

)=MO(

Fxy)=±

Fxyh=±2△OAB力對軸的矩等于零的情形：①力與軸相交(h=0)②力與軸平行(Fxy=0)一句話:只要力與軸在同一平面內(nèi),力對軸的矩等于零。FxyFxyFzFxyFxyFzFxy力對軸的矩之解析表達(dá)式設(shè)空間中有一個力FyxyxOzXYFxyXYZFA(x,y,z)力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為x，y，z;力F

在三坐標(biāo)軸的投影分別為X，Y，Z;A(x,y,z)A(x,y,z)根據(jù)合力矩定理，得Mz(F)=M

O(Fxy)=MO(X)+MO(Y)=xY

－yX將上式與按同類方法求得的其他兩式合并寫成：M

x

(F)=yZ－zY

My

(F)=zX－xZM

z(F)=xY－yXXYZXYZ手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個力F，它垂直y軸，偏離鉛垂線的角度為α，若CD=a，BC∥x軸，CE∥y軸，AB=BC=l。求力F對x、y和z三軸的矩。例3-1CDEAxzyαFB顯然，

Fx=Fsinα

Fz

=Fcosα由合力矩定理可得：CDEAxzyαFB解法1將力F沿坐標(biāo)軸分解為Fx

和Fz。FxFzMx(F)=M

x(Fz

)=-F

z(AB+CD)=-F(l+a)cosαM

y(F)=M

y(Fz)=-F

z(BC)=-FlcosαM

z(F

)=M

z(Fx)=-F

x(AB+CD)=-F(l+a)sinαFxFzFxFz解法2直接套用力對軸之矩的解析表達(dá)式：力在x、y、z軸的投影為X=FsinαY=0Z=-F

cosαCDEAxzyαFBFxFzM

x(F)=yZ

－zY=(l+a)(-Fcosα)-0=-F(l+a)cosαM

y

(

F)=zX

－xZ=0-(-l)(-Fcosα)=-FlcosαM

z

(F)=xY

－yX=0-(l+a)(Fsinα)=-F(l+a)sinα3.力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩的關(guān)系力對點(diǎn)的矩矢量可以寫成：可得

[MO(

F)]x

=Mx(F)[MO(

F)]y

=M

y

(F)[MO(

F)]z

=M

z(F)MO(

F)=[MO(

F)]x

i

+[MO(

F)]y

j+[MO(

F)]z

k=(yZ

－zY)i+(zX

－

xZ)j+(xY

－yX)k

而

Mx(F)=yZ

－zY

M

y(

F)=zX

－xZ

M

z

(F)=xY

－yX

結(jié)論：力對點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩的關(guān)系（續(xù)）如果力對通過O點(diǎn)的直角坐標(biāo)軸x、y、z的矩是已知的，則力對點(diǎn)O的矩的大小和方向余弦為：圖中力F的大小為10kN，求的力F在x、y、z三坐標(biāo)軸的投影，以及對三坐標(biāo)軸的矩和對O點(diǎn)的矩。(長度單位為m)OxyzA(4,9,5)534例3-2Fijk解：1、先求F的三個方向余弦FF見后續(xù)2、求力的投影（F

=10kN）例3-2（續(xù)1）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：見后續(xù)（求力對軸的矩也完全可以先將力F分解為三個分力，再由合力矩定理分別求出力對軸的矩）例4-2（續(xù)4）4、求力F對O點(diǎn)的矩由

MO(F)=Mx

i+My

j+Mz

k

得：也可以按如下方法求解：§4-3空間力系向一點(diǎn)簡化

O點(diǎn)稱為簡化中心；R’=F1’+F2’+F3’;M

=M1+M2+M3;對于力的數(shù)目為n

的空間任意力系，推廣為：——

力系的主矢——

力系對簡化中心的主矩仍設(shè)物體上只作用三個力F1、F2

和F3，它們組成空間任意力系，在空間內(nèi)任意取一O

點(diǎn)，分別將三力向此點(diǎn)簡化。右擊三按鈕功能相同結(jié)論空間任意力系向一點(diǎn)簡化，可得一力和一個力偶。這個力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O；這個力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩矢。主矢與簡化中心無關(guān)；主矩一般情況下與簡化中心的位置有關(guān)。合力矩定理R=∑Fi

，d=|MO|/R∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R對O點(diǎn)的矩，即

MO

=MO(R)，而又有MO=∑MO(F)∴得關(guān)系式 MO(R)=∑MO(F)即：空間任意力系的合力對于任意一點(diǎn)的矩等于各分力對同一點(diǎn)的矩的矢量和。將上式向任意軸投影（如z

軸）得：

Mz

(R)=∑M

z(F

)OdOdOMOR’R’RR”RMOMOMO主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO與R’即不平行也不正交

。M”O(jiān)=MOsinα；M’O=MOcosα

M’O和R’組成力螺旋，其中心軸距O點(diǎn)的距離為：OOOαR’MOR’R’M”O(jiān)M’OM’OdMOMOMO4、空間力系簡化為平衡的情形主矢R’=0；主矩M

O=0

§4-5空間力系的平衡方程空間力系平衡的充分必要條件：所有力在三個坐標(biāo)軸中的每一個軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對于每一個坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也為零。除了上述的基本方程，還有所謂的4力矩、5力矩和6力矩式。由：得：幾種特殊情形平衡規(guī)律[Ⅰ] 匯交力系∵所有的力矩方程恒等于0∴匯交力系有三個平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑Z=0[Ⅱ] 平行力系（假定力的作用線平行z軸） ∵∑X≡0，∑Y≡0，∑Mz≡0 ∴平行力系有三個平衡方程：

∑Z=0，∑M

x

=0，∑M

y

=0[Ⅲ] 平面一般力系（假定力的作用面為Oxy面）∵∑Z≡0，∑Mx

≡0，∑My

≡0∴平面一般力系有三個平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑M

z=0§4-6空間約束的類型及其約束反力約束反力未知量約束類型AFAAFAzFAyA徑向軸承圓柱鉸鏈鐵軌蝶鉸鏈空間約束的類型及其約束反力(2)約束反力未知量約束類型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形鉸鏈止推軸承導(dǎo)向軸承萬向接頭空間約束的類型及其約束反力(3)約束反力未知量約束類型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy帶有銷子的夾板導(dǎo)軌空間的固定端支座§4-7空間力系平衡問題舉例例4-3均質(zhì)長方形薄板重W=200N，用球形鉸鏈A和蝶形鉸鏈B固定在墻上，并用二力桿EC將板維持水平。求EC桿的拉力和鉸鏈的反力。WZBXBZAYAXAT解：受力分析如圖CADBabyxzE30°60°ZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBT空間任意力系的平衡方程有六個，所以對于空間任意力系作用下平衡的物體，只能求解六個未知量。本節(jié)基本目的：①受力分析②平衡方程的建立③解題技巧例4-3(續(xù)）∑X=0，XA+XB－Tcos30osin30o=0∑Y=0，YA

－Tcos30ocos30o=0∑Z=0，ZA

+ZB－W+Tsin30o=0WZBXBZAYAXATCADBabyxzE30°60°ZAYAXAZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBTZBXBT∑Mz

(F

)=0，X

B·

a=0∑Mx

(F)=0，Z

B·a+Tsin30°·a

－

W·a/2=0∑My

(F

)=0，W·b/2－

Tsin30

°

·b

=0

解之得：XA=86.6N，YA=150N，ZA

=100N

X

B

=0，ZB=0，T=200NW=200N圖示三輪小車，自重P=8kN，作用于點(diǎn)E，載荷P1=10N，作用于點(diǎn)C。求小車靜止時地面對車輪的反力。例4-4P1PFBFAFD解：以小車為研究對象，受力分析如圖FBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACP10.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACFBFDFBFDFBFDFBFDP例4-4(續(xù)）zxyO∑M

x

(F)=0，2FD

－1.2P

－0.2P1=0FD=5.8kN∑My

(F)=0，1.2FB

－0.8P1－0.6P+0.6FD=0FB

=7.8kN∑Z=0，

FA+FB

+FD

－P1

－P=0FA=4.4kN適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)軸對簡化計算非常重要。FAFAFAFA選取坐標(biāo)軸如圖在圖中，皮帶的拉力F2=2F1，曲柄上作用有鉛垂力F=2000N。已知皮帶輪的直徑

D=400mm，曲柄長R=300mm，α=30o，β=60o。求皮帶拉力和軸承反力。例4-5200mm200mm200mmDRFF2βF1αAB例4-5(2)

(α=30o，β=60o)解:選坐標(biāo)軸如圖∑X=0，F(xiàn)1sin30o+F2sin60o+XA+XB=0∑Y=0，0=0∑Z=0，ZA+ZB-F-

F1cos30o-F2cos60o=0zyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整個軸為對象，受力分析如圖200mm200mmαβ200mmAB(α=30o，β=60o)解:選坐標(biāo)軸如圖∑M

x

(F)=0，400ZB-200F+200F1cos30o+200F2cos60o=0∑M

y

(F)=0，F(xiàn)·R-(F2-F1)·D/2=0∑M

z(F)=0，200F1sin30o+200F2sin60o-400XB=0又有：F2=2F1(由于∑Y≡0，所以只有在題設(shè)條件下可解）解得：F1=3000N，F(xiàn)2=6000N，

XA=-1004N，ZA=9397N，XB

=3348N，ZB

=-1700NzyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB200mm200mmαβ200mmABα=30o，β=60o例4-5(3)水平均質(zhì)板重P，6根直桿用球鉸將板和地面連接，結(jié)構(gòu)如圖。求由板重引起得各桿內(nèi)力。例4-6解：給各桿編號①②③④⑤⑥受力分析，假定各桿均受拉力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6∑MAB=0∑MAE

=0S5=0∑MAC=0S4=0∑MBF

=0S1=0∑MEG=0S3=0∑MFG=0PaBHbADCFGE§4-8重心1.重心的概念及其坐標(biāo)公式

重力是一個分布力系，可足夠精確地視為空間平行力系。一般所謂重力，就是空間平行力系地合力。可以證明不變形的物體（剛體）在地表面無論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線都通過此物體上的一個確定的點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為物體的重心重心的坐標(biāo)公式為了求坐標(biāo)

zC，將物體連同直角坐標(biāo)系Oxyz

一起繞x軸逆時針旋轉(zhuǎn)90°重力的方向并無改變對有x軸取矩，有PzC

=(P1z1+P2z2+…+Pnzn)=∑Pizi△ViMiCPPiyizixizCxCyCxzyOxzyO△ViMiCPiPzizC體積的重心如果物體是均質(zhì)的，單位體積的重量為γ=常量，以△Vi表示微小體積，物體總體積為V=∑△Vi。將

Pi=γ△Vi代入重心公式，得上式的極限為體積重心與比重?zé)o關(guān)，只與物體的體積有關(guān)面積的重心工程中常采用薄殼結(jié)構(gòu)，其厚度與其表面積S相比是很小的，若薄殼均質(zhì)等厚的，則重心公式為PPiyizixizCxCyCxzyOCds線段的重心如果物體是均質(zhì)等截面的細(xì)長線段，其截面尺寸與其長度l相比是很小的，則重心公式為yizixizCxCyCxzyOPPiC重心公式（1）重心公式（2）重心公式（3）重心公式（4）2.確定重心的常用方法當(dāng)物體具有對稱軸、對稱面或?qū)ΨQ中心時，它的重心一定在對稱軸、對稱面或?qū)ΨQ中心上。對于幾何形狀較復(fù)雜的均質(zhì)物體，往往采用分割法和負(fù)面積法分割法負(fù)面積法3.確定重心的常用實(shí)驗(yàn)方法實(shí)驗(yàn)方法多種多樣，但最常見的是懸掛法。CCCC稱重法為了確定具有對稱軸的圖示連桿的重心xC，線先稱出連桿重量

P

。然后將其一端支承于A點(diǎn)，另一端放在磅稱B上，測得兩點(diǎn)的水平距離

l及

B

處的約束反力FB,假定為

G,

由∑MA(F)=0，PxC

－FB

l=0本章小結(jié)1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影

X=FsinγcosφY=FsinβsinφZ=FcosγXiZiYiFiφxyz