相交線與平行線知識點5．1相交線1、鄰補角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系的角,它們的概念及性質如下表：圖形頂點邊的關系大小關系對頂角112∠1與∠２有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠1=∠2鄰補角443∠３與∠4有公共頂點∠３與∠4有一條邊公共,另一邊互為反向延長線.∠3＋∠４=１80°余角和補角:1、余角：假如兩個角的和等于90°,那么就說這兩個角互為余角，簡稱互余,也就是其中一個角是另一個角的余角?！希?∠2=90°2、補角：假如兩個角的和等于180°,那么就說這兩個角互為補角,簡稱互補,也就是其中一個角是另一個角的補角∠1+∠2＝18０°2、垂線ABCDABCDO符號語言記作：如圖所示:AB⊥CD，垂足為O⑵垂線性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直⑶垂線性質２：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡稱:垂線段最短.5.2平行線１、平行線的概念:在同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作∥.2、兩條直線的位置關系在同一平面內,兩條直線的位置關系只有兩種：⑴相交；⑵平行.因此當我們得知在同一平面內兩直線不相交時，就可以肯定它們平行;反過來也同樣（這里，我們把重合的兩直線當作一條直線)判斷同一平面內兩直線的位置關系時，可以根據它們的公共點的個數來擬定:①有且只有一個公共點,兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點,則兩直線重合（由于兩點擬定一條直線)如左圖所示,∵∥,∥∴∥注意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線,才會結論,這兩條直線都平行．3、三線八角12312345678如圖,直線被直線所截①∠1與∠5在截線的同側，同在被截直線的上方,叫做同位角(位置相同）②∠5與∠3在截線的兩旁(交錯），在被截直線之間（內），叫做內錯角(位置在內且交錯）③∠5與∠４在截線的同側，在被截直線之間（內),叫做同旁內角.④三線八角也可以成模型中看出.同位角是“Ａ”型;內錯角是“Z”型;同旁內角是“Ｕ”型..４、兩直線平行的鑒定方法方法一兩條直線被第三條直線所截,假如同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，假如內錯角相等，那么這兩條直線平行簡稱:內錯角相等,兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，假如同旁內角互補,那么這兩條直線平行ABABCDEF1234幾何符號語言:∵∠3=∠2∴ＡB∥ＣＤ（同位角相等,兩直線平行)∵∠1=∠2∴AB∥CＤ（內錯角相等,兩直線平行）∵∠4＋∠2=180°∴AB∥CＤ（同旁內角互補,兩直線平行)請同學們注意書寫的順序以及前因后果,平行線的鑒定是由角相等，然后得出平行．平行線的鑒定是先寫角相等,然后寫平行.５.3平行線的性質１、平行線的性質：性質1:兩直線平行,同位角相等；性質2：兩直線平行，內錯角相等；ABCDABCDEF1234幾何符號語言：∵AB∥CＤ∴∠１＝∠２(兩直線平行,內錯角相等）∵ＡB∥ＣD∴∠３=∠2(兩直線平行，同位角相等)∵AＢ∥CD∴∠4+∠2=１80°（兩直線平行,同旁內角互補）2、兩條平行線的距離如圖,直線ＡB∥CD，EF⊥AB于E,ＥF⊥CＤ于Ｆ，則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離．AAEGBCFHD注意：直線AB∥ＣD，在直線AB上任取一點G,過點G作CD的垂線段ＧＨ,則垂線段GH的長度也就是直線AＢ與ＣＤ間的距離.例1.如圖,點E在ＡD的延長線上,下列條件中能判斷BＣ∥AD的是()．A．∠3＝∠4B．∠A+∠AＤC＝1８０°C．∠１=∠２D．∠A=∠５例2.假如a∥b，b∥c，則__＿＿__∥______,由于_＿______．例3.在同一平面內,假如ａ⊥ｂ，b⊥c，則ac,由于．例４.填注理由:如圖,已知:直線AＢ,CD被直線EＦ，GＨ所截,且∠1=∠２,?試說明：∠3＋∠4=180°.解:∵∠1=∠2（）

又∵∠2=∠５()

∴∠1=∠5(）∴AＢ∥CD(）

∴∠３+∠4=１80°（)5，已知:如圖AD∥ＢE,∠1=∠２，求證:∠A=∠Ｅ.三角形知識點總結一、三角形三邊的關系1、三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊。(判斷三條線段能否組成三角形的依據)2、已知三角形兩邊的長度分別為a，ｂ，求第三邊長度的范圍:｜a-b|＜c<ａ+b3、給出等腰三角形的兩邊長度，規(guī)定等腰三角形的底邊和腰的長（提醒:一定要記得分類討論)方法：由于不知道這兩邊哪條邊是底邊,哪條邊是腰，所以要分類討論,討論完后要寫“綜上”，將上面討論的結果做個總結。例題1、若等腰三角形的兩邊長分別為３和７,則它的周長為___＿_＿_;若等腰三角形的兩邊長分別是3和4,則它的周長為_____.2、長為10、7、5、３的四跟木條,選其中三根組成三角形有＿＿_種選法。３、若等腰三角形的腰長為6,則它的底邊長ａ的取值范圍是____＿___;二、三角形的高定義;三角形一個頂點向它的對邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。性質；三角形的三條高交于一點，這點稱作垂心。銳角三角形，三條高的交點在三角形內部。直角三角形，三條高的交點在三角形頂點。鈍角三角形,三條高的交點在三角形外部。１．三角形的重心是三角形三條什么的交點???? ?（）A.中線???B．高Ｃ.角平分線 ????D.邊的垂直平分線三、三角形的中線定義;連接?ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點Ｄ,所得線段AD叫做 AＢＣ的邊ＢC上的中線。性質；假如AD是?ＡBC中ＢC邊上的中線,那么BＤ＝ＣＤ＝1/2BC￣.三條中線的交點在三角形內部，這點叫做三角形的重心。假如ＡD是?ABC的中線,那么S ＡBD=S?AＣD四、三角形的角平分線二、角平分線1、畫法:＝１＼*ＧＢ３\＊ＭＥRGEFＯRMAT①以Ｏ為圓心，適當長為半徑作弧,交OＡ于M，交OＢN于．=2\*GB３\＊ＭERGEFORMAT②分別以M，N為圓心．大于1／2ＭN的長為半徑作?。畠苫≡凇螦OＢ的內部交于Ｃ.=3＼*GB3\*MERGEFORMAT③作射線ＯC.射線OC即為所求.2、性質定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.書寫格式：∵ＯＭ是∠ＡOB的平分線，C是OM上一點，CE⊥OA于Ｅ,CF⊥OB于F∴ＣE=ＣF。3、角平分線的鑒定：角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．書寫格式:∵PE⊥OA于E,PF⊥OＢ于F，且ＰE=ＰＦ,∴點P在∠AＯB的平分線上。 綜合練習模擬題1．以下說法錯誤的是(）A．三角形的三條高一定在三角形內部交于一點Ｂ．三角形的三條中線一定在三角形內部交于一點C．三角形的三條角平分線一定在三角形內部交于一點D．三角形的三條高也許相交于外部一點2．假如一個三角形的三條高的交點恰好是這個三角形的一個頂點,那么這個三角形是()A.銳角三角形B．直角三角形C.鈍角三角形Ｄ．不能擬定3．如圖1，BD=BＣ,則BC邊上的中線為______，△AＢD的面積＝_＿___的面積.(1)(2)(3)4.如圖2，△AＢC中,高CD、BE、AF相交于點O,則△BOC的三條高分別為線段＿_＿_____．5.下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）A.梯形B.菱形C．三角形D.正方形6.如圖3,AD是△ABＣ的邊ＢC上的中線，已知AＢ=5cm，ＡC＝３cｍ,求△ABD與△ACD的周長之差.7．如圖，∠BＡD＝∠CＡD,AＤ⊥BC，垂足為點D,且BＤ=CD．可知哪些線段是哪個三角形的角平分線、中線或高?8.（創(chuàng)新題)如圖,在△AＢC中，D、E分別是ＢＣ、AD的中點,Ｓ△ABC=４cm2，求Ｓ△ABE.9.(202３年，陜西)如圖，在銳角△AＢC中，CD、ＢE分別是ＡＢ、ＡC上的高，且ＣＤ、BE交于一點P,若∠Ａ=50°，則∠BPC的度數是（）A．1５0°B．13０°C.１2０°D.100°一、選擇題1.三角形的角平分線、中線、高線都是（）A.線段B．射線C.直線D．以上都有也許2.至少有兩條高在三角形內部的三角形是（)Ａ.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.都有也許4.在△ＡＢＣ中，D是BＣ上的點，且ＢD:CD=2:１,S△ACD＝1２，那么Ｓ△ABC等于（）Ａ.30B.36C.72Ｄ.246.可以把一個三角形提成面積相等的兩部分的線段是（)A.三角形的高 B．三角形的角平分線C．三角形的中線 D．無法擬定假如一個三角形三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是(）A.銳角三角形B．直角三角形C.鈍角三角形D.不能擬定9.下圖中，對的畫出△ABＣ的AＣ邊上的高的是（）ABCD二、填空題１.如圖，在△AＢＣ中,BＣ邊上的高是,在△AEC中,ＡE邊上的高是,ＥＣ邊上的高是.AD是△ABC的邊BＣ上的中線，已知AＢ＝5cm，AC=3ｃm，△ABD與△AＣD的周長之差為.三、解答題1．如圖,在⊿AＢC中畫出高線AD、中線BE、角平分線CＦ.2．在△ABＣ中,AB=ＡＣ，AD是中線,△ABC的周長為34cm，△ABD的周長為3０ｃm,求AD的長．如圖,已知:在三角形ABC中，∠C=90o，ＣＤ是斜邊AＢ上的高，AB=5,BＣ＝4，AＣ＝3,求高ＣD的長度.5.，在等腰三角形ＡＢC中,AＢ=AＣ,一腰上的中線BＤ將這個等腰三角形的周長分為15和6兩部分，求該等腰三角形的腰長及底邊長．6.如圖，在△ABＣ中，Ｄ、E分別是ＢC、ＡD的中點，S△ABＣ=4cm２，求S△AＢＥ．7.如圖，在直角三角形ABC中，∠ＡCＢ=90°，CD是ＡＢ邊上的高，ＡB=1