數(shù)學(xué)哲學(xué)

PilosophyofMathematics江蘇省張家港市常青藤實(shí)驗(yàn)中學(xué)什么是數(shù)學(xué)哲學(xué)？

數(shù)學(xué)哲學(xué)的歷史發(fā)展概況本門課程的主要內(nèi)容主要內(nèi)容什么是數(shù)學(xué)哲學(xué)？

數(shù)學(xué)哲學(xué)，就其最為直接的意義而言，即是關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)分析，也即是以數(shù)學(xué)作為直接研究對象的哲學(xué)理論。從更為深入的層次看，我們應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)：數(shù)學(xué)哲學(xué)有一個(gè)逐步成長、發(fā)展和演變的過程。特別是，數(shù)學(xué)哲學(xué)曾在很長時(shí)間內(nèi)完全屬于一般哲學(xué)，而只是在19世紀(jì)后期才逐步獲得了相對的獨(dú)立性，從而形成一門相對獨(dú)立的哲學(xué)分支，而所說的獨(dú)立性的標(biāo)志在于，這時(shí)的數(shù)學(xué)哲學(xué)已有了自己研究的特殊問題，而不再局限于一般哲學(xué)的研究問題。數(shù)學(xué)哲學(xué)的歷史發(fā)展概況數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展在不同時(shí)期有不同的重點(diǎn)，呈現(xiàn)出階段性。數(shù)學(xué)哲學(xué)的早期發(fā)展（1890年以前）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究（1890-1940年）數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展（1940年以后）一、數(shù)學(xué)哲學(xué)的早期發(fā)展（1890年以前）一、數(shù)學(xué)哲學(xué)的早期發(fā)展（1890年以前）一、數(shù)學(xué)哲學(xué)的早期發(fā)展（1890年以前）一、數(shù)學(xué)哲學(xué)的早期發(fā)展（1890年以前）一、數(shù)學(xué)哲學(xué)的早期發(fā)展（1890年以前）一、數(shù)學(xué)哲學(xué)的早期發(fā)展（1890年以前）一、數(shù)學(xué)哲學(xué)的早期發(fā)展（1890年以前）一、數(shù)學(xué)哲學(xué)的早期發(fā)展（1890年以前）一、數(shù)學(xué)哲學(xué)的早期發(fā)展（1890年以前）二、數(shù)學(xué)哲學(xué)的形成時(shí)期（1890年-1960年）二、數(shù)學(xué)哲學(xué)的形成時(shí)期（1890年-1960年）三、數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展（1960年-至今）為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)哲學(xué)？為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)哲學(xué)？什么是數(shù)學(xué)：本體論和認(rèn)識論相關(guān)問題探討數(shù)學(xué)解題：一種哲學(xué)觀點(diǎn)哲學(xué)分析方法的應(yīng)用：案例研究本學(xué)期內(nèi)容安排（三課時(shí)）

第一講：數(shù)學(xué)是什么？互動(dòng)研討1：你認(rèn)為符號“1”是真實(shí)存在的嗎？——柏拉圖VS亞里士多德

——實(shí)在論VS反實(shí)在論對數(shù)學(xué)本體論認(rèn)識的爭論，并未停止。不同的數(shù)學(xué)家從不同的角度闡述了自己的各種觀點(diǎn)。思考下列數(shù)學(xué)家所持的是實(shí)在論還是反實(shí)在論？

第一講：數(shù)學(xué)是什么？

我認(rèn)為，數(shù)學(xué)的實(shí)在存在于我們之外。我們的職責(zé)是發(fā)現(xiàn)它或是遵循它，那些被我們所證明并被我們夸大為是我們“發(fā)明”的定理，其實(shí)僅僅是我們觀察的記錄而已。(G.Hardy)我們凝神沉思純數(shù)學(xué)內(nèi)的絕對真理，這些絕對真理在晨星們齊聲歡唱之前已存在于神的頭腦之中，當(dāng)最后一顆晨星的耀眼光輝從天幕中消失的時(shí)候，它們繼續(xù)存在于神的頭腦之中。(E.Everett)數(shù)學(xué)是人類的發(fā)明，這一點(diǎn)是最純粹的自明之理，是稍微觀察一下就能發(fā)現(xiàn)的事實(shí)。(P.Bridgman)數(shù)學(xué)是所有人類活動(dòng)中最完全自主的。它是最純的藝術(shù)。(J.Sullivan)弗雷格：“如果我們相信數(shù)學(xué)的客觀性，那就沒有任何理由反對我們借助于數(shù)學(xué)對象來進(jìn)行思維，也沒有任何理由反對關(guān)于數(shù)學(xué)對象的這樣一幅圖景：它們是早已存在著的，并等待著人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)?！?/p>

第一講：數(shù)學(xué)是什么？互動(dòng)研討2：你認(rèn)為是什么推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展？（你認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力是什么？）?

古希臘的三大幾何作圖難題推動(dòng)了古希臘幾何學(xué)的發(fā)展；希爾伯特的23個(gè)問題（1900，世界數(shù)學(xué)家大會）推動(dòng)了現(xiàn)當(dāng)代數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展；?

危機(jī)也能推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

第一講：數(shù)學(xué)是什么？案例1：哥尼斯堡七橋問題

第一講：數(shù)學(xué)是什么？案例2：數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)簡介

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第一次數(shù)學(xué)危機(jī)（無理數(shù)的產(chǎn)生）；?

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)（無窮小量）；?

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)（羅素悖論）。

第一講：數(shù)學(xué)是什么？互動(dòng)研討3：既然說是問題推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，那么你認(rèn)為問題從何而來？?

生產(chǎn)、生活實(shí)踐中產(chǎn)生的問題（應(yīng)用數(shù)學(xué)）；?

其他學(xué)科的發(fā)展需要利用數(shù)學(xué)工具；?

數(shù)學(xué)內(nèi)部產(chǎn)生的問題（純粹數(shù)學(xué)）。

案例3：數(shù)系的擴(kuò)充

自然數(shù)——整數(shù)——有理數(shù)——實(shí)數(shù)——復(fù)數(shù)——四元數(shù)（哈密頓數(shù)）——？

第一講：數(shù)學(xué)是什么？互動(dòng)研討4：你認(rèn)為數(shù)學(xué)具有哪些特征？?嚴(yán)謹(jǐn)性?抽象性?應(yīng)用廣泛性

第一講：數(shù)學(xué)是什么？?嚴(yán)謹(jǐn)性案例6：證明：銳角三角形的內(nèi)角和為180°.

證明：29是質(zhì)數(shù).類似的案例還有很多：初中幾何全等、相似的證明；高中必修1中函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的證明等等。

第一講：數(shù)學(xué)是什么？?抽象性案例1：哥尼斯堡七橋問題——圖論學(xué)科的發(fā)展

第一講：數(shù)學(xué)是什么？?抽象性案例7：“三角形的內(nèi)角和為180°”這個(gè)命題不好。

你如何認(rèn)識這個(gè)觀點(diǎn)？互動(dòng)研討5：數(shù)學(xué)的抽象方式有哪些？（1）源自現(xiàn)實(shí)原型（平行線）；（2）源自邏輯建構(gòu)（質(zhì)數(shù)）。

第一講：數(shù)學(xué)是什么？?應(yīng)用的廣泛性案例9：公司經(jīng)理準(zhǔn)備招聘一名秘書，n個(gè)人報(bào)名應(yīng)聘。經(jīng)理將一個(gè)個(gè)進(jìn)行單獨(dú)面試。應(yīng)聘者要求經(jīng)理當(dāng)場表態(tài)是否錄用，以便到另一崗位應(yīng)聘。經(jīng)理應(yīng)該采取什么策略，才能從n個(gè)人中挑選到最好的或者較好的人選。

第一講：數(shù)學(xué)是什么？?應(yīng)用的廣泛性

案例9類似的問題：一個(gè)男子的一生會遇到很多個(gè)女子，那么，他應(yīng)該選擇哪一位女子作為自己的人生伴侶呢？

第一講：數(shù)學(xué)是什么？

第一講：數(shù)學(xué)是什么？

第一講：數(shù)學(xué)是什么？

第一講：數(shù)學(xué)是什么？

第一講：數(shù)學(xué)是什么？

第一講：數(shù)學(xué)是什么？

第一講：數(shù)學(xué)是什么？

第一講：數(shù)學(xué)是什么？互動(dòng)研討6：你們認(rèn)為數(shù)學(xué)是相對真理還是絕對真理？案例11：函數(shù)概念的發(fā)展；（何睦，2013）

第一講：數(shù)學(xué)是什么？每個(gè)數(shù)學(xué)概念和公式的背后都有著它的故事：或許源于一個(gè)靈感；或許是幾代人甚至是幾個(gè)世紀(jì)人的共同努力使之完善的過程；更或許是中外數(shù)學(xué)家的一些共同思考。應(yīng)該指出的是，數(shù)學(xué)概念發(fā)展的整個(gè)歷史進(jìn)程中，經(jīng)歷了無數(shù)數(shù)學(xué)家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的探究過程，不斷的引發(fā)更多的數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)本質(zhì)問題上進(jìn)行更深層次的思考.這是必然現(xiàn)象，因?yàn)槿祟愒谔剿髯匀灰?guī)律的過程中必然有各種假設(shè)，雖然后來發(fā)現(xiàn)某些假設(shè)是錯(cuò)誤的，但正是前人的失敗才使后人的思考走上了正確的道路。（何睦，2014）第一講：數(shù)學(xué)是什么？案例12：歐氏幾何與非歐幾何。

歐幾里得幾何把一切科學(xué)公有的真理叫公理為某一門科學(xué)所接受的第一性原理稱作公設(shè)公理1：等于同量的量彼此相等公理2：等量加等量，和相等公理3：等量減等量差相等公理4：彼此重合的圖形是全等的公理5：整體大于部分第一講：數(shù)學(xué)是什么？

歐氏幾何公設(shè)1：通過兩點(diǎn)只能作一條直線；公設(shè)2：一條直線可不斷延長；公設(shè)3：以任意中心和直徑可以畫圓；公設(shè)4：凡直角都彼此相等；公設(shè)5：通過一給定點(diǎn)只能引一條直線與已知直線平行（歐幾里得公設(shè)）。第一講：數(shù)學(xué)是什么？

對第五公設(shè)的質(zhì)疑長期以來，人們也希望能從其他公理出發(fā)推出公設(shè)5，因?yàn)樗年愂龊蛢?nèi)容不象其他公設(shè)那樣簡潔明了，人們不能憑經(jīng)驗(yàn)而一目了然，因此人們懷疑它不像一個(gè)公設(shè)而更像是一個(gè)定理。兩千多年來無數(shù)數(shù)學(xué)家試圖證明第五公設(shè)的努力都失敗了。第一講：數(shù)學(xué)是什么？第一個(gè)系統(tǒng)地闡明了非歐幾何理論，并且始終堅(jiān)定地捍衛(wèi)自己新思想的，是被譽(yù)為“幾何學(xué)上的哥白尼”的俄國青年數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基。他在保留了前4個(gè)公設(shè)的前題下，引進(jìn)一個(gè)與第5公設(shè)相悖的假設(shè)：“通過一給定點(diǎn)能引兩條直線與已知直線平行?！庇纱送瞥鲈S多新命題定理，例如：三角形內(nèi)角之和小于兩直角的和；如果兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，它們就全等.

（羅巴契夫斯基幾何（羅氏幾何））

——直白的說，凹面三角形（雙曲線型面）的內(nèi)角和小于180。第一講：數(shù)學(xué)是什么？羅巴契夫斯基幾何的一系列命題同人們傳統(tǒng)概念和樸素直覺是不相容的，新幾何的誕生遭到了許多人的群起而攻之。最先理解非歐幾何全部意義的是黎曼，他發(fā)展論了羅巴契夫斯基等人的思想，建立了另外一個(gè)非歐幾何--黎曼幾何。黎曼在承認(rèn)前4個(gè)公設(shè)的前提下，把第5個(gè)公設(shè)修改為：“通過直線外一定點(diǎn)不能作任何直線與已知直線平行?！保赐ㄟ^直線外一定點(diǎn)只能作零條直線與已知直線平行。）由此出發(fā)，黎曼也推出了一套新的幾何學(xué)命題。例如：三角形內(nèi)角之和大于兩個(gè)直角之和。(黎曼幾何也就是球面幾何）第一講：數(shù)學(xué)是什么？黎曼幾何的創(chuàng)立，不僅是對已經(jīng)出現(xiàn)的羅巴契夫斯基幾何的承認(rèn)，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。兩點(diǎn)啟示：羅巴契夫斯基為什么能毫不動(dòng)搖的捍衛(wèi)自己的不合常理的數(shù)學(xué)結(jié)果-----羅氏幾何，他