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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知平面向量,滿足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.2.達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖,畫中女子神秘的微笑,,數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪,將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧,在嘴角處作圓弧的切線,兩條切線交于點,測得如下數(shù)據(jù):(其中).根據(jù)測量得到的結(jié)果推算:將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于()A. B. C. D.3.如圖所示,為了測量、兩座島嶼間的距離,小船從初始位置出發(fā),已知在的北偏西的方向上,在的北偏東的方向上,現(xiàn)在船往東開2百海里到達處,此時測得在的北偏西的方向上,再開回處,由向西開百海里到達處,測得在的北偏東的方向上,則、兩座島嶼間的距離為()A.3 B. C.4 D.4.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機取一點,則此點取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.5.已知直線過圓的圓心,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.46.半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱柱,則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為()A. B. C. D.7.已知集合,,則()A. B. C. D.8.設(shè)過定點的直線與橢圓:交于不同的兩點,,若原點在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.9.下列結(jié)論中正確的個數(shù)是()①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列通項公式為,則該數(shù)列是等差數(shù)列;②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等,則;③在中,“”是“”的必要不充分條件;④若,則的最大值為2.A.1 B.2 C.3 D.010.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.211.一個正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側(cè)面積是()A.16 B.12 C.8 D.612.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.32二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),滿足,.,若是等比數(shù)列,數(shù)列的通項公式_______.14.設(shè)為數(shù)列的前項和,若,,且,,則________.15.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則________.16.已知x,y>0,且,則x+y的最小值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)近年來,隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁,很多人為了自己的健康,外出時選擇戴口罩,在一項對人們霧霾天外出時是否戴口罩的調(diào)查中,共調(diào)查了人,其中女性人,男性人,并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示:(1)利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說明理由;(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表;(3)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.附:18.(12分)在,角、、所對的邊分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,邊上的中線,求的面積.19.(12分)如圖,直三棱柱中,分別是的中點,.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知多面體中,、均垂直于平面,,,,是的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù),的最大值為.求實數(shù)b的值;當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;當時,令,是否存在區(qū)間,,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為?若存在,求實數(shù)k的取值范圍;若不存在,請說明理由.22.(10分)已知,且.(1)請給出的一組值,使得成立;(2)證明不等式恒成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù),兩邊平方,化簡得,再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量,滿足,且,所以,所以,所以,所以,所以與的夾角為.故選:C【點睛】本題主要考查平面向量的模,向量的夾角和數(shù)量積運算,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
由已知,設(shè).可得.于是可得,進而得出結(jié)論.【詳解】解:依題意,設(shè).則.,.設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為.則,.故選:A.【點睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.3.B【解析】
先根據(jù)角度分析出的大小,然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長度,再根據(jù)正弦定理計算出的長度,最后利用余弦定理求解出的長度即可.【詳解】由題意可知:,所以,,所以,所以,又因為,所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查解三角形中的角度問題,難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.4.D【解析】
設(shè),則,小正六邊形的邊長為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為,再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè),則,即小正六邊形的邊長為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點取自小正六邊形的概率.故選:D.【點睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
圓心坐標為,代入直線方程,再由乘1法和基本不等式,展開計算即可得到所求最小值.【詳解】圓的圓心為,由題意可得,即,,,則,當且僅當且即時取等號,故選:.【點睛】本題考查最值的求法,注意運用乘1法和基本不等式,注意滿足的條件:一正二定三等,同時考查直線與圓的關(guān)系,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長與高分別為,利用,可得,進一步得到側(cè)面積,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長與高分別為,則,在中,,化為,,,當且僅當時取等號,此時.故選:B.【點睛】本題考查正三棱柱與球的切接問題,涉及到基本不等式求最值,考查學(xué)生的計算能力,是一道中檔題.7.B【解析】
求出集合,利用集合的基本運算即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,則集合,所以,.故選:B.【點睛】本題主要考查集合的基本運算,利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
設(shè)直線:,,,由原點在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設(shè)直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達定理建立起目標的關(guān)系式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.9.B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的定義,線面關(guān)系,余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可;【詳解】解:①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列的通項公式為,可得為一次項系數(shù)),則該數(shù)列是等差數(shù)列,故①正確;②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等,則與可以相交或平行,故②錯誤;③在中,,而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故“”可得“”,由“”可得“”,故“”是“”的充要條件,故③錯誤;④若,則,所以,當且僅當時取等號,故④正確;綜上可得正確的有①④共2個;故選:B【點睛】本題考查命題的真假判斷,主要是正弦定理的運用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),考查運算能力和推理能力,屬于中檔題.10.B【解析】
求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.11.B【解析】
根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長,然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形,所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選:B【點睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認識,關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長,掌握一些常見的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎(chǔ)題.12.A【解析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用遞推關(guān)系,等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為,所以,因為是等比數(shù)列,所以數(shù)列的公比為1.又,所以當時,有.這說明在已知條件下,可以得到唯一的等比數(shù)列,所以,故答案為:.【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題,涉及到的知識點有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項公式,屬于簡單題目.14.【解析】
由題可得,解得,所以,,上述兩式相減可得,即,因為,所以,即,所以數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,所以.15.【解析】
利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點睛】本題考查利用正弦定理實現(xiàn)邊角互化,屬基礎(chǔ)題.16.1【解析】
處理變形x+y=x()+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x,y>0,且,則x+y=x()+y1,當且僅當時取等號,此時x=4,y=2,取得最小值1.故答案為:1【點睛】此題考查利用均值不等式求解最值,關(guān)鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件,注意考慮等號成立的條件.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)圖形見解析,理由見解析;(2)見解析;(3)犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系【解析】
(1)利用等高條形圖中兩個深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系;(2)填寫列聯(lián)表即可;(3)由表中數(shù)據(jù),計算觀測值,對照臨界值得出結(jié)論.【詳解】解:(1)在等高條形圖中,兩個深色條的高分別表示女性和男性中霧霾天外出戴口罩的頻率,比較圖中兩個深色條的高可以發(fā)現(xiàn),女性中霧霾天外出帶口罩的頻率明顯高于男性中霧霾天外出帶口罩的頻率,因此可以認為性別與霧霾天外出帶口罩有關(guān)系.(2)列聯(lián)表如下:戴口罩不戴口罩合計女性男性合計(3)由(2)中數(shù)據(jù)可得:.所以,在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系.【點睛】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題,也考查了登高條形圖的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)(2)答案不唯一,見解析【解析】
(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分別由三角形面積公式可得答案.【詳解】解:(1)在中,因為,又已知,所以,因為,所以,于是.所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,當時,的面積,當時,的面積.【點睛】本題考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面積公式和分類討論思想,屬于中檔題.19.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接交于點,由三角形中位線定理得,由此能證明平面.(2)以為坐標原點,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,建立空間直角坐標系.分別求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:證明:連接交于點,則為的中點.又是的中點,連接,則.因為平面,平面,所以平面.(2)由,可得:,即所以又因為直棱柱,所以以點為坐標原點,分別以直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,則,設(shè)平面的法向量為,則且,可解得,令,得平面的一個法向量為,同理可得平面的一個法向量為,則所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20.(1)見解析;(2).【解析】
(1)取的中點,連接、,推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,可得出,由此能證明平面;(2)由,得平面,則點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,由此能求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)取的中點,連接、,、分別為、的中點,則且,、均垂直于平面,且,則,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,設(shè),則到平面的距離,,因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.21.(1);(2)時,在單調(diào)增;時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;時,同理在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(3)不存在.【解析】分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當時,取得極大值,也是最大值,由,可得結(jié)果;(2)求出,分三種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(3)假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則,問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根,進而可得結(jié)果.詳解:(1)由題意得,令,解得,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,函數(shù)單調(diào)遞減.所以當時,取得極大值,也是最大值,所以,解得.(2)的定義域為.①即,則,故在單調(diào)增②若,而,故,則當時,;當及時,故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.③若,即,同理在
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