實變函數(shù)論重要知識點第一章集合集合的并、交、差運算;余集和DeMｏrgaｎ公式;上極限和下極限;練習:①證明;②證明;對等與基數(shù)的定義及性質(zhì)；練習：①證明；②證明；可數(shù)集的定義與常見的例；性質(zhì)“有限個可數(shù)集合的直積是可數(shù)集合”與應用;可數(shù)集合的基數(shù);練習：①證明直線上增函數(shù)的不連續(xù)點最多只有可數(shù)多個；②證明平面上坐標為有理數(shù)的點的全體所成的集合為一可數(shù)集；③；④[0,1]中有理數(shù)集的相關結論;不可數(shù)集合、連續(xù)基數(shù)的定義及性質(zhì)；練習：①;②(P為Cantor集);第二章點集度量空間，n維歐氏空間中有關概念度量空間(MetｒicＳpace)，在ＨYＰERＬINＫ""數(shù)學中是指一個集合,并且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。ｎ維歐氏空間:設Ｖ是ＨYPＥＲLINＫ＂"實數(shù)域R上的HYPERＬIＮK""線性空間(或稱為ＨYPＥRLＩNＫ""向量空間),若Ｖ上定義著正定對稱ＨＹＰERLINK＂＂雙線性型g(g稱為ＨYPEＲＬINK""內(nèi)積),則V稱為(對于g的)HＹPＥＲLIＮＫ"＂內(nèi)積空間或歐幾里德空間（有時僅當V是有限維時,才稱為歐幾里德空間）。具體來說，ｇ是V上的二元實值函數(shù)，滿足如下關系：（1）g(x,y）=ｇ(y,x);（2)g(x+y,z)=g(ｘ,ｚ)+g（y,z);（3）ｇ(kx,ｙ)=kg(x,y）；(４)ｇ(x,x)>＝0，并且ｇ(x,x)=0當且僅當x=0時成立。這里ｘ,y,z是V中任意向量，ｋ是任意HYPＥRLＩNK""實數(shù)。，聚點、界點、內(nèi)點的概念、性質(zhì)及鑒定(求法)；開核，導集,閉包的概念、性質(zhì)及鑒定(求法)；聚點：有點集E，若在HYPERＬINK"＂復平面上的一點z的任意HＹPERＬINK＂＂鄰域都有E的無窮多個點,則稱z為E的聚點。內(nèi)點:假如存在點P的某個ＨYPＥRLIＮK＂＂鄰域U(P)∈E,則稱Ｐ為Ｅ的內(nèi)點。3、開集、閉集、完備集的概念、性質(zhì)；直線上開集的構造;4、Cａｎｔor集的構造和性質(zhì);5、練習：①,，;②=;第三章測度論外測度的定義和基本性質(zhì)(非負性,單調(diào)性,次可數(shù)可加性）；可測集的定義與性質(zhì)(可測集類關于可數(shù)并,可數(shù)交，差，余集，單調(diào)集列的極限運算封閉）;可數(shù)可加性(注意條件)；零測度集的例子和性質(zhì);可測集的例子和性質(zhì);練習:①，;②零測度集的任何子集仍為零測度集；③有限或可數(shù)個零測度集之和仍為零測度集;④[0,1］中有理數(shù)集的相關結論；5、存在不可測集合；第四章可測函數(shù)1、可測函數(shù)的定義,不可測函數(shù)的例子；練習:①第四章習題3;2、可測函數(shù)與簡樸函數(shù)的關系;可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關系（魯津定理）;3、葉果洛夫定理及其逆定理；練習：①第四章習題7；４、依測度收斂的定義、簡樸的證明;5、具體函數(shù)列依測度收斂的驗證;6、依測度收斂與幾乎處處收斂的關系,兩者互不包含的例子;第五章積分論1、非負簡樸函數(shù)Ｌ積分的定義；練習：①Dｉｒechlet函數(shù)在上的L積分2、可測函數(shù)Ｌ積分的定義（積分擬定;可積）；基本性質(zhì)（§５.4定理1和定理2諸條)；３、Ｌeｂesｇuｅ控制收斂定理的內(nèi)容和簡樸應用;4、Ｌ積分的絕對連續(xù)性和可數(shù)可加性(了解)；5、Rｉemann可積的充要條件；練習：①上的Direｃhｌet函數(shù)不是R-可積的;６、Lebesguｅ可積的充要條件：若是可測集合上的有界函數(shù)，則在上L-可積在上可測；練習：①上的Dｉｒｅchlet函數(shù)是L-可積的;②設，則在上是否可積,是否可積,若可積,求出積分值。例１、求由曲線所圍圖形公共部分的面積解：兩曲線的交點+例２.邊長為a和ｂ（ａ>b)的矩形薄片斜置欲液體中,薄片長邊