第二部分線性系統(tǒng)的復頻率域理論

線性系統(tǒng)的復頻率域理論，是以傳遞矩陣作為系統(tǒng)描述，并在復頻率域內分析和綜合線性時不變系統(tǒng)的一種理論和方法。對于線性定常SISO系統(tǒng)，在初始條件為零時，定義傳遞函數對于線性定常MIMO系統(tǒng)，在初始條件為零時，定義傳遞矩陣G(s)8．1矩陣分式描述第8章傳遞函數矩陣的矩陣分式描述

矩陣分式描述實質上就是把有理分式矩陣形式的傳遞函數矩陣G(s)表示為兩個多項式矩陣之“比”。右MFD和左MFD對于SISO系統(tǒng)，傳遞函數G(s)=n(s)/d(s)=n(s)d-1(s)=d-1(s)n(s)設p維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),其傳遞函數矩陣為G(s)的一個右矩陣分式描述為G(s)的一個左矩陣分式描述其中為多項式矩陣1/4,1/16例如上式即為G(s)的一個右MFD把G(s)按各行通分，可以寫出G(s)的左MFD2/4,2/16MDF的特性

結論：對傳遞函數矩陣G(s)的一個右MFD，規(guī)定對傳遞函數矩陣G(s)的一個左MFD，規(guī)定對給定一個G(s)，其右MFD和左MFD在次數上一般不相等。結論：對傳遞函數矩陣G(s)，其右MFD和左MFD為不唯一，且不同的MFD可能具有不同的次數。例如結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)，設W(s)為pp非奇異多項式矩陣，令為其一個右MFD則也是G(s)的一個右MFD，且若W(s)為單模矩陣，則結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)，設為其一個右MFD和一個左MFD則有*最小階MFD也不是唯一的*稱最小階MFD為不可簡約MFD4/4,4/16結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)，設WL(s)為任一qq非奇異多項式矩陣。為其一個左MFD，則也是G(s)的一個左MFD，且若WL(s)為單模矩陣，則8.2矩陣分式描述的真性和嚴真性

設多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，傳遞函數矩陣G(s)為1/3,5/16結論：定義

真性和嚴真性的判別準則

結論：對右MFDD(s)為pp陣且則例容易判斷D(s)為列既約，且可知為真2/3,6/16列既約例給定12右MFDD(s)為非列既約，盡管但非真結論：對左MFD為qq陣且行既約,則*若D(s)或DL(s)為非列既約或行既約，則引入一個單模矩陣，化D(s)或DL(s)為列既約或行既約，進行判斷。3/3,7/168.3從非真矩陣分式描述導出嚴真矩陣分式描述

結論：對非真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)為pp多項式矩陣，N(s)為qp多項式矩陣,唯一存在qp多項式矩陣Q(s)和R(s)，使且R(s)D-1(s)為非真N(s)D-1(s)導出的嚴真右MFD。確定嚴真MFD的算法

Step1：計算給定N(s)D-1(s)的有理分式矩陣G(s)Step2：通過多項式除法，得Step3Step4其中R(s)D-1(s)為非真右MFDN(s)D-1(s)的嚴真部分，Q(s)為多項式矩陣部分。1/3,8/16結論：對非真左MFD，DL-1(s)NL(s)，唯一存在兩個多項式矩陣使一類特殊情形的多項式矩陣除法問題

在連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)中，除式矩陣通常為sI-A結論：對pp矩陣sI-A和多項式矩陣N(s)，唯一存在一個常陣Nr(A)和多項式矩陣Qr(s)滿足其中顯然Nr(A)(sI-A)-1為N(s)(sI-A)-1所導出的嚴真右MFD2/3,9/16結論：對qq矩陣sI-A和多項式矩陣NL(s)，唯一存在一個常陣NL(A)和多項式矩陣QL(s)滿足其中顯然(sI-A)-1NL(A)為(sI-A)-1NL(s)所導出的嚴真左MFD3/3,10/168．4不可簡約矩陣分式描述不可簡約MFD實質上是系統(tǒng)傳遞函數矩陣的一類最簡約MFD，通常也稱為最小階MFD。定義：右不可簡約<=>D(s)和N(s)為右互質<=>左不可簡約<=>DL(s)和NL(s)為左互質<=>不可簡約MFD的基本特性結論：對qp傳遞函數矩陣，其右不可簡約MFD和左不可簡約MFD均為不惟一結論：設為qp傳遞函數矩陣G(s)的任意兩個右不可簡約MFD，則必存在單模陣U(s)滿足：1/3,11/16證明過程分3步：U(s)存在U(s)為多項式矩陣U(s)為單模陣結論：設為傳遞函數矩陣G(s)的任意兩個左不可簡約MFD則必存在單模陣V(s)，滿足結論：傳遞函數矩陣G(s)的右不可簡約MFD滿足廣義惟一性。傳遞函數矩陣G(s)的左不可簡約MFD滿足廣義惟一性。結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)的任一右不可簡約MFDN(s)D-1(s)和任一右可簡約MFD，必存在非奇異多項式矩陣T(s)，滿足：2/3,12/16證明過程分2步：1）根據G(s)的某一右不可簡約MFDN1(s)D1-1(s)，利用單模陣導出的MFDN2(s)D2-1(s)也是G(s)的MFD2）N2(s)D2-1(s)是不可簡約MFD例結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)的所有右不可簡約MFD必有：1，Ni(s)具有相同2，Di(s)具有相同不變多項式detD1(s)=c2detD2(s)=….結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)的所有左不可簡約MFD必有：1，NLi(s)具有相同史密斯形2，DLi(s)具有相同不變多項式結論：對qp傳遞函數矩陣的任一左不可簡約MFD，和任一右不可簡約MFD必有3/3,13/16結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)的任一左不可簡約MFDDL

-1(s)NL(s)和任一左可簡約MFD，必存在非奇異多項式矩陣TL(s)，滿足：史密斯形8．5確定不可簡約矩陣分式描述的算法結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)設為任一右可簡約MFDpp多項式矩陣R(s)為的一個最大右公因子且為非奇異，取為G(s)的一個右不可簡約MFD。結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)設為任一左可簡約MFDRL(s)為的一個最大左公因子且為非奇異，取為G(s)的一個左不可簡約MFD。1/1,14/168．6規(guī)范矩陣分式描述傳遞函數矩陣的可簡約MFD和不可簡約MFD具有不惟一性。其惟一化的途徑是對MFD分母矩陣限定為規(guī)范形而得到規(guī)范MFD。埃爾米特形MFD稱qp的NH(s)DH-1(s)為傳遞函數矩陣G(s)的列埃爾米特形MFD，是指分母矩陣具有列埃爾米特形其中：1）為首1多項式2）若為含S多項式，則1/2,15/16例如即在該行中階次最高稱qp的為傳遞函數矩陣G(s)的行埃爾米特形MFD，是指分母矩陣具有行埃爾米特形其中：1）為首1多項式2）若為含S多項式，則結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)，其所有不可簡約右MFD具有相同列埃爾米特形MFD其所有不可簡約左MFD具有相同行埃爾米特形MFD2/2,16/16行埃爾米特形和列埃爾米特形是對稱（7.7)波波夫形MFD結論類似(7.13)即在該列中階次最高第9章傳遞函數矩陣的結構特性9．1史密斯-------麥克米倫形稱秩為r的有理分式矩陣為史密斯-------麥克米倫形，當且僅當具有形式其中，1）為互質，i=1,2,…,r2）滿足整除性1/4,1/12例如結論：對qp有理分式矩陣G(s)，設則必存在qq和pp單模矩陣U(s)和V(s)使變換后傳遞函數矩陣U(s)G(s)V(s)為史密斯-------麥克米倫形2/4,2/12證：容易驗算整除性，以上證明是史密斯-------麥克米倫形一個構造過程史密斯-------麥克米倫形基本特性結論：有理分式矩陣G(s)的史密斯-------麥克米倫形M(s)為惟一結論：化有理分式矩陣G(s)為史密斯-------麥克米倫形M(s)的單模變換陣對{U(s),V(s)}不惟一。結論：嚴格有理分式矩陣G(s)的史密斯-------麥克米倫形M(s)不具有保持嚴真屬性，M(s)甚至可能為非真。結論：對qq非奇異有理分式矩陣G(s)其中a為非零常數例：導出G(s)的史密斯-------麥克米倫形M(s)解：取本例中G(s)是嚴真的，M(s)非嚴真。結論：由史密斯-------麥克米倫形寫出MFD

對秩為r的qp傳遞函數矩陣G(s)，其史密斯-------麥克米倫形M(s)為令則M(s)表為右MFD令則M(s)表為左MFD3/4,3/12結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)，其史密斯-------麥克米倫形為M(s)。單模變換陣對為{U(s),V(s)}若取則為G(s)的不可簡約右MFD若取則為G(s)的不可簡約左MFD4/4,4/12證：考慮到由于為G(s)的不可簡約右MFD9．2傳遞函數矩陣的有限零點和有限極點定義：對秩為r的qp傳遞函數矩陣G(s)，其史密斯-------麥克米倫形M(s)，則G(s)有限極點=M(s)中的根，i=1,2,…,rG(s)有限零點=M(s)中的根,i=1,2,…,r定義：對qp傳遞函數矩陣G(s)，設和為G(s)的任一不可簡約右MFD和任一不可簡約左MFD，則G(s)有限極點=det(D(s))=0根或的根G(s)有限零點=的s值或的s值1/2,5/12G(s)有限極點:s=-1(二重),s=-2(三重)G(s)有限零點:s=0(三重)例如:N(s)和D(s)為右互質,G(s)的有限零點是rankN(s)<2的s值:s=0,s=-1G(s)的有限極點是detD(s)=0的s值:s=0(三重),s=12/2,6/12定義：對qp傳遞函數矩陣G(s)，設其狀態(tài)空間描述為(A,B,C)，且(A,B)全能控，(A,C)完全能觀測，則有：G(s)有限極點=的根G(s)有限零點=使降秩的s值結論：對qp嚴真?zhèn)鬟f函數矩陣G(s)，其能控和能觀測狀態(tài)空間描述為(A,B,C)，z0為任一零點，則對滿足關系式的所有非零初始狀態(tài)x0和輸入系統(tǒng)輸出具有阻塞作用，即其能引起的系統(tǒng)輸出y(t)強制恒為零。表明系統(tǒng)輸出對與零點相關一類輸入向量函數具有阻塞作用。9．3傳遞函數矩陣的結構指數

對qp傳遞函數矩陣G(s)，有限零點和有限極點的集合。那么，若對任一導出對應的rr對角矩陣則稱為G(s)在的一組結構指數

1/3,7/12可把G(s)的史密斯-麥克米倫形寫為上式表明，一旦定出G(s)各個極點零點及其結構指數組，便可構造出G(s)的史密斯---麥克米倫形M(s)。例定出的結構指數史密斯----麥克米倫形為G(s)極點零點集合2/3,8/12結論：G(s)在極點重數=中負指數之和絕對值結論：G(s)在零點重數=中正指數之和結論：傳遞函數矩陣在非極點零點處的結構指數必恒為零。3/3,9/129．4傳遞函數矩陣在無窮遠處的極點和零點

確定s=∞處極點零點的思路對qp傳遞函數矩陣G(s),則直接基于G(s)的史密斯---麥克米倫形M(s)不能定義G(s)在無窮遠處的極點和零點，若引入變換則有G（s）在s=∞處的極點/零點=H(λ)在λ=0處的極點/零點。結論：對qp傳遞函數矩陣G(s)，設再基于變換由G(λ-1)導出H(λ)引入單模變換陣。導出其史密斯----麥克米倫形G(s)在s=∞處的極點重數=中的根重數i=1,2,…,r則有G(s)在s=∞處的零點重數=中的根重數i=1,2,…,r1/3,10/12由G(s)導出M(s)的過程中，單模變換會改變G(s)的嚴真屬性，從而改變s=∞處的極點零點（重數），s=∞處的極點、零點不能由史密斯---麥克米倫形M(s)直接確定例：設史密斯-------麥克米倫形基于此，可以定出G(s)在s=∞處極點重數=2G(s)在s=∞處零點重數=12/3,11/12無窮遠處的結構指數對qp傳遞函數矩陣G(s)則G(s)在s=∞處結構指數在λ=0處結構指數3/3,12/12結論：G(s)在極點重數=中負指數之和絕對值結論：G(s)在零點重數=中正指數之和第10章傳遞函數矩陣的狀態(tài)空間實現10．1實現的基本概念和基本屬性定義10．1[實現]對真或嚴真連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，稱一個狀態(tài)空間描述或簡寫為(A,B,C,E)是其傳遞函數矩陣G(s)的一個實現，如果兩者為外部等價即成立關系式：C(sI－A)-1B+E=G(s)結論10．1[實現維數]傳遞函數矩陣G(s)的實現(A,B,C,E)的結構復雜程度可由其維數表征。一個實現的維數規(guī)定為其系統(tǒng)矩陣A的維數，即有實現維數=dimA結論10．2[不惟一性]傳遞函數矩陣G(s)的實現(A,B,C,E)滿足強不惟一性。即對傳遞函數矩陣G(s)，不僅其實現結果為不惟一，而且其實現維數也為不惟一。結論10．3[最小實現]最小實現定義為傳遞函數矩陣G(s)的所有實現(A,B,C,E)中維數最小的一類實現。實質上，最小實現就是外部等價于G(s)的一個結構最簡狀態(tài)空間模型。1/5,1/39結論10．4[實現間關系]對傳遞函數矩陣G(s)，其不同實現間一般不存在代數等價關系，但其所有最小實現間必有代數等價關系。結論10．5[實現物理本質]物理直觀上，傳遞函數矩陣G(s)的實現就是對具有“黑箱”形式的真實系統(tǒng)在狀態(tài)空間領域尋找一個外部等價的內部假想結構，內部假想結構對真實系統(tǒng)的可否完全表征性依賴于系統(tǒng)的是否能控和能觀測。結論10．6[實現形式]傳遞函數矩陣G(s)的實現形式取決于其真性或嚴真性屬性。當G(s)為嚴真，其實現對應地具有形式(A,B,C)即E=0；當G(s)為真，其實現對應地具有形式(A,B,C,E)即E≠0，且有結論10．7[其他實現構造]設狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數矩陣G(s)的一個實現，dimA=n，則對任一nn非奇異陣T，狀態(tài)空間描述(TAT-1，TB，CT-1，E)必也為G(s)的一個同維實現。2/5,2/39能控類實現和能觀測類實現是兩類基本的典型實現定義10．2[能控類實現]稱狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數矩陣G(s)的一個能控類實現，當且僅當C(sI－A)-1B+E=G(s)(A,B)能控且有指定形式定義10．3[能觀測類實現]稱狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數矩陣G(s)的一個能觀測類實現，當且僅當C(sI－A)-1B+E=G(s)(A,C)能觀測且有指定形式最小實現是傳遞函數矩陣G(s)的一類最為重要的實現。最小實現是G(s)的所有實現中結構為最簡的實現，即從外部等價的角度實現中不包含任何多余的部分，因此通常也稱最小實現為不可簡約實現。結論10．8設(A,B,C)為嚴真?zhèn)鬟f函數矩陣G(s)的一個實現，則其為最小實現的充分必要條件是(A,B)完全能控，(A,C)完全能觀測[最小實現判據]3/5,3/39結論10．10[實現最小維數]對嚴真?zhèn)鬟f函數矩陣G(s)，其冪級數表達式為：為馬爾柯夫(Markov)參數矩陣，并基此組成漢克爾(Hankel)矩陣則G(s)的狀態(tài)空間實現的最小維數為nmin=rankH結論10．9[最小實現廣義惟一性]嚴真?zhèn)鬟f函數矩陣G(s)的最小實現為不惟一但滿足廣義惟一性。即若(A,B,C)和為G(s)的任意兩個n維最小實現，則必可基此構造出一個nn非奇異常陣T使成立：4/5,4/39結論10．11[實現最小維數]對qp傳遞函數矩陣G(s)，rankG(s)=r，其史密斯—麥克米倫形為其中，U(s)和V(s)為qq和pp單模陣。那么，G(s)的狀態(tài)空間實現的最小維數為5/5,5/3910.2標量傳遞函數的典型實現不失一般性，考慮真標量傳遞函數g(s)，并通過嚴真化先將其表為常數e和嚴真有理分式n(s)/d(s)之和，即有那么，對g(s)的各類典型實現就歸結為對嚴真?zhèn)鬟f函數n(s)/d(s)導出相應的實現，而常數e為各類實現中的輸入輸出直接傳遞系數。1/5,6/39幾點討論真標量傳遞函數g(s)的能控規(guī)范形實現實現形式惟一性維數非最小性(Ac，bc，cc)為最小實現條件：結論10．12[能控規(guī)范形實現]標量傳遞函數g(s)的嚴真部分n(s)/d(s)的能控規(guī)范形實現具有形式：2/5,7/39n(s)與d(s)互質結論10．18[能觀測規(guī)范形實現]標量傳遞函數g(s)的嚴真部分n(s)/d(s)的能觀測規(guī)范形實現具有形式：幾點討論真標量傳遞函數g(s)的能觀測規(guī)范形實現實現形式惟一性維數非最小性(Ac，bc，cc)為最小實現條件：結論10.24[對偶性]嚴真標量傳遞函數n(s)/d(s)的能控規(guī)范形實現（Ac，bc，cc）和能觀測規(guī)范形實現（A0，b0，c0）滿足對偶關系，即有A0=AcT，b0=ccT，c0=bcT

3/5,8/39n(s)與d(s)互質結論10.25[并聯(lián)形實現]設傳遞函數g(s)及其嚴真部分n(s)/d(s)，極點為λ1(μ1重)，λ2（μ2重），…λm(μm重)，表則嚴真?zhèn)鬟f函數n(s)/d(s)的并聯(lián)形實現為4/5,9/39幾點解釋并聯(lián)形實現為約當型規(guī)范形實現并聯(lián)形實現在構成上的難點：對極點中包含共軛復數情形的處理：非奇異復變換實數化求留數fik，i=1…m,k=1,…,μi

表n(s)/d(s)為則嚴真?zhèn)鬟f函數n(s)/d(s)的串聯(lián)形實現為幾點解釋(1)串聯(lián)形實現的優(yōu)點：簡單直觀，便于分析(2)串聯(lián)形實現在構成上的難點：確定極點與零點(3)對極零點中包含共軛復數情形的處理：非奇異復變換實數化5/5,10/39[串聯(lián)形實現]10.3基于有理分式矩陣描述的典型實現：能控形實現和能觀測形實現考慮以有理分式矩陣描述給出的真qp傳遞函數矩陣G(s)G(s)=(gij(s))，i=1,…,qj=1,…,q進而，表G(s)為“嚴真qp傳遞函數矩陣”和“qp常陣E”之和，即G(s)=(gij(s))=(eij)+(gijsp(s))=E+Gsp(s)且有E=G(∞)。再表Gsp(s)諸元即G(s)諸元的最小公分母d(s)為d(s)=sl+αl-1sl-1+…+α1s+α0基此，嚴真qp傳遞函數矩陣Gsp(s)可進而表為其中，Pk(k=0,1,…,l-1)為qp常陣1/3,11/39結論10.35[能控形實現]對以有理分式矩陣描述給出的嚴真?zhèn)鬟f函數矩陣Gsp(s)，其能控形實現具有形式而真?zhèn)鬟f函數矩陣G(s)的能控形實現為2/3,12/39第一步應證明第二步證明系統(tǒng)能控其中，Pk(k=0,1,…,l-1)為qp常陣結論10.36[能觀測形實現]對以有理分式矩陣描述給出的嚴真?zhèn)鬟f函數矩陣Gsp(s)，其能觀測形實現具有形式而真?zhèn)鬟f函數矩陣G(s)的能觀測形實現為3/3,13/3910.4基于矩陣分式描述的典型實現：控制器形實現和觀測器形實現右MFD的控制器形實現不失一般性，考慮qp右MFD和D(s)為qp和pp的多項式矩陣，設D(s)為列既約首先，對真導出其嚴真右MFD。其中，qp常陣E為“商陣”，qp多項式矩陣N(s)為“余式陣”。下面的問題就是，對qp嚴真右MFDN(s)D-1(s),D(s)列既約構造其控制器形實現。1/22,14/39(1)控制器形實現的定義定義10.4[控制器形實現]對qp嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，表列次數δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，稱一個狀態(tài)空間描述為其控制器形實現，其中如果滿足：Cc(sI－Ac)-1Bc=N(s)D-1(s)(AC,BC)為完全能控且具有特定形式2/22,15/39Dhc為D(s)的列次系數，且detDhc≠0DLc為D(s)的低次系數陣NLc為N(s)的低次系數陣結論10.37[構造(AC,BC,CC)的結構圖]對qp嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，表列次數δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，再引入列次表達式：D(s)=DhcSc(s)+DLcΨC(s)

N(s)=NLcΨC(s)其中3/22,16/39那么，基此可導出構造(AC,BC,CC)的結構圖稱Ψc(s)Sc-1(s)為核心右MFD-uyu0y0圖10.5結論10.38[構造(AC,BC,CC)的思路]給定qp嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，則在圖10.5所示構造(AC,BC,CC)的結構圖基礎上，對(AC,BC,CC)的構造可分為兩步進行：首先，對核心右MFD之Ψc(s)Sc-1(s)構造實現(Ac0,Bc0,Cc0),稱其為N(s)D-1(s)的核實現。進而，用核實現置換圖10.5所示結構圖中的核心右MFD，再通過結構圖化簡導出N(s)D-1(s)的控制器形實現。4/22,17/39(p×1)(p×p)(q×n)(q×1)(p×p)(p×n)(n×p)(p×p)(3)核實現(Ac0,Bc0,Cc0)的構造先來引入積分鏈組模型。相對于qp右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，列次數δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，其積分鏈組的組成如圖所示。圖中，為使組成表達整齊起見，已經非實質性地假定列次數滿足非降性，即成立kc1≤kc2≤…≤kcp。積分鏈組的輸入uch取為積分鏈組的輸出ych取為各個積分鏈的輸出構成的向量5/22,18/396/22,19/39結論10.40[積分鏈組的狀態(tài)空間描述]相對于qp右MFDN(s)D-1(s)的積分鏈組模型，取狀態(tài)Xch﹑輸出Ych和輸入uch為7/22,20/398/22,21/39（4）控制器形實現的構造結論10.42[控制器形實現]對真qp右MFD，其嚴真右MFD為N(s)D-1(s)，D(s)列既約，列次數δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，再引入列次表達式：D(s)=DhcSC(s)+DLcΨc(s)N(s)=NLcΨc(s)且知核MFDΨc(s)Sc-1(s)的實現為(Ac0,Bc0,Cc0)，則嚴真N(s)D-1(s)的控制器形實現(AC,BC,CC)的系數矩陣為Ac=Ac0－Bc0Dhc-1DLc，Bc=Bc0Dhc-1，Cc=NLc

而真右MFD的控制器形實現為(AC,BC,CC,E)Bc0∫Cc0NLcD-1hcD-1hcDLcAc09/22,22/39例10．1

定出給定2×2右MFDN(s)D-1(s)的控制器形實現(Ac,Bc,Cc)，其中容易判斷，D(s)為列既約，且N(s)D-1(s)為嚴真，進而，定出列次數kc1=δc1D(s)=2，kc2=δc2D(s)=3基此，又可定出10/22,23/39核實現可導出控制器形實現11/22,24/39控制器形實現的性質結論10.43[控制器形實現]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，由核實現(Ac0,Bc0,Cc0)的結構所決定，其控制器形實現(AC,BC,CC)具有形式：12/22,25/39(2)控制器形實現和列次表達式在系數陣間的對應關系結論10.44[對應關系]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，控制器形實現系數矩陣(AC,BC,CC)和D(s)列次表達式系數陣之間具有直觀關系Ac的第i個*行＝－Dhc-1DLc的第i行Bc的第i個*行＝Dhc-1的第i行其中，i=1,2,…,p。例10．2

定出給定2×2右MFDN(s)D-1(s)的控制器形實現(Ac,Bc,Cc)，其中容易判斷，D(s)為列既約，且N(s)D-1(s)為嚴真，進而，定出列次數kc1=δc1D(s)=2，kc2=δc2D(s)=313/22,26/39基此，又可定出結論10.45[不完全能觀測屬性]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約的控制器形實現(AC,BC,CC)，(AC,BC)為完全能控，但(AC,CC)一般為不完全能觀測。14/22,27/39結論10.46[系數矩陣間關系]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實現(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系數矩陣之間具有關系：15/22,28/39證明：容易看出，需證明的關系式中對應項相等結論10.47[系數矩陣行列式間關系]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實現(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系數矩陣行列式之間具有關系：det(sI-Ac)=(detDhc)-1detD(s)dim(Ac)=deg(detD(s))結論10.48[實現和N(s)關系]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實現(AC,BC,CC)和MFD分子矩陣N(s)之間具有關系結論10.49[聯(lián)合能控能觀測條件]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實現(AC,BC,CC)聯(lián)合能控和能觀測的一個充分條件為，對所有s∈ξ，qp矩陣N(s)為列滿秩即rankN(s)=p左MFD的觀測形實現

考慮真qp左MFD為多項式矩陣，為行既約。為對真導出嚴真左MFD，引入矩陣左除法可以得到其中，DL-1

(s)NL(s)為嚴真左MFD。下面的問題就是，對qp嚴真左MFDDL-1

(s)NL(s)，DL(s)行既約，構造觀測器形實現定義10.5[觀測器形實現]對qp嚴真左MFDDL-1(s)NL(s)，DL(s)行既約，表行次數δrjDL(s)=krj，j=1，2…，q，則稱一個狀態(tài)空間描述16/22,29/39(2)核實現(A00B00C00)對嚴真DL-1(s)NL(s),行次數δrjDL(s)=krj，j=1，2…，q,引入行次數表達式DL(s)=Sr(s)Dhr+Ψr(s)DLrNL(s)=Ψr(s)NLr其中Dhr為DL(s)的行次系數矩陣，且detDhr≠0DLr為DL(s)的低次系數陣NLr為N(s)的低次系數陣17/22,30/39結論10.51[核實現]對qp左MFDDL-1

(s)NL(s)，其核心MFDSr-1(s)Ψr(s)的實現即DL-1(s)NL(s)的核實現為嚴真DL－1(s)NL(s)的觀測器形實現(A0,B0,C0)的系數矩陣關系式為A0=A00－DLr(s)Dhr-1C00

B0=NL,C0=Dhr-1C00

18/22,31/39觀測器形實現的性質結論10.53[觀測器形實現]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀測器形實現(A0,B0,C0)具有形式：19/22,32/39結論10.54[對應關系]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，觀測器形實現(A0,B0,C0)系數矩陣和DL(s)列次表達式系數矩陣之間具有直觀關系：A0的第j個*列=－DLrDhr-1的第j列C0的第j個*列=Dhr-1的第j列j=1，2，…，q。結論10.55[不完全能控屬性]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，則其觀測器形實現(A0,B0,C0)中，(A0，C0)為完全能觀測，但(A0，B0)一般為不完全能控。20/22,33/39結論10.56[系數矩陣間關系]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀測器形實現(A0,B0,C0)和DL－1(s)NL(s)在系數矩陣之間具有直觀關系：結論10.57[系數矩陣行列式間關系]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀測器形實現(A0,B0,C0)和DL－1(s)NL(s)在系數矩陣的行列式之間具有直觀關系：det(sI-A0)=(detDhr)-1detDL(s)dim(A0)=degdetDL(s)結論10.58[實現和NL(s)關系]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀測器形實現(A0,B0,C0)和MFD的分子矩陣NL(s)之間具有關系：21/22,34/39結論10.59[聯(lián)合能控能觀測條件]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀測器形實現(A0,B0,C0)聯(lián)合能控和能觀測的一個充分條件為，對所有s∈ξ，qp矩陣NL(s)為行滿秩即rankNL(s)=q。結論10.60[對偶性]設(A0,B0,C0)為“嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約”的觀測器形實現，(Ac,Bc,Cc)為“嚴真右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列既約”的控制器形實現，則(A0,B0,C0)和(Ac,Bc,Cc)形式為對偶，即A0(=)AcT，C0(=)BcT

22/22,35/3910.5基于矩陣分式描述的典型實現：能控性形實現和能觀測性形實現基于矩陣分式描述的實現按“右或左MFD”和“分母矩陣列既約或行既約”共有四種可能的組合。上節(jié)已就“右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列既約”和“左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約”構造“控制器形實現”和“觀測器形實現”。本節(jié)討論“右MFDN(s)D－1(s)，D(s)行既約”和“左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)列既約”構造對應的“能控性形實現”和“能觀測性形實現”。1/1,36/3910.6不可簡約矩陣分式描述的最小實現最小實現也稱為不可簡約實現。最小實現是傳遞函數矩陣的維數最小即結構最簡約的一類實現。結論10.78[不可簡約右MFD最小實現]對qp嚴真右MFDN(s)D－1(s)，設n=degdetD(s)表(Ac,Bc,Cc)為“N(s)D－1(s)，D(s)列既約”的n維控制器形實現，則有(Ac,Bc,Cc)為最小實現<=>N(s)D－1(s)不可簡約表(Aco,Bco,Cco)為“N(s)D－1(s)，D(s)行既約”的n維能控性形實現，則有(Ac0,Bc0,Cc0)為最小實現<=>N(s)D－1(s)不可簡約結論10.79[不可簡約右MFD最小實現]對qp嚴真右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列或行既約，表(A，B，C)為其任意形式的n維實現，n=degdetD(s)，則有(A，B，C)為最小實現<=>N(s)D－1(s)不可簡約1/3,37/39需要指出，盡管上述結論為由右MFD確定最小實現提供了一條易于計算的途徑，但這并不意味著由右MFD的最小實現只可能有控制器形或能控形的形式。下面，給出右MFD的最小實現的更具普遍性的結論。結論10.80[不可簡約左MFD最小實現]對qp嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，設n=degdetDL(s),表(A0,B0,C0)為“DL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約”的n維觀測器形實現，表(A0b,B0b,C0b)為“DL－1(s)NL(s)，DL(s)列既約”的n維能觀測性形實現，則(A0,B0,C0)為最小實現<=>DL－1(s)NL(s)不可簡約(A0b,B0b,C0b)為最小實現<=>DL－1(s)NL(s)不可簡約結論10.81[不可簡約左MFD最小實現]對qp嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行或列既約，表其任意形式的n維實現，n=degdetDL(s)，則有為最小實現<=>DL－1(s)NL(s)不可簡約結論10.82[狹義惟一性]盡管嚴真不可簡約右MFD或嚴真不可簡約左MFD的最小實現為不惟一，但其特定形式最小實現則為惟一，如控制器形最小實現、觀測器形最小實現、能控性形最小實現和能觀測性形最小實現等。結論10.83[不惟一性]對嚴真?zhèn)鬟f函數矩陣G(s)，由不可簡約MFD的不惟一性所決定，上述基于MFD的特定形式最小實現也為不惟一。結論10.84[維數惟一性]對嚴真?zhèn)鬟f函數矩陣G(s)，不管表為哪種類型的不可簡約MFD，也不管導出的為哪種類型的最小實現，最小實現的維數均為相同，且有最小實現維數＝MFD分母矩陣行列式的次數2/3,38/39結論10.85[代數等價性]對嚴真?zhèn)鬟f函數矩陣G(s)或矩陣分式描述MFD，其各種形式的最小實現之間為代數等價。結論10.86[確定最小實現途徑]對嚴真可簡約MFD，確定最小實現的途徑可有頻率方法和時間域方法兩類。頻率途徑為：嚴真可簡約MFD，分母矩陣為列既約或行既約=>導出不可簡約MFD，分母矩陣列既約或行既約=>導出“控制器形實現/能控性形實現”或“觀測器形實現/能觀測器性形實現”=>所得實現為最小實現，且維數等于分母矩陣行列式的次數時間域途徑為：嚴真可簡約MFD，分母矩陣為列既約或行既約=>導出能控能觀測部分(Aco，Bco，Cco)=>導出能觀測能控部分(Aoc，Boc，Coc)=>最小實現即為(Aco，Bco，Cco) 3/3,39/39第11章線性時不變系統(tǒng)的多項式矩陣描述

11.1多項式矩陣描述多項式矩陣描述(polynomialmatrixdescriptions)簡稱為PMD，是對線性時不變系統(tǒng)引入的具有更廣普遍性的一類內部描述多項式矩陣描述的形式現在，推廣討論一般形式的多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)，定義那么，可以導出系統(tǒng)的多項式矩陣描述為PMD和其他描述的關系結論11.1[PMD的傳遞函數矩陣]對線性時不變系統(tǒng)，由給出的PMD的傳遞函數矩陣G(s)為G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)1/6,1/22結論11.2[狀態(tài)空間描述的PMD]給定線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：其中，E(p)為多項式矩陣，p=d/dt為微分算子，x(0)=0，且E(p)的存在反映系統(tǒng)的非真性。那么，狀態(tài)空間描述的等價的PMD為其中，為n×1廣義狀態(tài)，PMD的各個系數矩陣為P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s)結論11.2[狀態(tài)空間描述的PMD]給定線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：其中，E(p)為多項式矩陣，p=d/dt為微分算子，x(0)=0，且E(p)的存在反映系統(tǒng)的非真性。那么，狀態(tài)空間描述的等價的PMD為其中，為n×1廣義狀態(tài)，PMD的各個系數矩陣為P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s)結論11.3[MFD的PMD]給定q×p線性時不變系統(tǒng)的右MFDN(s)D-1(s)+E(s)和左MFDDL-1(s)NL(s)+E(s)，其中N(s)D-1(s)和DL-1(s)NL(s)為嚴真MFD，E(s)為多項式矩陣。那么，等價于N(s)D-1(s)+E(s)的PMD為其中，為p×1廣義狀態(tài)，PMD的各個系數矩陣為P(s)=D(s),Q(s)=I,R(s)=N(s),W(s)=E(s)2/6,2/22等價于DL-1(s)NL(s)+E(s)的PMD為其中，為q×1廣義狀態(tài)，PMD的各個系數矩陣為P(s)=DL(s),Q(s)=NL(s),R(s)=I,W(s)=E(s)不可簡約PMD

不可簡約PMD是線性時不變系統(tǒng)的最為基本和應用最廣的一類PMD。定義11.1[不可簡約PMD]稱(P(s),Q(s),R(s),W(s))為不可簡約PMD,當且僅當{P(s),Q(s)}左互質，{P(s),R(s)}右互質把可簡約PMD化為不可簡約PMD是復頻率域方法中經常面臨的一個問題。3/6,3/22情形Ⅰ

{P(s),R(s)}右互質，{P(s),Q(s)}非左互質結論11.5[構造不可簡約PMD]對“{P(s),R(s)}右互質，{P(s),Q(s)}非左互質”型可簡約PMD，表m×m多項式矩陣H(s)為非左互質{P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，再取則可簡約PMD的一個不可簡約PMD為情形Ⅱ

{P(s),R(s)}非右互質，{P(s),Q(s)}左互質結論11.6[構造不可簡約PMD]對“{P(s),R(s)}非右互質，{P(s),Q(s)}左互質”型可簡約PMD，表m×m多項式矩陣F(s)為右互質{P(s),R(s)}的任一最大右公因子，再取即有則可簡約PMD的一個不可簡約PMD為4/6,4/22情形Ⅲ

{P(s),R(s)}非右互質，{P(s),Q(s)}非左互質結論11.7[構造不可簡約PMD]對“{P(s),R(s)}非右互質，{P(s),Q(s)}非左互質”型可簡約PMD，表m×m多項式矩陣H(s)為非左互質{P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，取m×m多項式矩陣為的任一最大右公因子，取則可簡約PMD的一個不可簡約PMD為5/6,5/22結論11.8[不可簡約PMD不唯一性]設(P(s),Q(s),R(s),W(s))為線性時不變系統(tǒng)的一個不可簡約PMD,P(s)為m×m多項式矩陣，Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項式矩陣。表U(s)和V(s)為任意兩個m×m單模陣，取則也為系統(tǒng)的一個不可簡約PMD6/6,6/2211.2多項式矩陣描述的狀態(tài)空間實現

PMD的實現

考慮線性時不變系統(tǒng)，其多項式矩陣描述即PMD為其中，P(s)為m×m多項式矩陣；Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項式矩陣。定義11.2[PMD的實現]稱狀態(tài)空間描述為PMD（P(s),Q(s),R(s),W(s)）的一個實現，如果兩者的傳遞函數矩陣為相等，即成立：R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)=C(sI-A)-1B+E(s)其中，E(s)=E(p)︱p=s

注PMD的實現具有強不唯一性，即不僅實現的結果不唯一，且實現的維數也不唯一。1/1,7/2211.3多項式矩陣描述的互質性和狀態(tài)空間描述的能控性與能觀測性

左互質性與能控性

考慮線性時不變系統(tǒng)，其多項式矩陣描述為其中，P(s)為m×m多項式矩陣，Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項式矩陣。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述即PMD的一個實現為其中，A為n×n常陣，B和C為n×p和q×n常陣，E（p）為q×p多項式矩陣。下面，給出能控性和左互質性間關系的結論結論11.16[左互質性和能控性]對線性時不變系統(tǒng)的PMD及其狀態(tài)空間實現，有（P(s),Q(s)）左互質〈==〉(A,B)完全能控結論11.17[右互質性和能觀測性]對線性時不變系統(tǒng)的PMD及其狀態(tài)空間實現有（P(s),R(s)）右互質〈==〉(A,C)完全能觀測1/4,8/22結論11.18[不可簡約PMD的最小描述性]對線性時不變系統(tǒng)，如同稱（A,B）完全能控和（A,C）完全能觀測的狀態(tài)空間描述（A,B,C,E(p)）為最小描述一樣，也稱(P(s),Q(s))左互質和(P(s),R(s))右互質的不可簡約PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))為最小描述。結論11.19[MFD右互質性和能觀測性]考慮線性時不變系統(tǒng)的右MFD為嚴真，其能控類實現為其中，dim(Ac)=degdetD(s)。則有{D(s),N(s)}右互質〈==〉(Ac,Cc)完全能觀測2/4,9/22結論11.20[MFD左互質性和能控性]考慮線性時不變系統(tǒng)的左MFD為嚴真，其能觀測類實現為其中，dim(A0)=degdetDL(s)。則有{DL-1(s),NL(s)}左互質〈==〉(A0,B0)完全能控結論11.21[狀態(tài)空間描述的互質性]考慮線性時不變系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為（A,B,C,E(p)），傳遞函數矩陣G(s)的關系式為G(s)=C(sI-A)-1B+E(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)則由PMD左右互質性和狀態(tài)空間描述能控性能觀測性的等價關系，可知{sI-A,B}左互質〈==〉(A,B)完全能控{sI-A,C}右互質〈==〉(A,C)完全能觀測3/4,10/22結論11.22[SISO系統(tǒng)互質性]考慮單輸入單輸出即SISO線性時不變系統(tǒng)，表其傳遞函數g(s)為其中，P(s)為m×m多項式矩陣，r(s)和q(s)為1×m和m×1多項式項量， W(s)為多項式，φ(s)為P(s)的最小多項式。則有{P(s),r(s)}右互質〈==〉φ(s)和r(s)H(s)不含相消因子{P(s),q(s)}左互質〈==〉φ(s)和H(s)q(s)不含相消因子{P(s),r(s)}和{P(s),q(s)}均互質〈==〉g(s)嚴真部分不含零點－極點對消4/4,11/2211.4傳輸零點和解耦零點

PMD的極點

考慮線性時不變系統(tǒng)的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其傳遞函數矩陣為G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)定義11.3[PMD的極點]對PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，定義：PMD的極點＝“R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的極點結論11.23[PMD的極點]表（A,B,C,E(p)）為PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))的一個最小實現，則有PMD的極點＝“det(sI-A)=0”的根結論11.24[PMD的極點]若PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))為不可簡約，則有PMD的極點＝“detP(s)=0的根”定義11.4[PMD的傳輸零點]對PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其傳遞函數矩陣為G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)，則定義：PMD的傳輸零點＝“R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的零點1/2,12/22結論11.25[PMD的傳輸零點]表（A,B,C,E(p)）為PMD(P(s),Q(s),R(s)，W(s))的任一最小實現，則有PMD的傳輸零點＝使降秩的s值結論11.26[PMD的傳輸零點]若PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))為不可簡約，則有PMD的傳輸零點＝使降秩的s值2/2,13/2211.5系統(tǒng)矩陣

考慮線性時不變系統(tǒng)，其多項式矩陣描述為其中，P(s)為m×m非奇異多項式矩陣；Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項式矩陣。進而，表上式為增廣變量方程形式，有定義11.8[PMD系統(tǒng)矩陣]線性時不變系統(tǒng)PMD的系統(tǒng)矩陣定義為其增廣變量方程（11.143）的系數矩陣，即結論11.35[狀態(tài)空間描述系統(tǒng)矩陣]線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的系統(tǒng)矩陣為1/4,14/22結論11.36[MFD系統(tǒng)矩陣]對q×p線性時不變系統(tǒng)的 MFD，右N(s)D-1(s)的系統(tǒng)矩陣為左DL-1(s)NL(s)的系統(tǒng)矩陣為結論11.37[判斷不可簡約性]線性時不變系統(tǒng)PMD的系統(tǒng)矩陣為S(s)，有PMD不可簡約〈==〉S(s)的前m行和前m列分別滿秩，結論11.38[PMD的極點零點]線性時不變系統(tǒng)PMD的系統(tǒng)矩陣為S(s)，若PMD為不可簡約，則有PMD的極點＝使S(s)左上方m×m塊矩陣降秩s值PMD的傳輸零點＝使S(s)降秩s值2/4,15/22增廣系統(tǒng)矩陣通常，一個線性時不變系統(tǒng)的不同類型描述的系統(tǒng)矩陣在維數上為不同。進而，同一類型不同描述的系統(tǒng)矩陣在維數上也常為不同。增廣系統(tǒng)矩陣正是為克服由此而引起的不便而在系統(tǒng)矩陣基礎上導出的一類廣義系統(tǒng)矩陣。定義11.9[PMD增廣系統(tǒng)矩陣]線性時不變系統(tǒng)PMD的增廣系統(tǒng)矩陣定義為其中，β為正整數且可按需要任取結論11.42[不可簡約性相同]對線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有Se(s)不可簡約〈==〉S(s)不可簡約結論11.43[互質性相同]對線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有{Pe(s),Qe(s)}左互質〈==〉{P(s),Q(s)}左互質{Pe(s),Re(s)}右互質〈==〉{P(s),R(s)}右互質3/4,16/22結論11.44[極點和傳輸零點相同]對線性時不變系統(tǒng)的不可簡約系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有Se(s)的極點＝S(s)的極點Se(s)的傳輸零點＝S(s)的傳輸零點結論11.45[解偶零點相同]對線性時不變系統(tǒng)的可簡約系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有Se(s)的輸入解偶零點＝S(s)的輸入解偶零點Se(s)的輸出解偶零點＝S(s)的輸出解偶零點結論11.46[傳遞函數矩陣相同]線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)具有相同的傳遞函數矩陣，即有Re(s)Pe-1(s)Qe(s)+W(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)結論11.47[分母矩陣行列式相同]線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)具有相同的分母矩陣行列式，即有detPe(s)=detP(s)結論11.48[特性關系屬性相同]對線性時不變系統(tǒng)，引入增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)代替系統(tǒng)矩陣S(s)以討論不同描述間關系，不會損失不同描述在特性上的關系屬性，如互質性、能控性能觀測性、穩(wěn)定性等。4/4,17/2211.6嚴格系統(tǒng)等價

對線性時不變系統(tǒng)，考慮相同輸入和相同輸出的兩個PMD的系統(tǒng)矩陣S1(s)和S2(s)，它們既可屬于同一系統(tǒng)也可屬于不同系統(tǒng)，并表S1(s)和S2(s)分別為其中，Pi(s)為mi×mi非奇異多項式矩陣，Ri(s)、Qi(s)和Wi(s)為mi×p、q×mi和q×p多項式矩陣，i=1,2。進而，不妨設m1＝m2＝m。定義11.10[嚴格系統(tǒng)等價]稱兩個PMD型系統(tǒng)矩陣S1(s)和S2(s)為嚴格系統(tǒng)等價，當且僅當存在m×m單模陣U(s)和V(s)，以及q×m和m×p多項式矩陣X(s)和Y(s)，使成立：并且，記為S1(s)～S2(s)1/5,18/22三點說明:1:嚴格系統(tǒng)等價是一種變換關系2:嚴格系統(tǒng)等價變換是一類特定的左右單模變換3:嚴格系統(tǒng)等價變換滿足對稱性、自反性和傳遞性對稱性：若S1(s)～S2(s)，則S2(s)～S1(s)。自反性：S1(s)～S1(s)。傳遞性：若S1(s)～S2(s)，S2(s)～S3(s)，則S1(s)～S3(s)。嚴格系統(tǒng)等價變換的性質

線性時不變系統(tǒng)的兩個PMD型系統(tǒng)矩陣S1(s)和S2(s)，若S1(s)～S2(s)即嚴格系統(tǒng)等價，則兩者分母矩陣P2(s)和P1(s)具有等同的不變多項式，即有detP2(s)=β0detP1(s)其中，β0為非零常數嚴格系統(tǒng)等價變換下傳遞函數矩陣保持不變2/5,19/22對線性時不變系統(tǒng)，表兩個多項式矩陣描述其系統(tǒng)矩陣為S1(s)和S2(s)，再令（A1,B1,C1,E1(p)）＝PMD1的任一能控類或能觀測類實現（A2,B2,C2,E2(p)）＝PMD2的任一能控類或能觀測類實現若S1(s)～S2(s)即嚴格系統(tǒng)等價，則兩個同類實現具有相同維數和相同特征多項式，即有dim(A1)=dim(A2)det(sI-A1)=det(sI-A2)嚴格系統(tǒng)等價變換下系統(tǒng)同類實現在維數和特征多項式上的等同性3/5,20/22左互質性和右互質性在嚴格系統(tǒng)等價變換下的不變性對線性時不變系統(tǒng)，PMD的互質性在嚴格等價變換下保持不變若S1(s)～S2(s)即嚴格系統(tǒng)等價，則有{P2(s),Q2(s)}左互質〈==〉{P1(s),Q1(s)}左互質{P2(s),R2(s)}右互質〈==〉{P1(s),R1(s)}右互質能控性和能觀測性在嚴格系統(tǒng)等價變換下的不變性“狀態(tài)空間描述代數等價”和“系統(tǒng)矩陣嚴格系統(tǒng)等價”的等價性對線性時不變系統(tǒng)，表兩個狀態(tài)空間描述為（A1,B1,C1,E1(p)）和（A2,B2,C2,E2(p)）系統(tǒng)矩陣為則有（A2,B2,C2,E2(p)）代數等價（A1,B1,C1,E1(p)）〈==〉S2(s)～S1(s)4/5,21/22傳遞函數矩陣的所有不可簡約MFD的嚴格系統(tǒng)等價對線性時不變系統(tǒng)的q×p傳遞函數矩陣G（s），且不要求為嚴真，則G(s)的所有不可簡約MFD必都為嚴格系統(tǒng)等價結論11.57[不可簡約PMD的嚴格系統(tǒng)等價]對線性時不變系統(tǒng)的q×p傳遞函數矩陣G（s），G(s)的所有不可簡約PMD為嚴格系統(tǒng)等價嚴格系統(tǒng)等價描述在結構性質和運動行為上的等同性由嚴格系統(tǒng)等價性保證，在不可簡約的前提下，線性時不變系統(tǒng)的三類描述即狀態(tài)空間描述、右或左MFD以及PMD在用于系統(tǒng)的分析和綜合時的結果為完全等價，不會出現丟失系統(tǒng)結構信息的情況。5/5,22/22第12章線性時不變系統(tǒng)的復頻率域分析12.1并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀測性

并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)是以“輸入相同”和“輸出相加”為特征的一類組合系統(tǒng)首先，給出對子系統(tǒng)的兩個基本假定。一是，S1和S2可由其傳遞函數矩陣G1(s)和G2(s)完全表征，即其相應的狀態(tài)空間描述為完全能控和完全能觀測。二是，子系統(tǒng)傳遞函數矩陣Gi(s)，i=1,2為qi×pi有理分式矩陣。且表為不可簡約右和左MFD：Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1(s)NLi(s)，i=1,2S1S2u=u1=u2，y=y1+y2

p1=p2=p，q1=q2=q結論12.1[能控性條件]由線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的并聯(lián)系統(tǒng)Sp，若取G1(s)=不可簡約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡約右MFDN2(s)D2-1(s)則有Sp完全能控<=>{D1(s)，D2(s)}左互質1/2,1/15結論12.2[能觀測性條件]線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的并聯(lián)系統(tǒng)Sp，若取G1(s)=不可簡約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有Sp完全能觀測<=>{DL1(s)，DL2(s)}右互質結論12.3[不可簡約性條件]由線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的并聯(lián)系統(tǒng)Sp，若取G1(s)和G2(s)為“不可簡約右MFDN1(s)D1-1(s)與N2(s)D2-1(s)”和“不可簡約左MFDDL1-1(s)NL1(s)與DL2-1(s)NL2(s)”，則有Sp不可簡約，即可用G1(s)+G2(s)完全表征<=>{D1(s)，D2(s)}左互質，{DL1(s)，DL2(s)}右互質結論12.4[能控性和能觀測性條件]由線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的多輸入多輸出并聯(lián)系統(tǒng)Sp，則Sp保持完全能控和完全能觀測的一個充分條件是，q×p傳遞函數矩陣G1(s)和G2(s)不包含公共極點。結論12.6[能控性和能觀測性條件]由線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的單輸入單輸出并聯(lián)系統(tǒng)Sp，則Sp保持為完全能控和完全能觀測的充分必要條件是，標量傳遞函數g1(s)和g2(s)不包含公共極點。2/2,2/1512.2串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀測性串聯(lián)系統(tǒng)是由子系統(tǒng)按串聯(lián)方式順序聯(lián)接的組合系統(tǒng)首先，對子系統(tǒng)引入兩個基本假定。一是，S1和S2可由其傳遞函數矩陣G1(s)和G2(s)所完全表征，即其狀態(tài)空間描述為完全能控和完全能觀測。二是，Gi(s)，i=1,2,為qi×pi有理分式矩陣，且表為不可簡約右和左MFD：Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1NLi(s)，i=1,2S1S2uu1y1u2y2y進而，由子系統(tǒng)的S1－S2串聯(lián)特征，可以給出系統(tǒng)組成上的相應約束條件為u=u1，y1=u2，y=y2

p1=p，q1=p2，q2=q結論12.7[能控性條件]由線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡約右MFDN2(s)D2-1(s)則有ST完全能控<=>{D2(s)，N1(s)}左互質1/4,3/15結論12.8[能控性條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有ST完全能控<=>{DL2(s)，NL2(s)N1(s)}左互質結論12.9[能控性條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡約右MFDN2(s)D2-1(s)則有ST完全能控<=>{DL1(s)D2(s)，NL1(s)}左互質結論12.10[能觀測性條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有ST完全能觀測<=>{DL1(s)，NL2(s)}右互質2/4,4/15結論12.11[能觀測性保持條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡約右MFDN2(s)D2-1(s)則有ST完全能觀測<=>{DL1(s)D2(s)，N2(s)}右互質結論12.12[能觀測性保持條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有ST完全能觀測<=>{D1(s)，NL2(s)N1(s)}右互質結論12.13[能控性條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的多輸入多輸出串聯(lián)系統(tǒng)ST，設p=p1≥q1=p2，傳遞函數矩陣G1(s)為滿秩，則ST保持完全能控的一個充分條件是，沒有G2(s)極點等同于G1(s)傳輸零點3/4,5/15結論12.15[能觀測性條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的多輸入多輸出串聯(lián)系統(tǒng)ST，設p2=q1≤q2=q，傳遞函數矩陣G2(s)為滿秩，則ST保持完全能觀測的一個充分條件是，沒有G1(s)極點等同于G2(s)傳輸零點。結論12.17[能控性條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的單輸入單輸出串聯(lián)系統(tǒng)ST，則ST保持完全能控的充分必要條件是，沒有g1(s)零點為g2(s)極點所對消。結論12.18[能觀測性條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的單輸入單輸出串聯(lián)系統(tǒng)ST，則ST保持完全能觀測的充分必要條件是，沒有g1(s)極點為g2(s)零點所對消。結論12.19[完全表征條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的單輸入單輸出串聯(lián)系統(tǒng)ST，則ST可用g2(s)g1(s)完全表征的充分必要條件是，g1(s)和g2(s)沒有極點零點對消現象。4/4,6/1512.3狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測性

結論12.21[狀態(tài)反饋系統(tǒng)復頻率域形式]對線性時不變受控系統(tǒng)，狀態(tài)反饋系統(tǒng)復頻率域結構基本形式如圖所示，并被采用作為復頻率域方法中分析和綜合狀態(tài)反饋的基本模型。Dhc-1Ψ(s)S-1(s)NLcDhc-1DLcKD-1(s)N(s)KΨ(s)結論12.22[狀態(tài)反饋系統(tǒng)的MFD]復頻率域結構圖表征的線性時不變狀態(tài)反饋系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數矩陣的右MFD為GK(S)=N(s)DK-1(s)閉環(huán)分母矩陣DK(s)為DK(s)=DhcS(s)+(DLc+K)Ψ(s)1/2,7/15結論12.23[能控性]復頻率域結構圖表征的線性時不變狀態(tài)反饋系統(tǒng)∑K和開環(huán)受控系統(tǒng)∑0有∑K完全能控<=>∑0完全能控結論12.24[能觀測性]復頻率域結構圖表征的線性時不變狀態(tài)反饋系統(tǒng)∑K和開環(huán)受控系統(tǒng)∑0，∑0完全觀測不能保證∑K必為完全能觀測。2/2,8/1512.4輸出反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測性考慮圖示結構組成的線性時不變輸出反饋系統(tǒng)∑F。首先對輸出反饋系統(tǒng)∑F引入三個基本約定：(i)子系統(tǒng)S1和S2為真或嚴真，且可由傳遞函數矩陣G1(s)和G2(s)分別