數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)技巧總結(jié)——圓錐曲線（一)湖南省常德市安鄉(xiāng)縣第五中學(xué)龔光勇收集整理1．圓錐曲線的兩個(gè)定義:（1）第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于,當(dāng)常數(shù)等于時(shí),軌跡是線段FF,當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無(wú)軌跡;雙曲線中，與兩定點(diǎn)F，Ｆ的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù),且此常數(shù)一定要小于|FＦ|,定義中的“絕對(duì)值”與<|FF｜不可忽視。若=|ＦF｜,則軌跡是以F,Ｆ為端點(diǎn)的兩條射線,若﹥|ＦF|,則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表達(dá)雙曲線的一支。比如:①已知定點(diǎn)，在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是A．B.Ｃ.D.(答：Ｃ）；②方程表達(dá)的曲線是__＿_(dá)_（答:雙曲線的左支)（２）第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義,給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系,要善于運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化。如已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P(ｘ，ｙ）,則y+|PQ|的最小值是_＿_(dá)__(答：2)2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn))在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程):（1）橢圓:焦點(diǎn)在軸上時(shí)(）(參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在軸上時(shí)=1（)。方程表達(dá)橢圓的充要條件是什么?（ABC≠0，且A,B,C同號(hào),A≠B)。比如:①已知方程表達(dá)橢圓,則的取值范圍為_(kāi)＿_(dá)_(答:)；②若,且,則的最大值是_＿＿_(dá)，的最小值是___(答：)（2)雙曲線:焦點(diǎn)在軸上:＝1，焦點(diǎn)在軸上：=1（）。方程表達(dá)雙曲線的充要條件是什么?（ABＣ≠0，且A,Ｂ異號(hào)）。比如：①雙曲線的離心率等于,且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程_＿_(dá)____(答：)；②設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上,離心率的雙曲線C過(guò)點(diǎn)，則C的方程為_(kāi)_＿＿_(dá)__(答：）（3)拋物線：開(kāi)口向右時(shí)，開(kāi)口向左時(shí)，開(kāi)口向上時(shí),開(kāi)口向下時(shí)。3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（一方面化成標(biāo)準(zhǔn)方程,然后再判斷）:（1)橢圓:由,分母的大小決定,焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程表達(dá)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則ｍ的取值范圍是＿_(dá)（答：)(２）雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定,焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上,一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向。特別提醒：（1)在求解橢圓、雙曲線問(wèn)題時(shí)，一方面要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F,F的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型,而方程中的兩個(gè)參數(shù),擬定橢圓、雙曲線的形狀和大小,是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問(wèn)題時(shí)，一方面要判斷開(kāi)口方向；(２)在橢圓中,最大，，在雙曲線中，最大,。４.圓錐曲線的幾何性質(zhì):（１)橢圓(以（）為例):①范圍:；②焦點(diǎn):兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性:兩條對(duì)稱軸,一個(gè)對(duì)稱中心（０,0),四個(gè)頂點(diǎn),其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線;⑤離心率:，橢圓，越小,橢圓越圓；越大，橢圓越扁。比如:①若橢圓的離心率,則的值是＿＿（答：3或);②以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為１時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_(kāi)_(答：)（2)雙曲線(以（)為例):①范圍：或；②焦點(diǎn):兩個(gè)焦點(diǎn);③對(duì)稱性:兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心(０,0）,兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2,虛軸長(zhǎng)為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí),稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；④準(zhǔn)線:兩條準(zhǔn)線；⑤離心率:，雙曲線,等軸雙曲線,越小,開(kāi)口越小，越大，開(kāi)口越大;⑥兩條漸近線:。比如：①雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于__＿_(dá)__(答:或）；②雙曲線的離心率為，則=（答：4或）;③設(shè)雙曲線(ａ>0，b>0)中,離心率e∈[,2]，則兩條漸近線夾角θ的取值范圍是_____＿_(dá)_（答:）;（3）拋物線(認(rèn)為例）:①范圍：；②焦點(diǎn):一個(gè)焦點(diǎn),其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；③對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心,只有一個(gè)頂點(diǎn)(0,0）;④準(zhǔn)線:一條準(zhǔn)線；⑤離心率：，拋物線。如設(shè),則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__＿＿＿_(dá)_(答:）；５、點(diǎn)和橢圓()的關(guān)系：（１）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上＝1；(3)點(diǎn)在橢圓內(nèi)6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn),故是直線與雙曲線相交的充足條件，但不是必要條件;直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有,當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充足條件，但不是必要條件。比如：①若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2＝6的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k的取值范圍是＿_(dá)_____（答：(-,-1)）；②直線y―kｘ―１＝0與橢圓恒有公共點(diǎn),則ｍ的取值范圍是_______（答：[１，5）∪（5,+∞））；③過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若│AB︱=4,則這樣的直線有_____條（答:3）;(２）相切:直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切;直線與拋物線相切;(３)相離:直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒:（1)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形:相切和相交。假如直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交，但只有一個(gè)交點(diǎn);假如直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn);（2)過(guò)雙曲線＝１外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：①Ｐ點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②Ｐ點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí),有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條;③P在兩條漸近線上但非原點(diǎn),只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線,一條是切線;④P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線;（3)過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn):兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。比如:①過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線有＿_(dá)_＿_(dá)_(答：2）;②過(guò)點(diǎn)(０,2)與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為_(kāi)_____(答:);③過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若4，則滿足條件的直線有_＿_(dá)_條(答：3）;④對(duì)于拋物線C:，我們稱滿足的點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部,若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，則直線:與拋物線C的位置關(guān)系是_______(答：相離)；⑤過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn),若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是、,則______＿（答：1）;⑥設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為,設(shè)某直線交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于，則和的大小關(guān)系為_(kāi)＿_(dá)____＿＿_(dá)_(填大于、小于或等于）(答：等于）;⑦求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離(答：）;⑧直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)。①當(dāng)為什么值時(shí)，、分別在雙曲線的兩支上？②當(dāng)為什么值時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？(答:①;②)；７、焦半徑(圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法:運(yùn)用圓錐曲線的第二定義,轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表達(dá)P到與F所相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。比如：①已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為３,則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為_(kāi)＿＿_(dá)（答:)；②已知拋物線方程為,若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于＿_(dá)＿_(dá);③若該拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4,則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)＿_(dá)_