第五章剛體的轉(zhuǎn)動5.1剛體轉(zhuǎn)動的描述5.2轉(zhuǎn)動定律5.3轉(zhuǎn)動慣量的計算5.4轉(zhuǎn)動定律的應用5.5角動量守恒5.6轉(zhuǎn)動中的功和能海南大學－大學物理電子教案剛體模型無論在多大的外力下，形狀和體積均保持不變的理想物體稱為剛體。剛體可看成是無數(shù)個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系。在剛體內(nèi)部任意兩質(zhì)點間的距離永遠保持不變。理想化模型——可視為一個特殊的質(zhì)點系。解決剛體動力學問題的一般方法原則:質(zhì)點系的三個定理利用剛體的特征化簡到方便形式(簡便好記)序言：海南大學－大學物理電子教案剛體的平動質(zhì)點模型運用質(zhì)心運動定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動利用剛體的模型(無形變)

化簡角動量定理功能原理方便的形式海南大學－大學物理電子教案5.1剛體轉(zhuǎn)動的描述剛體運動的幾種形式:剛體的平動如果剛體內(nèi)任意一條直線在剛體中始終保持它的取向不變，則這種運動稱為平動。如升降機的運動，汽缸中活塞的運動。剛體作平動時，剛體上所有的點運動狀態(tài)完全相同，所以剛體上任意一點的運動就可代表整個剛體的運動，剛體相當于一個質(zhì)點。海南大學－大學物理電子教案剛體的轉(zhuǎn)動如果剛體上的各個質(zhì)點在剛體運動中都繞同一直線作圓周運動，則這種運動稱為轉(zhuǎn)動，該直線稱為轉(zhuǎn)軸。本課程主要研究剛體轉(zhuǎn)軸在空間不移動的轉(zhuǎn)動，即定軸轉(zhuǎn)動。定軸轉(zhuǎn)動的特點：簡化轉(zhuǎn)動平面海南大學－大學物理電子教案

線量角量rθΔrΔθvωa剛體中的每一個質(zhì)點都在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作圓周運動剛體中的每一個質(zhì)點都具有相同的角速度、角位移和角加速度。用角量描述比用線量描述方便海南大學－大學物理電子教案任一質(zhì)點圓周運動的線量和角量的關(guān)系OlmCx對于勻加速轉(zhuǎn)動，用角量描述的方程式為海南大學－大學物理電子教案一般運動=(平動)+(轉(zhuǎn)動)原則:隨某點(基點)的平動+過該點的定軸轉(zhuǎn)動基點任選。實際:因為對質(zhì)心存在“質(zhì)心運動定理”所以：基點就選質(zhì)心ABDA’B’D’圖示基點任選剛體的一般運動海南大學－大學物理電子教案解：已知角位置，求角速度和角加速度，用微分：飛輪作變加速轉(zhuǎn)動例題1：一飛輪在時間t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度式中a、b、c都是常量，求它的角加速度。課本P161例5.1海南大學－大學物理電子教案5.2轉(zhuǎn)動定理剛體這一質(zhì)點系的角動量變化定理：把上式向z軸投影，得沿z軸的分量式：海南大學－大學物理電子教案剛體對定軸的角動量轉(zhuǎn)動平面剛體上任一質(zhì)元繞o點轉(zhuǎn)動的角動量其大小即為該質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的角動量海南大學－大學物理電子教案轉(zhuǎn)動平面剛體對定軸的角動量式中～剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量（剛體對定軸的角動量）海南大學－大學物理電子教案剛體定軸轉(zhuǎn)動定理剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。海南大學－大學物理電子教案（剛體定軸轉(zhuǎn)動定律）定軸轉(zhuǎn)動定律在轉(zhuǎn)動問題中的地位相當于平動時的牛頓第二定律應用轉(zhuǎn)動定律解題步驟與牛頓第二定律時完全相同。海南大學－大學物理電子教案J是一個與m對應的物理量，表示了剛體轉(zhuǎn)動時慣性的大小，稱為剛體對給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量（簡稱轉(zhuǎn)動慣量）。5.3轉(zhuǎn)動慣量的計算海南大學－大學物理電子教案若質(zhì)量連續(xù)分布轉(zhuǎn)動慣量的計算dm為質(zhì)量元，其計算方法如下：質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布面分布體分布海南大學－大學物理電子教案

影響轉(zhuǎn)動慣量的因素質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布影響轉(zhuǎn)動慣量的要素：計算公式(1)總質(zhì)量(2)質(zhì)量分布(3)轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)動慣量的計算例題：剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算關(guān)鍵在于積分元——質(zhì)量元dm的選取海南大學－大學物理電子教案xOl例7、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對通過一端垂直于桿的轉(zhuǎn)動慣量。解:建立如圖ox坐標xdx在離坐標原點為x的桿上選一長度元dx該長度元的質(zhì)量海南大學－大學物理電子教案例8：求半徑為R、質(zhì)量為m的薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。薄圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量dmOmR解：環(huán)上任取一質(zhì)量元dm該質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為R海南大學－大學物理電子教案例9、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),lORrdr可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。海南大學－大學物理電子教案例10：求質(zhì)量m,半徑R的球殼對直徑的轉(zhuǎn)動慣量解：取離軸線距離相等的點的集合為積分元海南大學－大學物理電子教案例11.求質(zhì)量m,半徑R的球體對直徑的轉(zhuǎn)動慣量解：以距中心r，厚dr的球殼為積分元Ro海南大學－大學物理電子教案在一系列的平行軸中，對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量最小平行軸定理例如均勻桿：xdxxOl轉(zhuǎn)軸通過一端垂直于桿轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于桿海南大學－大學物理電子教案課堂練習A：如圖質(zhì)點系，則該質(zhì)點系對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量——————。答案：課堂練習B：右圖剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的zz/軸的轉(zhuǎn)動慣量—————————————。答案：海南大學－大學物理電子教案5.4轉(zhuǎn)動定律的應用（剛體定軸轉(zhuǎn)動定理）定軸轉(zhuǎn)動定理在轉(zhuǎn)動問題中的地位相當于平動時的牛頓第二定律應用轉(zhuǎn)動定理解題步驟與牛頓第二定律時完全相同。海南大學－大學物理電子教案例5.5、一個飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？（閘瓦與飛輪間的滑動摩擦系數(shù)為0.46）F0解：飛輪制動時有角加速度海南大學－大學物理電子教案又外力矩是摩擦阻力矩：0Nfr由定軸轉(zhuǎn)動定律：海南大學－大學物理電子教案例：一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計。求(1)飛輪的角加速度。(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速度。解(1)根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律海南大學－大學物理電子教案(2)隔離m、M，受力分析如圖分別應用牛頓第二定律和定軸轉(zhuǎn)動定律海南大學－大學物理電子教案解:隔離m1、M、m2例13：已知定滑輪質(zhì)量M、半徑R，輕繩不可伸長且與滑輪間無相對滑動，輕繩兩端連著質(zhì)量為m1、m2的物體，設m2>m1。

求：1）物體運動的加速度a；2）繩子的張力T；

3)滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度。受力分析如下圖海南大學－大學物理電子教案聯(lián)立解方程即得其解分別應用牛頓運動定律和轉(zhuǎn)動定理海南大學－大學物理電子教案課堂練習：一根長為l、質(zhì)量為m的均勻細直棒，可繞軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置求：（1）剛釋放時木棒的角加速度；（2）木棒轉(zhuǎn)到豎直位置時木棒的角加速度。OlmCx解：重力對整個棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩dm木棒下擺時只有重力產(chǎn)生力矩海南大學－大學物理電子教案OlmCxdm可見，木棒在下擺過程中角加速度越來越小，但角速度越來越大。課本P168例5.7均勻細直木棒在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動海南大學－大學物理電子教案例18、一個剛體系統(tǒng)，如圖所示，已知轉(zhuǎn)動慣量，現(xiàn)有一水平力作用于距軸為l‘處。求：軸對棒的作用力（也稱軸反力）解設軸對棒的作用力為N質(zhì)點系由轉(zhuǎn)動定律由質(zhì)心運動定理海南大學－大學物理電子教案打擊中心質(zhì)心運動定理與轉(zhuǎn)動定律聯(lián)用質(zhì)點系若海南大學－大學物理電子教案剛體對定軸的角動量定理：（剛體所受的外力矩等于剛體角動量的變化率）（剛體對定軸角動量定理的微分式）5.5角動量守恒海南大學－大學物理電子教案（微分式）兩邊積分（積分式）對轉(zhuǎn)軸的外力矩的時間積累效果，稱為沖量矩剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量當轉(zhuǎn)軸給定時，作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量——剛體對定軸的角動量定理海南大學－大學物理電子教案對定軸的角動量守恒定律根據(jù)若則常數(shù)（剛體對定軸的角動量守恒）分以下幾種情況：對于轉(zhuǎn)動慣量不變的剛體，若則常數(shù)剛體做勻速轉(zhuǎn)動對于轉(zhuǎn)動慣量可變的剛體，若則常數(shù)海南大學－大學物理電子教案mmω茹可夫斯基凳演示花樣滑冰運動

芭蕾舞演員表演對于由質(zhì)點、剛體組成的系統(tǒng)，若則常數(shù)此情況常用于研究質(zhì)點與定軸轉(zhuǎn)動剛體的碰撞問題若質(zhì)點繞周作圓周運動，則質(zhì)點對軸的角動量：海南大學－大學物理電子教案說明角動量定理和角動量守恒定律，不僅適用于宏觀問題，也適用于原子、原子核等微觀問題，因此角動量守定律是比牛頓定律更為基本的定律。內(nèi)力矩可以改變系統(tǒng)內(nèi)部各組成部分的角動量，但不能改變系統(tǒng)的總角動量。角動量定理和角動量守恒定律只適用于慣性系。海南大學－大學物理電子教案例題14：工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動慣量為JA=10kgm2，B的轉(zhuǎn)動慣量為JB=20kgm2。開始時A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？AACBACB海南大學－大學物理電子教案解：以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動量守恒。為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動的角速度，于是以各量的數(shù)值代入得海南大學－大學物理電子教案或共同轉(zhuǎn)速為在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守恒，部分機械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機械能為課本P171例5.8海南大學－大學物理電子教案例15：質(zhì)量為M、半徑為R的轉(zhuǎn)盤，可繞鉛直軸無摩擦地轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)盤的初角速度為零。一個質(zhì)量為m的人，在轉(zhuǎn)盤上從靜止開始沿半徑為r的圓周相對轉(zhuǎn)盤勻速走動，如圖。求當人在轉(zhuǎn)盤上走一周回到盤上的原位置時，轉(zhuǎn)盤相對于地面轉(zhuǎn)過了多少角度。解：以人和轉(zhuǎn)盤組成的系統(tǒng)為研究對象當人走動時，系統(tǒng)所受外力對鉛直軸的力矩為零，故對軸角動量守恒海南大學－大學物理電子教案以j、J分別表示人和盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量，并以、分別表示任一時刻人和盤繞軸的角速度其中代入海南大學－大學物理電子教案此時盤相對于地面轉(zhuǎn)過的角度為：人在盤上走一周時海南大學－大學物理電子教案例題16：圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=2103kgm2，它以=0.2rad/s的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是=2kg/s。廢氣的噴射速率（相對于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應噴射多長時間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。rdm/2dm/2u-uL0Lg解：把飛船和排出的廢氣看作一個系統(tǒng)，廢氣質(zhì)量設為m。海南大學－大學物理電子教案原系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等于飛船自身的角動量，即在整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量Lg應為由于廢氣質(zhì)量遠小于飛船的質(zhì)量在噴氣過程中，以dm表示dt

時間內(nèi)噴出的氣體這些氣體對中心軸的角動量為：dm

r(u+v)

方向與飛船的角動量方向相同因u=50m/s遠大于飛船的速率v(=r)

，所以此角動量近似地等于dm

ru海南大學－大學物理電子教案當宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時，其角動量為零。系統(tǒng)這時的總角動量L1就是全部排出的廢氣的總角動量，即為在整個噴射過程中，系統(tǒng)所受的對于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對于此軸的角動量守恒，即于是所需的時間為海南大學－大學物理電子教案課堂練習：A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動，角速度分別為：wA=50rad.s-1,wB=200rad.s-1。已知A圓盤半徑RA=0.2m,質(zhì)量mA=2kg,B圓盤的半徑RB=0.1m,質(zhì)量mB=4kg.試求兩圓盤對心銜接后的角速度w.解：以兩圓盤為系統(tǒng)，系統(tǒng)角動量守恒海南大學－大學物理電子教案當剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動而發(fā)生角位移時，就稱力矩對剛體做功。力對P點作功：0‘05.6轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功——力矩的功海南大學－大學物理電子教案因力矩作功：對于剛體定軸轉(zhuǎn)動情形，因質(zhì)點間無相對位移，任何一對內(nèi)力作功為零。0‘0海南大學－大學物理電子教案例2：一根長為l，質(zhì)量為m的均勻細直棒，可繞軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置求：木棒下擺到豎直位置時重力做的總功。解：OlmCx重力做功即重力對轉(zhuǎn)軸的力矩做功（1）重力對轉(zhuǎn)軸的力矩dmx取棒上一小段，其質(zhì)量為dm，它所受重力對轉(zhuǎn)軸的力矩整個棒對轉(zhuǎn)軸的力矩海南大學－大學物理電子教案由質(zhì)心定義OlmCxdmxdmg重力對整個棒的力矩就和全部重力集中作用于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣海南大學－大學物理電子教案xLOMy例3：已知棒長L,質(zhì)量M，在摩擦系數(shù)為的桌面轉(zhuǎn)動(如圖)求：轉(zhuǎn)動一周摩擦力做的功。解：摩擦力對轉(zhuǎn)軸的力矩xdx海南大學－大學物理電子教案

轉(zhuǎn)動中的能——剛體的轉(zhuǎn)動動能因此整個剛體的動能剛體的轉(zhuǎn)動動能應該是組成剛體的各個質(zhì)點的動能之和。則該質(zhì)點的動能為：設剛體中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為，速度為,0‘0海南大學－大學物理電子教案——剛體因轉(zhuǎn)動而具有的動能，因此叫剛體的轉(zhuǎn)動動能。（剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量）所以上式寫為海南大學－大學物理電子教案例4：如圖，質(zhì)量為m的四個小球由長為a的輕桿相連，它們組成一正方形的剛體體系。該體系繞y軸轉(zhuǎn)動，角速度為。求：該剛體體系的轉(zhuǎn)動動能。y解：該剛體體系對軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動動能海南大學－大學物理電子教案定軸轉(zhuǎn)動的動能定理總外力矩對剛體所作的功為：由質(zhì)點系動能定理對定軸轉(zhuǎn)動剛體——合外力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動動能的增量。海南大學－大學物理電子教案例5：一質(zhì)量為M，半徑R的圓盤，盤上繞著細繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時，其速度為多大？mgTMm解：隔離m、M對質(zhì)點m應用動能定理對剛體M應用動能定理海南大學－大學物理電子教案解得：mgTMm課本P174例5.11海南大學－大學物理電子教案剛體的重力勢能hhihcxOmCm一個質(zhì)元：整個剛體：根據(jù)質(zhì)心定義，此剛體的質(zhì)心高度應為海南大學－大學物理電子教案機械能守恒對于含有剛體的系統(tǒng),如果在運動過程中只有保守內(nèi)力作功,則此系統(tǒng)的機械能守恒。一個不太大的剛體的重力勢能相當于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時所具有的勢能。hhihcxOmCm其中質(zhì)點動能mv2/2，勢能mgh剛體動能Jw2/2，勢能mghc海南大學－大學物理電子教案例6：一根長為l，質(zhì)量為m的均勻細直棒，可繞軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置求：它由此下擺

角時的解法一：由動能定理求解OlmCx木棒在下擺過程中，只有重力產(chǎn)生力矩海南大學－大學物理電子教案解法二：用機械能守恒定律求解木棒在下擺過程中，只有重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒選木棒、地球為研究系統(tǒng)OlmCx海南大學－大學物理電子教案alov解：30°例14：一長為l、質(zhì)量為M的桿可繞支點o自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為m，速度為v的子彈射入距支點為