→→→→→→→→→→→→→→→→→→→第→→→→→→→→→→→→→→→→→→→1.理解向量共線、向量共面的定.2.掌握共線向量定理和共面向量理，會證明空間三點共線、四點共面．知識點一共向量1．空間兩個向量共線的充要條對于空間任意兩個向量，b≠0)，a∥的充要條件是存在實λ使a＝λb2．直線的方向向量在直線l上取零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為線l方向向量．思考1對于空間向量，b，，若ab且∥，是否以得到a∥c答案不能．若＝0則對任意向量a，c都ab且∥.思考2怎樣利用向量共線證明，B，三共線？答案只需證明向A，BC(不唯一)共線即可．知識點二共向量1．共面向量如圖，如果表示向量a的向線段所在的直線OA直線l平或重合，那么稱向量平于直線l.如果直線平行于平面或在平α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共，那么向量p與量a，面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)(，)，使p＝xayb思考已知空間任意一點O和不線的三點，，，存在有序?qū)崝?shù)(，y，滿足關(guān)系O＝＋xAB＋，點P與點A，，是共面？答案共面.由＝＋xAB，得＝＋yAC，所以向與向A，共，故點P與A，，共面．1．向量與向量是共線向量，則點，B，，在同一條直線上(×)2．若向量b，c共，則表示這個向量的有向線段所在的直線共面(×)3．空間中任意三個向量一定是面向量(×)1/11

→→→＝(CD－)－→→→→→→→→→→→→→→34．若P，，，共，則存在→→→＝(CD－)－→→→→→→→→→→→→→→3一、向量共線的判定及應用【例1】如圖所示，已知四邊形是間四邊形，，分是邊，的中點，F(xiàn)，分是邊，上的→2→→2→點，且＝CB，＝CD.求證：四邊形EFGH是形．33證明∵，分是，的點，→1→→1→∴＝AB，＝，22→→→1→1→1→則－＝ADABBD2221→→13→3→→3→＝(CG－CF)＝FG22244→→→3→→∴且|＝FG|≠|(zhì)|.4又不直線EH上，∴四邊形EFGH梯形．反思感悟向共線的判定及應(1)本題利用向量的共線證明了線平行，解題時應注意向量共線與兩直線平行的區(qū)別．(2)判斷或證明兩向量a，≠0)共，就是尋找實λ，使＝λb成，為此常結(jié)合題目圖，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達．(3)判斷或證明空間中的三(如，，B共線的方法：是否存在實數(shù)，使＝；跟蹤訓練1(1)已知A，，三共線，O為線外空間任意一點，OC＋nOB，則m＋＝________.答案1解析由于AB，三共線，所以存在實λ，使得＝，即－＝(OBOA，所以＝(1)OA，所以m＝1－，＝，所以m＋→→→2→(2)如圖所示，在正方體－B中，在AD上，且AE，在角AC上且＝FC.求證：，，三共線．2/11

→→→3→→→24222→→→3→→→24222→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→證明設(shè)＝，＝b，＝，→→→2→因為AE＝2，AF＝FC，→2→2→所以AED，AF＝，35→2→2所以AEAD＝b，33→2→→2→→→22AF＝－)＝(AB＋AD)＝a＋b－c，5555所以＝A－＝a－b－＝b－c515553

.→→→→22又＝EAAA＋＝－b－a＝－－，33→2→所以＝EB所以E，，三共線．5二、向量共面的判定→1→1→1→【例2】已知A，三不共線，平面外一點滿M＝OA＋OC.333(1)判斷，，三個向量是否共面；(2)判斷M是在平面ABC．解∵＋＋OC＝3，∴＝(－)＋(－OC)，∴＋＝－MB－，∴向量，，共．(2)由(1)知，向M，，共面，而它們有共同的起點M且A，，三不共線，∴，A，，共，即在面內(nèi)．反思感悟解向量共面的策略(1)若已知點在面ABC，則有＝xAB＋＝xOA＋x＋＋＝1)，然后利用指定向量表示已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個向量共面(或四點共)需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．3/11

→→→→11→11→→→→→→→跟蹤訓練2(1)如圖所示，已知形ABCD和矩所在的平面互相垂直，點M，N分別在對線BD，上，且→→→→11→11→→→→→→→BM＝BD，＝AE求證：向M，，共面．331證明因為M在BD上且BM＝，3→1→1→1→所以＝DB＋AB.333→1→1→同理＝AD.33所以＝＋＋＝＋AB3

＋＋＋DE32→1→2→1→＝＋＝CDDE3333又不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可N，，共．(2)已知E，G，分是空間四邊形的，，，的中點，求證：①，F(xiàn)，，四共面．②∥平面.證明如圖，連接EG，.→→→→1→→→→→→→→→→①因為＝＋＝＋(＋BD＝EBBF＋EH＝＋，向量共面的充要條件知向量E，，共面，即，2F，四共面．→→→1→1→1→②因為＝－＝－AB＝BD，所以EH∥.222又平面EFGH，BD平EFGH所以∥平面EFGH空間共線向量定理的應用【例3】如圖所示，已知四邊形ABCD，都平行四邊形，且們所在的平面不共面M，N分別是，的中點，求證：MN.4/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→證明∵，分是，的點，又四邊形，ABEF是平行四邊形，→→→→1→→1→∴＋FN＝CAAF＋FB，22又∵MN＝＋＋1→→→1→＝－CA＋CE－AFFB221→→1→1→→→1∴＋＋FB＝－CA＋－AF－FB，2222∴＋2＋＝2(＋＋)，∴＝2MNCE∥.∵點不上，∴CE.[素養(yǎng)提升證空間圖形中的兩直線平行，可以轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量共線問題．這里鍵是利用向量的線性運算，從而確定＝中的λ的值．1．滿足下列條件，能說明空間重合的A，，點共線的()A.＋＝C.＝

B.－＝ACD．||＝||答案C2．若空間中任意四點，，，滿O＝＋nOB，其中m＋n＝1，則)A．∈直線B．直ABC．點P可在直線AB，也可能不在直線上D．以上都不對答案A解析因為mn＝1，所以m＝1－，所P＝(1－)·＋nOB，即O－＝OB－)，即A＝nAB所以與B共線．又有公共起點，所以，，三在同一直線上，即∈直線AB.3．下列條件中，使與AB，一共面的()A.＝2－－OC5/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→B.＝OA＋＋OC532C.＋＋＝0D.＋＋＋＝0答案C解析C選中MA－－MC，∴點M，，，C共．→→1→1→4．已知點在面內(nèi)，并且對空間任意一點，有＝＋OBOC，則的為)331AB．0C．3D.3答案D→→1→1→解析∵＝＋OBOC，33且，B，四共面，111∴＋＋＝1∴＝，故D.3335．已知非零向量e，e不共線，使kee與e＋共的的是．答案±1解析若ke＋與e＋共，則ke＋＝(e＋)，所以

k＝，λk＝1.所以k1．知識清單：(1)空間向量共線的充要條件，線的方向向量．(2)空間向量共面的充要條件．2．方法歸納：化化歸．3．常見誤區(qū)：混淆向量共線與線段共線、點共線．1．已知向量a，，且＝＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點()6/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→

B．，B，CD．，C，D答案A解析因為AD＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2)＝3，∥，又有公共點A，所以A，，三點共線．2．對于空間的任意三個向量，bab，它們一定是()A．共面向量C．不共面向量

B．共線向量D．既不共線也不共面的向量答案A3．在平行六面體ABCD－中向量，D，是)A．有相同起點的向量C．共面向量

B．等長向量D．不共面向量答案C解析因為DC－DA＝，＝C，所以DCD＝A，即D＝DA＋A.又D與A不線，所以DCD，A三向量共面．→4→→1→4．已知P為間中任意一點，，，，D四滿足任意三點均不共線，但四點共面，＝－xPC＋DB，則實36數(shù)的為()1111A.B．－C.D．－3322答案A→4→→1→4→→1→→→→1→解析PA＝－xPC＋DBPB－＋(PD)＝PBxPC－PD36366又∵P是間任意一點A，B，C，四滿足任意三點均不共線，但四點共面，311∴－－＝1解得＝2635多選下列命題中錯誤的是)A．若A，，，是間任意四點，則A＋＋＋＝0B．|a－||＝|＋是a，線的充要條件C．若，共，則∥CDD．對空間任意一點與共線的三點，C，若＝＋＋(中y，∈R)則，，，C點共面7/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→2→→解析顯然A正確；若a，共線，a＋|＝|b或a＋|＝||a－|b||，B錯；若共線，則直線AB，可能重合，故錯誤；只有當x＋＋＝1時，P，，，四才共面，故誤．→→→1→→6．在△中，已知是邊上一點，A＝2，＝CA＋λCB，λ＝________.3答案

23→→→→1→→1→→2→解析CD＝－＝－＝－(－)＝CB＋，3333→1→→2又＝CA＋，以＝.337．設(shè)e，是間兩個不共線的向量已＝e＋ke＝5e＋4e，＝－－2e，，，三共線，則實數(shù)k＝________.答案1解析∵＝＋＋＝7＋(＋6)，且共線，故＝xAB，即7＋(＋6)e＝xe＋，故7－＋(＋6xk＝0，又∵，e不共線，∴，

解得

故的為1.8．已知O為間任一點，，B，四滿足任意三點不共線，但四點共面，OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO則x＋3＋4＝________.答案－1解析由題意知，，，共的充要條件是：對空間任意一點O，存在實數(shù)x，，，OA＝OB＋y＋z，且x＋＋，因此，x＋4＝19.如圖，在平行六面體－中M，分是CDAB的中，E在上且EA，在上CFFC，判斷是否共線．8/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→2→→→2→→→→→→→→→→→→→→→→→→→2→→→2→1→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→1→→1→→→1→＝＋＋＝＋＋233＝＝＝－NF.即＝，∴共線．10．在長方體ABCD－D中，為DD中點，點在上，且AN∶NC＝2∶1，求證：A與A，A共．→→→→→→→1→→2→2→→證明∵A＝－，＝A＋DM＝AD－AA，＝AC＝AB＋)，233∴A＝－AA＝(AB＋)－＝－＋3322→2→＝＋，33∴A與AB，共面．11．若P，，，為間四點，且＝＋，則α＋＝1是，，三共線的()A．充分不必要條件C．充要條件

B．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件答案C解析若＋＝1，則－＝βPC－)，即＝βBC顯然，A，，C三點共線；若，B，三點線，則有AB＝，故P－＝(－)，整理得P＝(1)－，＝1λ，β＝－，則＋β＝1故選C.→1→→→→→1→12．平面內(nèi)五點，，，D，，其中無三點共線O空間一點，滿O＝OBxOC＋yOD，＝2xOC＋23＋yOE則＋3等()5757A.B.C.D.6633答案B1解析由點AB，，共得＋＝22又由點B，，，共得＋y＝，311聯(lián)立方程組解得x＝，＝，637所以x＋3＝.613．已知正方體ABCD－BC中P，為間任意兩點，如果P＝PB＋7BA＋6，么必)9/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→5→→→→C．在平面BAD內(nèi)

B．在平面BAD內(nèi)D．在平面ABC內(nèi)答案C解析PM＝PB＋7＋6AAD＝＋＋6－4＝＋BABAAD＝＋6(－)－4(PD－)＝11PA－6PB，于是M，，，四點共面．