山西省太原市第三十八中學高二數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為（

）參考答案：D略2.設等差數(shù)列的前n項和為,若,,則當取最小值時,n=(

)A．6

B．7

C．8

D．9參考答案：A3.若關(guān)于的不等式內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，則a的值為（）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．參考答案：C【考點】一元二次不等式的解法．【專題】計算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應用．【分析】根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系可得，2為方程ax2+5x﹣2=0的兩根然后根據(jù)韋達定理求出a的值．【解答】解：∵不等式ax2+5x﹣2＞0的解集為{x|＜x＜2}，∴，2為方程ax2+5x﹣2=0的兩根，∴根據(jù)韋達定理可得∴×2=﹣∴a=﹣2故選：C．【點評】本題主要考察一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化與應用．5.如果函數(shù)y=(a2-4)x在定義域內(nèi)是減函數(shù),則a的取值范圍是()a.|a|＞2

b.|a|＞c.|a|＜

d.2＜|a|＜參考答案：D∵0＜a2-4＜1,∴4＜a2＜.∴2＜|a|＜.6.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，向量=（n，），=（m，），=（k，）（n，m，k∈N*），且=λ?+μ?，則用n、m、k表示μ=（）A．B． C．D．參考答案：C【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】首先判斷出點P1，P，P2共線，根據(jù)向量共線定理，設則===，所以μ=t，轉(zhuǎn)化為求t．【解答】解：設等差數(shù)列{an}的首項a1，公差為d，則=a1+d=+（a1﹣），數(shù)列{}是等差數(shù)列，所以點P1，P，P2共線，設則===，所以μ=t又=（n﹣m，（n﹣m）），=（k﹣m，（k﹣m）），所以t=，即μ=故選C．【點評】本題考查平面向量的運算，向量共線的判定和性質(zhì)．7.過點作圓的兩條切線，切點分別為A、B，O為坐標原點，則△OAB的外接圓方程為（

）A. B.C. D.參考答案：A由題意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四邊形AOBP有一組對角都等于90°，∴四邊形AOBP的四個頂點在同一個圓上，此圓的直徑是OP，OP的中點為（2，1），OP="2"5，∴四邊形AOBP的外接圓的方程為，∴△AOB外接圓的方程為.

8.設M=2a（a﹣2），N=（a+1）（a﹣3），則有（）A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N參考答案：A略9.甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學．若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（）A．150種 B．180種 C．300種 D．345種參考答案：D【考點】D1：分類加法計數(shù)原理；D2：分步乘法計數(shù)原理．【分析】選出的4人中恰有1名女同學的不同選法，1名女同學來自甲組和乙組兩類型．【解答】解：分兩類（1）甲組中選出一名女生有C51?C31?C62=225種選法；（2）乙組中選出一名女生有C52?C61?C21=120種選法．故共有345種選法．故選D10.設x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推廣到x+≥n+1，則a=（）A．2n B．2n C．n2 D．nn參考答案：D【考點】F1：歸納推理．【分析】結(jié)合已知的三個不等式發(fā)現(xiàn)第二個加數(shù)的分子是分母x的指數(shù)的指數(shù)次方，由此得到一般規(guī)律．【解答】解：設x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推廣到x+≥n+1，所以a=nn；故選D．【點評】本題考查了合情推理的歸納推理；關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知幾個不等式中第二個加數(shù)的分子與分母中x的指數(shù)的變化規(guī)律，找出共同規(guī)律．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：12.參考答案：7略13.函數(shù)f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4)上為減函數(shù)，則a的取值范圍為

參考答案：

14.甲、乙、丙三人站成一排，則甲、乙相鄰的概率是_________.參考答案：試題分析：甲、乙、丙三人站成一排，共有種排法，其中甲、乙相鄰共有種排法，因此所求概率為考點：古典概型概率【方法點睛】古典概型中基本事件數(shù)的計算方法(1)列舉法：此法適合于較簡單的試驗．(2)樹狀圖法：樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適合較復雜問題中基本事件數(shù)的探求．(3)列表法：對于表達形式有明顯二維特征的事件采用此法較為方便．(4)排列、組合數(shù)公式法．15.

數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且滿足a2007+a2010+a2016=2,a2010+a2013+a2019=6,則a2007+a2010+a2013+a2016+a2019等于（

）A.

B.C.

D.參考答案：C易得a2007(1+q3+q9)=2,a2010(1+q3+q9)=6,兩式相除,得到==,得q3=3,將其代入a2010(1+q3+q9)=6,得a2010=,故所求為(a2007+a2010+a2016)+(a2010+a2013+a2019)-a2010=2+6-a2010=.16..如圖，ABC是圓的內(nèi)接三角形，PA切圓于點A，PB交圓于點D．若ABC=60°，PD=1，BD=8，則PAC=______，PA=_________參考答案：略17.設p：|4x﹣3|≤1；q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】解絕對值不等式|4x﹣3|≤1，我們可以求出滿足命題p的x的取值范圍，解二次不等式（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，我們可求出滿足命題q的x的取值范圍，根據(jù)p是q的充分不必要條件，結(jié)合充要條件的定義，我們可以構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可得到實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：命題p：|4x﹣3|≤1，即≤x≤1命題q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，即a≤x≤a+1∵p是q的充分不必要條件，∴解得0≤a≤故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．BQ=t（1）若在邊BC上存在一點Q，使PQ⊥QD，求a與t關(guān)系；（2）在（1）的條件下求a的取值范圍；（3）（理科做，文科不做）當邊BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD時，求二面角A﹣PD﹣Q的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法．【專題】空間角．【分析】（1）利用直角三角形的勾股定理得到a，t的關(guān)系；（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合基本不等式求a的范圍；（3）由（Ⅰ）知，當t=2，a=4時，邊BC上存在唯一點Q（Q為BC邊的中點），使PQ⊥QD．過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．得到平面角∠MNQ是二面角A﹣PD﹣Q的平面角，結(jié)合直角三角形的余弦求之．【解答】解：（1）如圖，連接AQ，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．設，則CQ=a﹣t，在直角三角形MBQ中中，有AQ=．在Rt△CDQ中，有DQ=．

…（4分）在Rt△ADQ中，有AQ2+DQ2=AD2．即t2+4+（a﹣t）2+4=a2，即t2﹣at+4=0．（2）由（1）得a=t+≥4．故a的取值范圍為[4，+∞）．（3）由（Ⅰ）知，當t=2，a=4時，邊BC上存在唯一點Q（Q為BC邊的中點），使PQ⊥QD．過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．過M作MN⊥PD于N，連結(jié)NQ，則QN⊥PD．∴∠MNQ是二面角A﹣PD﹣Q的平面角．在等腰直角三角形PAD中，可求得MN=，又MQ=2，進而NQ=．∴cos∠MNQ=．故二面角A﹣PD﹣Q的余弦值為．【點評】本題考查了直角三角形的勾股定理以及二面角的平面角求法，關(guān)鍵在正確找出平面角，屬于中檔題．19.已知數(shù)列，設，數(shù)列。（Ⅰ）求證：是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和Sn；（Ⅲ）若一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。參考答案：證明：（1）由題意知，……1分……………2分……………3分∴數(shù)列的等差數(shù)列……4分（2）解：由（1）知，…………5分…6分……………7分兩式相減得………8分……9分（3）…………10分∴當n=1時，…11分∴當n=1時，取最大值是………………12分又……13分即……14分

略20.已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,過點D作AC的平行線DE,交BA的延長線于點E．求證：(1)△ABC≌△DCB

(2)DE·DC＝AE·BD．參考答案：證明：(1)∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC。。。。。。。。。。。。。8分∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC

∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB∴△ADE∽△CBD

∴DE:BD＝AE:CD，

∴DE·DC＝AE·BD.。。。。。。。10分21.（本小題滿分16分）某固定在墻上的廣告金屬支架如圖所示，根據(jù)要求,至少長米，C為的中點，到的距離比的長小米，.（1）若將支架的總長度表示為的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域.（注：支架的總長度為圖中線段和長度之和）（2）如何設計的長，可使支架總長度最短．參考答案：（1）由則，且，則支架的總長度為，在中，由余弦定理,

化簡得

即

①

………4分記

,由，則.故架的總長度表示為的函數(shù)為定義域為………………8分（2）由題中條件得，即,

設

則原式=

………………12分由基本不等式,有且僅當，即時“=”成立，又由滿足.

，.當時，金屬支架總長