利用圖解法求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解一、課前準備1、課時目標：（1）知識與技能：掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；（2）過程與方法：經(jīng)歷從實際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程，提高數(shù)學建模能力；（3）情態(tài)與價值：引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學態(tài)度和科學道德.2、基礎(chǔ)預探：（1）在求可行域的過程中，對于線性約束條件，用的系數(shù)的符號比用點的坐標代入來的更快捷.當時，不等式表示的區(qū)域是直線的_______________；不等式表示的區(qū)域是直線的__________，當時，不等式表示的區(qū)域是直線的________；不等式表示的區(qū)域是直線的____________.（2）求線性目標函數(shù)的最大值或最小值，首先做出直線，再將該直線_________移動，使直線和可行域有公共點，再觀察在可行域中使或最大或最小時所經(jīng)過的點，該點的坐標就是__________解.二、基本知識習題化1、點和在直線的兩側(cè)，則的取值范圍是（）A．或B．或C．D．2、不等式組表示的平面區(qū)域面積是（）A．28B．16C．D．1213、已知實數(shù)滿足則的最大值為______________4、已知滿足條件則的最大值為_________三、學習引領(lǐng)最優(yōu)整數(shù)解問題，就是在有些線性規(guī)劃問題中，變量要求取整數(shù)，因此其最優(yōu)解也必須為整點，解答這類問題可以先解決一般的線性規(guī)劃問題（不考慮整數(shù)），再在可行域內(nèi)適當調(diào)整，從而確定最優(yōu)整數(shù)解即可.四、典例導析：例1、某工廠制造甲、乙兩種產(chǎn)品，已知制造甲產(chǎn)品1kg要用煤9噸，電力4kw，勞力（按工作日計算）3個；制造乙產(chǎn)品1kg要用煤4噸，電力5kw，勞力10個.又知制成甲產(chǎn)品1kg可獲利7萬元，制成乙產(chǎn)品1kg可獲利12萬元.現(xiàn)在此工廠只有煤360噸，電力200kw，勞力300個，在這種條件下應生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少千克，才能獲得最大經(jīng)濟效益？思路導析：設(shè)未知量，建立目標函數(shù)，根據(jù)平面區(qū)域求最值.解：設(shè)此工廠應生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品kg,kg，利潤萬元，則依題意可得約束條件：利潤目標函數(shù)為作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域（如圖），作直線，把直線向右上方平移至位置時，直線經(jīng)過可行域上的點時，此時取得最大值.解方程組得點的坐標為所以應生產(chǎn)甲20千克、乙產(chǎn)品24千克，才能獲得最大經(jīng)濟效益變式練習1、某糕點廠生產(chǎn)高檔蛋糕和普通面包，生產(chǎn)高檔蛋糕1千克分別需要面粉100克、糖200克、雞蛋300克，生產(chǎn)普通面包分別需要面粉300克、糖200克、雞蛋100克.現(xiàn)已在庫存量面粉為15千克，糖12千克，雞蛋15千克，若在此基礎(chǔ)上進行生產(chǎn)，請列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應的平面區(qū)域.例2、某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計180，擬分割成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積為13，可住游客3名，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間才能獲得最大收益？思路導析：按線性規(guī)劃問題的步驟.解：設(shè)隔出大房間間，小房間間，收益為元，則滿足且作出可行域如圖作出直線即，平行移動，當?shù)竭_點時（記為），的縱截距最大，解得，但，所以不是最優(yōu)解，于是將從向左下方平移，平移過程中，最早經(jīng)過可行域的整點可能為，,它們對應的值一次為36,34,35,36,34,35,33,31,32分別與50的乘積.所以當經(jīng)過和時，取得最大值，所以應隔出小房間12間，或大房間3間，小房間8間，可以獲得最大利潤.規(guī)律總結(jié)：最優(yōu)解不一定都在邊界上，如果要求的最優(yōu)解是可行域中的整數(shù)解，且直觀上不易確定最優(yōu)解，那么在求得非整數(shù)解后，可以在其附近按可行域中的最優(yōu)解應滿足的必要條件對的取值一一列舉.由邊界直線方程分別求得對應的最大（或最新）整數(shù)值，再代入目標函數(shù)分別計算并比較大小，如能適當推理估計，則過程更簡.變式練習2、經(jīng)調(diào)查，某高校兩個專業(yè)擬招收新生.已知專業(yè)招收100名新生需配備教師：教授1人，副教授4人；專業(yè)招收100名新生需配備教師：教授1人，副教授2人.專業(yè)新生每年的學費為6000元；專業(yè)新生每年的學費為5000元.這所高校為兩個專業(yè)配備的教師確定為：教授不超過5人，副教授不超過16人.問兩個專業(yè)每年從這兩個專業(yè)的新生中招收多少名新生收繳的學費最多？例3、已知，,求的最大值和最小值.思路導析：要求的最值，可令，則為斜率為-1的平行直線系在軸上的截距，將已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組，作出平面區(qū)域（可行域）解：設(shè)，題設(shè)條件可轉(zhuǎn)化為作出它們在平面直角坐標系內(nèi)圍成的區(qū)域如圖所示，則為斜率為-1的平行直線系在軸上的截距.當直線往右平移時，隨之增大，經(jīng)過不等式組所表示的平面區(qū)域的點時，取最小值，即；當直線經(jīng)過點時，取最大值，即.所以的最大值和最小值分別是18和4.規(guī)律總結(jié)：這類問題的解題思路是在直角坐標平面內(nèi)，根據(jù)條件確定平面區(qū)域，并將最值問題轉(zhuǎn)化為直線在坐標軸上的截距問題來解決.變式練習3、已知實數(shù)滿足則的取值范圍是_______________五、隨堂練習：1、設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（）Ａ．6Ｂ．-6Ｃ．10Ｄ．-102、設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（）3、設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（）A．2B．3C．4D．94、設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解為5、設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為6、設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值和最小值為？ 六、課后作業(yè)：1、設(shè)變量滿足約束條件則的最大值為（）A-1B1C2D-22、設(shè)點，其中，滿足的點的個數(shù)是（）A．10B．9C．3D．無數(shù)個3、若變量滿足約束條件則的取值范圍為4、設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)取得最大值的點的坐標是___________5、變量滿足約束條件則的最小值為？6、寫出滿足不等式組的解集.答案：一．2.（1）上方，下方，下方，上方（2）平行，最優(yōu)二．1C解析：由題意知，即，2．B解析：依題意作出可行域如圖，因為直線與直線垂直，所以為直角三角形，易得，，，解析：作出可行域如圖，令=0，則，當移動直線過圖中的點時，取得最大值，解方程組，得，代入，得4．5解析：依題意作圖，，即，交點，，所以過點時取最大值為5.四．變式訓練1：解析：設(shè)設(shè)高檔蛋糕和普通面包應各生產(chǎn)千克和千克，則所滿足的數(shù)學關(guān)系式為即分別畫出不等式組中各不等式所表示的區(qū)域，然后取交集.如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分）就是不等組所表示的 區(qū)域.變式訓練2：設(shè)專業(yè)招收新生人，專業(yè)招收新生人，每年收繳的學費為元，則，作出可行域如圖，做直線，即，把直線向右上方平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點，這時取得最大值，解方程組得點的坐標為（3,2）把代入得元。變式訓練3解析：依題意作出可行域如圖，直接求出各直線交點，再求五．解析：只需畫出線性規(guī)劃區(qū)域如圖，可知，的最小值為-6.2.C解析：依題意作出可行域如圖，由，得，要求的最大值，可求的最大值，即斜率為的直線在可行域內(nèi)在軸上截距的最大值，如圖，顯然直線過點時，在軸上的截距最大，聯(lián)立得，所以的最大值為3.B解析：依題意作出可行域如圖，直接求出各直線交點，則目標函數(shù)的最小值為3.4.（4,3）解析：作出可行域如圖，直線，過時，最大5.4解析：作出可行域如圖，當直線過可行域上點時，直線在軸上的截距最小，最小，又點，所以6.依題意作出可行域，由得，由得，由得，表示可行域內(nèi)的點到點的距離的平方，以為圓心，為半徑畫圓，當圓經(jīng)過點時，最大，當圓經(jīng)過點時，最小，所以，六．1．B解析：依題意找到可行域，對于直線，越大，越小。2.A解析：選擇單位長度，找整數(shù)點。3.解析：作出可行域如圖，理解為區(qū)域上的點與點