19.1.1

矩形的性質(zhì)曹碑學(xué)校覃堯1.什么叫平行四邊形？ABCDO2.平行四邊形有哪些性質(zhì)？①對(duì)邊平行且相等;②對(duì)角相等;③對(duì)角線互相平分;④是中心對(duì)稱圖形。一、復(fù)習(xí)回顧有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。用四段木條做一個(gè)ABCD的活動(dòng)木框，將其直立在桌面上輕輕地推動(dòng)點(diǎn)D，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么?試一試DACBDACBOO┓90°有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形平行四邊形矩形有一個(gè)角是直角矩形是特殊的平行四邊形矩形的定義因此，它具有平行四邊形的一般性質(zhì)。1.畫矩形ABCD，并從對(duì)稱性觀察它是什么圖形。2.從角、對(duì)角線兩方面進(jìn)行考慮，你能發(fā)現(xiàn)矩形有什么特有的性質(zhì)嗎？請(qǐng)以小組的形式討論總結(jié)。ABCDO猜想1：矩形的四個(gè)角都是直角．猜想2：矩形的對(duì)角線相等．對(duì)稱性：矩形是軸對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸。二、新知探究求證：矩形的四個(gè)角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形求證：∠A=∠B=∠C=∠D=90°ABCD證明：∵四邊形ABCD是矩形∴

∠A=90°又矩形ABCD是平行四邊形∴∠A=∠C∠B=∠D∠A+∠B=90°∴

∠A=∠B=∠C=∠D=90°即矩形的四個(gè)角都是直角分析:由矩形的定義,利用對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)可得證.已知：如圖,四邊形ABCD是矩形求證：AC=BDABCD證明：∵四邊形ABCD為矩形∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°又∵

BC=CB∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC=BD即矩形的對(duì)角線相等求證:矩形的對(duì)角線相等分析:根據(jù)矩形的性質(zhì),可轉(zhuǎn)化為全等三角形(SAS)來證明.得出結(jié)論（特殊性質(zhì)）：矩形的對(duì)角相等且都是直角．矩形的兩條對(duì)角線相互平分且相等．從角上看：從對(duì)角線上看：數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=900數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵□ABCD是矩形∴OA=OB=OC=OD=AD=BC從對(duì)稱性看：既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱圖形.1.矩形具有，而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A、對(duì)角線相等B、對(duì)邊相等C、對(duì)角相等D、對(duì)角線相互平分2.下面性質(zhì)中，矩形不一定具有的是（）A、對(duì)角線相等B、四個(gè)角相等C、是軸對(duì)稱圖形D、對(duì)角線相互垂直AD練一練3.已知矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角是40°，則兩條對(duì)角線所夾銳角的度數(shù)為()

A．40°B．60°C．80°D．100°C1.四邊形ABCD是矩形（1）.若已知AB=8，AD=6，則AC＝_____，OB=_____.（2）.若已知AC＝10，BC=6，則矩形的周長(zhǎng)＝____,矩形的面積＝____（3）.若已知∠DOC=120°，AC＝8㎝，則AD=_____cm，AB=_____cmODCBA51044828隨堂練習(xí)2.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，BD是斜邊AC上的中線(1)若BD=3㎝則AC＝_____㎝(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，則AC=_____cm,BD＝____㎝.6105DCBA┓想一想A

B

C

D

O

找出矩形ABCD中的直角三角形和等腰三角形.矩形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形和等腰三角形問題例1如圖，矩形ABCD被兩條對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，如果四個(gè)小三角形的周長(zhǎng)的和是86cm,對(duì)角線長(zhǎng)是13cm，那么矩形的周長(zhǎng)是多少？解：∵

△AOB、△BOC、△COD和△AOD四個(gè)三角形的周長(zhǎng)和為86cm,又∵AC=BD=13cm,∴

AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)=86－4×13=34(cm)即矩形ABCD的周長(zhǎng)等于34cm。ＯADBC圖19.1.5針對(duì)性練習(xí)：矩形ABCD的周長(zhǎng)為56cm，對(duì)角線AC、BD交于O，△BOC和△AOB的周長(zhǎng)差是4cm，那么矩形各邊的長(zhǎng)是多少?解

∵AB+BC+CD+DA=56，（BC+BO+CO）－（AB+AO+BO）=4，又∵四邊形ABCD是矩形，∴

AB+BC=28，BC－AB=4，∴AD=

BC=16，AB=CD

=12．對(duì)邊平行對(duì)角線互相平分∴AB=CD，AD=BC（平行四邊形的

）.AO=CO，BO=DO（平行四邊形的

）.例2：如圖，在矩形ABCD中，AB=3．BC=4，BE⊥AC,垂足為點(diǎn)E，試求BE的長(zhǎng)。解：∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°AB=3，BC=4三、運(yùn)用性質(zhì)解決問題∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：又∵ABCDE圖19.1.6A

B

C

D

O

四、類比思考新知再探如圖，一張矩形紙片，沿著對(duì)角線剪去一半，你能得到什么結(jié)論？BCOA

Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長(zhǎng)度與斜邊AC有什么關(guān)系？得到：直角三角形的一個(gè)性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.數(shù)學(xué)語(yǔ)言:∵在Rt△ABC中,BO是斜邊AC上的中線∴BO=AC1.如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，且∠AOD＝120°，你能說明AC＝2AB嗎？解:∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD()∴

OA=OC=ACOB=OD=BD()

矩形的對(duì)角線相等∴OA=OB∴

△AOB

是等邊三角形∴OA=OB=AB∴AC=2OA=2AB.平行四邊形的對(duì)角線互相平分∵∠AOD=120°∴∠AOB=180°－∠AOD=60°練一練變式練習(xí)：如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AC=8cm，求矩形BC的長(zhǎng).ABOCD解：在矩形ABCD中，OA=OB∵∠AOD=120°∴∠AOB=60°

又∵OA=OB∴△AOB為等邊三角形∴AB=OA=AC=4cm在Rt△ABC中，（cm）BC===你能由此得出什么結(jié)論？如果矩形兩對(duì)角線的夾角是60°或120°,則其中必有等邊三角形.例3：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE垂直且平分線段BO,垂足為點(diǎn)E，BD=15cm.求AC和AB的長(zhǎng)解∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD=15(矩形的對(duì)角線相等)∴AO=AC=7.5∵AE垂直平分BO∴AB=AO=7.5即AC的長(zhǎng)為15cm,AB的長(zhǎng)為