§3.2柯西-古薩基本定理

沿某一條曲線§3.1復(fù)變函數(shù)的定義、性質(zhì)與計算第三章復(fù)變函數(shù)的積分1柯西-古薩基本定理

定理3.1設(shè)C是一條簡單閉曲線.函數(shù)f(z)在以C為邊界的有界區(qū)域D內(nèi)解析，在閉區(qū)域上連續(xù).那么:CB2345于是6可將柯西-古薩基本定理推廣到多連通域的情況.設(shè)函數(shù)f(z)在多連通域D內(nèi)解析,C為D內(nèi)的任意一條簡單閉曲線,當C的內(nèi)部不完全含于D時,沿C的積分就不一定為零.

假設(shè)C及C1為D內(nèi)任意兩條(正向為逆時針方向)簡單閉曲線,C1在C內(nèi)部,而且以C及C1為邊界的區(qū)域D1全含于D.作兩條不相交的弧線AA'及BB',其中A,B在C上,A'B'在C1上這樣構(gòu)成兩條全在D內(nèi)的簡單閉曲線AEBB‘E’A‘AE及AA’F‘B’BFA.復(fù)合閉路定理7DCC1AA'BB'D1FEE'F'8將上面兩等式相加,得9(3.13)說明,如果將C及C1-看成一條復(fù)合閉路G,其正向為:沿C逆時針,沿C1-順時針,則(3.13)說明,在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值,只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)f(z)不解析的點.這一重要事實,稱為閉路變形原理10D變形過程中不能夠經(jīng)過f(z)不解析的點.11復(fù)合閉路定理:12證明思路?(見下圖,…)13DCC1C2C314例3.5從本章§1的例3.2知:當C為以z0為中心的正向圓周時,15[解]函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除z=0和z=1兩個奇點外是處處解析的.由于G是包含著圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線,因此,它也包含這兩個奇點.在G內(nèi)作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2,C1只包含奇點z=0,C2只包含奇點z=1.例3.6計算的值,G為包含圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線.16則根據(jù)復(fù)合閉路定理的i),可得xyO1GC1C21718課堂練習(xí)：P54，5（1）（3）：計算下列積分，其中c是正向圓周|z|=1：（1）（3）19§3.3原函數(shù)與不定積分20定理:如果函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,則積分與連接起點及終點的路線C無關(guān).z1z2BC1C2z1z2C1C2B21由定理可知,解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點z0和終點z1有關(guān),如圖所示,我們有z1z2BC1C2z1z2C1C2B22固定z0,讓z1在B內(nèi)變動,令z1=z,則積分在B內(nèi)確定了一個單值函數(shù)

對這個函數(shù)我們有定理3.3

如果f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,則函數(shù)F(z)必為B內(nèi)的一個解析函數(shù),并且

F'(z)=f(z).23[證]從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)來證.設(shè)z為B內(nèi)任意一點,以z為中心作一含于B內(nèi)的小圓K,取|Dz|充分小使z+Dz在K內(nèi).于是z+DzzKzz02425則任給e>0,存在d>0,當|z-z|<d即|Dz|<d時,總有 |f(z)-f(z)|<e,因此26定義3.2如果函數(shù)j(z)在區(qū)域D內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z),即j'(z)=f(z),則稱j(z)為f(z)在區(qū)域B內(nèi)的原函數(shù).

f(z)的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù).設(shè)G(z)和H(z)是f(z)的兩個原函數(shù),則[G(z)-H(z)]'=G'(z)-H'(z)=f(z)-f(z)=0.所以 G(z)-H(z)=c,c為任意常數(shù).27因此,如果函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)有一個原函數(shù)F(z),則它就有無窮多個原函數(shù),而且具有一般表達式F(z)+c,c為任意常數(shù).

跟在微積分學(xué)中一樣,定義:f(z)的原函數(shù)的一般形式F(z)+c(其中c為任意常數(shù).)為f(z)的不定積分,記作:28定理3.5如果f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,則

（1）對任意常數(shù)C，

（2）G(z)為f(z)的一個原函數(shù),則這里z0,z1為域B內(nèi)的兩點.[證]因為也是f(z)的原函數(shù),所以29當z=z0時,根據(jù)柯西-古薩基本定理,c=-G(z0)有了原函數(shù),不定積分和積分計算公式(3.16),復(fù)變函數(shù)的積分就可用微積分學(xué)中類似的方法去計算.30例3.7求積分的值[解]函數(shù)zcos

z在全平面(單連通）內(nèi)解析,容易求得它有一個原函數(shù)為zsin

z+cos

z.所以31例3.8試沿區(qū)域Im(z)0,Re(z)0內(nèi)的圓弧|z|=1,計算積分[解]函數(shù)在所設(shè)區(qū)域(單連通）內(nèi)解析.3233課堂練