2022年安徽省淮南市潘集區(qū)高皇鎮(zhèn)中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B），則△ABC的形狀（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形參考答案：D【考點】三角形的形狀判斷．【專題】計算題；解三角形．【分析】利用兩角和與差的正弦將已知中的弦函數(shù)展開，整理后利用正弦定理將“邊”化角的“正弦”，利用二倍角的正弦公式即可求得答案．【解答】解：∵（a2+b2）（sinAcosB﹣cosAsinB）=（a2﹣b2）（sinAcosB+cosAsinB），∴a2sinAcosB﹣a2cosAsinB+b2sinAcosB﹣b2cosAsinB=a2sinAcosB+a2cosAsinB﹣b2sinAcosB﹣b2cosAsinB，整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，在△ABC中，由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，代入整理得：sinAcosA=sinBcosB，∴2sinAcosA=2sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或者2A=180°﹣2B，∴A=B或者A+B=90°．∴△ABC是等腰三角形或者直角三角形．故選D．【點評】本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理與二倍角的正弦，屬于中檔題．2.從個同類產(chǎn)品（其中個是正品，個是次品）中任意抽取個的必然事件是（

）A.

個都是正品

B.至少有個是次品C.

個都是次品

D.至少有個是正品參考答案：D

解析：至少有一件正品3.已知四棱錐的三視圖如圖所示，則圍成四棱錐的五個面中，最大的面積是A.3 B.6C.8 D.10參考答案：【知識點】由三視圖求面積、體積．G2C

解析：由三視圖可知，幾何體為四棱錐，且四棱錐的一個側(cè)面與底面垂直，底面為矩形，矩形的邊長分別為2,4，底面面積為8，

可以求得四個側(cè)面的面積分別為，于是最大面積為8.故選C.【思路點撥】幾何體為四棱錐，根據(jù)三視圖判斷四棱錐的一個側(cè)面與底面垂直，判斷各面的形狀及三視圖的數(shù)據(jù)對應的幾何量，求出棱錐的高及側(cè)面SBC的斜高，代入面積公式計算，比較可得答案．4.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x），f（x）=．若關(guān)于x的方程f（x）﹣ax=0有5個不同實根，則正實數(shù)a的取值范圍是（）A．(,) B．(,) C．(16－6,) D．(,8－2)參考答案：D【分析】由題意可得函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，做出函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象，由圖象可得方程y=﹣（x﹣4）2+1=ax在（3，5）上有2個實數(shù)根，解得0＜a＜8﹣2．再由方程f（x）=ax在（5，6）內(nèi)無解可得6a＞1．由此求得正實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意可得函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，做出函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象，由圖象可得方程y=﹣（x﹣4）2+1=ax即x2+（a﹣8）x+15=0在（3，5）上有2個實數(shù)根，由解得0＜a＜8﹣2．再由方程f（x）=ax在（5，6）內(nèi)無解可得6a＞1，a＞．綜上可得＜a＜8﹣2，故選D．5.

已知函數(shù)，若，則的所有可能值為（

）A.1

B.1或

C.

D.1或參考答案：D6.一個算法的程序框圖如右圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是，則判斷框內(nèi)應填入的條件是（）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.五位同學在某次考試的數(shù)學成績?nèi)缜o葉圖，則這五位同學這次考試的數(shù)學平均分為(

) A．88 B．89 C．90 D．91參考答案：C考點：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可．解答： 解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得；這5位同學考試的數(shù)學平均數(shù)為：（84+86+88+95+97）=90．故答案為：C．點評：本題考查了計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的問題，是基礎題目．8.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b參考答案：B【分析】由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式.【詳解】橢圓的離心率,化簡得,故選B.

9.已知的夾角為120°，則方向上的投影為（

）A．

０

B．１

C．－１

D．２參考答案：A10.設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)（1﹣i）（1+2i）=(

)A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i參考答案：C【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】直接利用復數(shù)的多項式乘法展開求解即可．【解答】解：復數(shù)（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故選：C．【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，基本知識的考查．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系中，二元方程的曲線為C．若存在一個定點A和一個定角，使得曲線C上的任意一點以A為中心順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)角，所得到的圖形與原曲線重合，則稱曲線C為旋轉(zhuǎn)對稱曲線．給出以下方程及其對應的曲線，其中是旋轉(zhuǎn)對稱曲線的是

▲

（填上你認為正確的曲線）．

參考答案：12.已知函數(shù).則（?。?_________；（ⅱ）給出下列四個命題：①函數(shù)是偶函數(shù)；②存在,使得以點為頂點的三角形是等邊三角形；③存在,使得以點為頂點的三角形是等腰直角三角形；④存在,使得以點為頂點的四邊形是菱形．其中，所有真命題的序號是

．參考答案：(1)(2)(4)略13.圓的方程為若直線與圓有交點，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：14.已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，則角B＝___▲____參考答案：略15.

如圖，正四面體各棱長均為1，分別在棱上，且，則直線與直線所成角的正切值的取值范圍是

參考答案：16.已知x，y滿足約束條件，則x2+4y2的最小值是．參考答案：略17.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2－x≤0}，則A∩B＝

▲

．參考答案：｛0，1｝

考點：集合的運算．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，AC與BD交于O，點E為PC上一點，且.（Ⅰ）證明：OE∥平面PAD；（Ⅱ）若直線PB與底面ABCD所成的角為45°，且，求四棱錐P-ABCD的體積.參考答案：（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用得到，結(jié)合題目所給條件得到，由此證得平面.（Ⅱ）先證得為直線與底面所成的角，即，根據(jù)，求得后利用錐體體積公式計算出的體積.【詳解】（Ⅰ）證明：在等腰梯形中，，，，則，所以，又，所以，則平面；（Ⅱ）解：若直線與底面所成角為，而平面，所以為直線與底面所成的角，，則，又在等腰梯形中，，所以，均為等腰直角三角形，，，所以，.所以四棱錐的體積為.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明方法，考查四棱錐體積計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19.已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)證明：是上的奇函數(shù)；(2)若函數(shù),求在區(qū)間上的最大值.

參考答案：(1)略；(2)2.解析：(1)證明:函數(shù)的定義域為,且,所以是上的奇函數(shù).

5分(2)解:,

8分不妨令,則,

由可知在上為單調(diào)遞增函數(shù),所以在上亦為單調(diào)遞增函數(shù),從而,

10分所以的最大值在處取得,即.

12分另解：令,∵x∈[0,1],∴t∈[1,e]∴原函數(shù)可化為：∴

而==又t∈[1,e]時，，∴∴,故在t∈[1,e]上遞減∴，即.

略20.已知函數(shù)，其中m，a均為實數(shù)．（1）求的極值；（2）設，若對任意的，恒成立，求的最小值；（3）設，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得成立，求的取值范圍．參考答案：解：（1），令，得x=1．

………………1分當時，，由題意知在不單調(diào)，設

略21.（本小題滿分12分）班主任統(tǒng)計本班50名學生平均每天放學回家后學習時間的數(shù)據(jù)用圖5所示條形圖表示．（1）求該班學生每天在家學習時間的平均值；（2）假設學生每天在家學習時間為18時至23時，已知甲每天連續(xù)學習2小時，乙每天連續(xù)學習3小時，求22時甲、乙都在學習的概率．參考答案：解：（Ⅰ）平均學習時間為=1.8(小時)．…………………（6分）Ω

（Ⅱ）設甲開始學習的時刻為x，乙開始學習的時刻為y，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Ω={(x，y)|18≤x≤21，18≤y≤20}，面積SΩ=3×2=6．事件A表示“22時甲、乙都在學習”，所構(gòu)成的區(qū)域為A={(x，y)|20≤x≤21，19≤y≤20}，面積為SA=1