第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣

我們在前一章研究過二維隨機(jī)變量各自的概率分布特性以及與整體概率分布特性之間的關(guān)系.我們知道聯(lián)合分布可以唯一確定邊緣分布，反之不成立。前兩講我們又介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差，它們分別反映了隨機(jī)變量取值的平均水平和隨機(jī)變量取值相對于均值的分散程度，但有時需要考慮隨機(jī)向量的數(shù)字特征與各自數(shù)字特征之間關(guān)系，為此我們引入?yún)f(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差與矩的概念。第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，如果E{[XE(X)][YE(Y)]}存在.則稱此為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差.記為Cov(X,Y).即Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.

離散型

連續(xù)型

例1

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機(jī)變量討論隨機(jī)變量(X,Y)的協(xié)方差.解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3

例2

設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服從均勻分布，求Cov(X,Y).

解由已知條件于是第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義2.協(xié)方差的計算公式

例1

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機(jī)變量討論隨機(jī)變量(X,Y)的協(xié)方差.解

（2）有放回的情況

YX01pi·01/92/91/312/94/92/3p·j1/32/3第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)；第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);(6)

對任意的實(shí)數(shù)t，有又所以因此即特別

設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，如果E{[XE(X)][YE(Y)]}存在，D(X)>0，D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).記作XY.二、相關(guān)系數(shù)第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣

1.相關(guān)系數(shù)定義

2.相關(guān)系數(shù)性質(zhì)

可以證明上式表明：均方誤差是|XY|的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，即當(dāng)|XY|較大時，e較小，說明X,Y線性聯(lián)系緊密，特別|XY|=1時，X,Y之間以概率1存在線性關(guān)系.從而XY表征了X,Y之間線性關(guān)系的緊密程度.當(dāng)|XY|較大時,X,Y線性關(guān)系程度較好；當(dāng)|XY|較小時，X,Y線性關(guān)系程度較差.

3.隨機(jī)變量的相關(guān)性

設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)XY的存在,如果XY=0，則稱X與Y不相關(guān),否則,稱X與Y相關(guān)；如果XY>0，則稱X,Y正相關(guān)；如果XY

<0，則稱X,Y負(fù)相關(guān).

例3

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機(jī)變量討論隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù).解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3

例3

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機(jī)變量討論隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù).解

（2）有放回的情況

YX01pi·01/92/91/312/94/92/3p·j1/32/3

例4

設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

例4

設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)密度函數(shù)數(shù)學(xué)期望

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的方差

例4

設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

例4

設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)說明：如果(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X與Y獨(dú)立的充要條件是

第10講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣三、矩與協(xié)方差矩陣

定義1設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若存在,則稱它為X的k階原點(diǎn)矩.簡稱k階矩；

若存在,則稱它為X的k階中心矩；

若

存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點(diǎn)矩；

若

存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.

定義2設(shè)n維隨機(jī)變量的二階混合中心矩都存在,則矩陣為n維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣.

例5

設(shè)(X1,X2)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的協(xié)方差矩陣.

解

由已知條件我們有，即

.

例5

設(shè)(X1,X2)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的協(xié)方差矩陣.

解

由已知條件我們有，即

.

自然將二維正態(tài)分布的定義推廣到n維正態(tài)隨機(jī)變量的情形.n維正態(tài)隨機(jī)變量定義為n維正態(tài)隨機(jī)變量的重要性質(zhì)(1)n維正態(tài)隨機(jī)變量的每一個分量Xi(i=1,2,,n)都是正態(tài)隨機(jī)變量;反之,若X1，X2，，Xn都是正態(tài)隨機(jī)變量,且相互獨(dú)立,則是n維正態(tài)隨機(jī)變量．(2)n隨機(jī)變量

服從n維正態(tài)分布的充要條件是

都任意線性組合服從一維正態(tài)分布(不全為零）.(3)若

服從n維正態(tài)分布,設(shè)是

線性函數(shù)，則也服從多維正態(tài)分布.n維正態(tài)隨機(jī)變量的重要性質(zhì)(4)若

服從n維正態(tài)分布,則“

相互獨(dú)立”與“

兩兩不相關(guān)”是等價的.

例4

設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(1,32;0,42;-0.5),其中Z=X/3+Y/2.1)求Z的概率密度.