第2講離散模擬原理2.1基本概念2.2模擬時間推進機理2.3離散系統(tǒng)模擬的評價2.4M/M/1排隊系統(tǒng)的模擬2.5庫存控制的模擬什么是離散系統(tǒng)？自變量：一般指時間變量狀態(tài)變量：隨自變量（時間變量）而變化

1）變化隨機

2）突變例如：單服務員理發(fā)館系統(tǒng)，設上午10：00開門，晚上21：00關門，其間顧客的到達時間隨機，為每個顧客服務的時間隨機，服務員的狀態(tài)及顧客排隊等待人數(shù)變化是突變的。訂票系統(tǒng)、庫存系統(tǒng)、加工制造系統(tǒng)、交通控制系統(tǒng)、計算機系統(tǒng)等等，都屬于離散系統(tǒng)。身邊的離散系統(tǒng)模擬問題早上起床后，小明感覺不舒服，但是上午有重要考試。于是，小明先去食堂買早餐，然后匆匆趕到教室參加考試；考完試后，小明來到公交車站，坐公交車去醫(yī)院；到醫(yī)院后，小明先掛號，然后去看醫(yī)生，最后拿了藥。試問：小明遇到了哪些排隊系統(tǒng)？身邊的離散系統(tǒng)排隊服務系統(tǒng)生產(chǎn)系統(tǒng)2.1基本概念2.1.1術語

1）實體（Entity）：由系統(tǒng)外部到達系統(tǒng)的人、物等個體。

2）資源（Resource）：處理實體的設備、人員等永久駐留在系統(tǒng)中的個體；系統(tǒng)活動的必要條件。

實體資源實體實體實體

系統(tǒng)

3）屬性（Attributes）：系統(tǒng)的實體和資源的特性。

管理系統(tǒng)模擬的任務就在于分析和研究實體和資源的屬性變化規(guī)律，評價系統(tǒng)的工作性能。6顧客（實體）編號性別年齡到達時間排隊時間離開時間（屬性）4）事件（Event）

引起系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化的事件。事件有兩類：系統(tǒng)事件：是引起系統(tǒng)狀態(tài)變化的行為，此類事件是系統(tǒng)所固有的，是系統(tǒng)狀態(tài)變化的主要驅動力

；程序事件：是所謂的程序事件，并非系統(tǒng)所固有的，而是根據(jù)需要設定的；顧客到達事件顧客離開事件5)

活動8活動：事件與事件之間的過程，標志著系統(tǒng)狀態(tài)的轉移

顯然事件是系統(tǒng)狀態(tài)轉變的起因，而活動則是系統(tǒng)狀態(tài)轉移的標志。顧客到達事件服務開始事件排隊活動96)進程進程由若干個有序事件與活動組成，進程描述了其中的事件、活動的相互邏輯關系和時序關系。顧客到達事件服務開始事件排隊活動服務結束事件服務活動10事件、活動、進程7）系統(tǒng)狀態(tài)（SystemState）

在某時間點對系統(tǒng)所有的實體、資源的屬性和活動的描述。8）模擬時鐘模擬時鐘用于表示模擬時間的變化。模擬時鐘可以跨過“不活動”周期，從一個事件發(fā)生時刻推進到下一個事件發(fā)生時刻，模擬時鐘的推進呈現(xiàn)跳躍性，推進速度具有隨機性。9）統(tǒng)計計數(shù)器通過對狀態(tài)變化的統(tǒng)計，得到有價值的信息。例如：在單服務員理發(fā)館系統(tǒng)中，統(tǒng)計系統(tǒng)的平均隊長、顧客的平均等待時間或服務員的利用率等。

按照工作機理、處理時間、活動和過程的不同，可以分為三類：（1）以事件為基礎的（EventOrientation）。（2）以活動掃描為基礎的（ActivityScanningOrientation）。（3）以過程為基礎的（ProcessOrientation）。2.1.2分類（1）以事件為基礎的離散模擬（2）以活動掃描為基礎的離散模擬（3）以過程為基礎的離散模擬2.2模擬時間推進機理（1）下次事件法將模擬時間從一個事件時間點推進至緊接的下次事件的時間點。（2）固定時間步長法模擬時間每次以相等的固定步長向前推進。（1）下次事件法17

事先沒有確定時鐘推進步長，而是根據(jù)隨機事件的發(fā)生而進行隨機步長的推進，推進的步長為最后已發(fā)生事件與下一事件之間的時間間隔。由于離散事件系統(tǒng)的狀態(tài)多數(shù)是隨時間離散變化的，在仿真時不需要考慮那些沒有發(fā)生狀態(tài)變化的時段。因此，這種變步長的推進方法，其節(jié)奏性與系統(tǒng)狀態(tài)變化更加吻合。（2）固定時間步長法

確定一個固定的增量，以此增量逐步推進仿真鐘。每推進一個增量，就在被推進的時刻觀察有無事件發(fā)生。如沒有事件發(fā)生則繼續(xù)以相同的增量推進仿真鐘；如果有事件發(fā)生測根據(jù)事件類型進入事件處理程序，對事件發(fā)生后的狀態(tài)變化進行相應處理，然后再推進仿真時鐘。如果恰好在推進的增量中間時刻有事件發(fā)生，一般采取簡化的方法，把該事件假定為是在增量推進的時刻發(fā)生的。?TT0?T?T?T?TS0S2S1S3S42.3離散系統(tǒng)模擬的評價

此處以排隊服務系統(tǒng)為例介紹離散系統(tǒng)模擬出評價。構成排隊服務系統(tǒng)的主要實體和資源，是接受服務的各種形式的顧客以及提供各種形式服務的服務者或服務設施。排隊系統(tǒng)的例子排隊系統(tǒng)的組成部分20排隊系統(tǒng)模型

排隊系統(tǒng)的三個基本組成部分：①到達模式（ArrivalModel）：指臨時實體的到達規(guī)律；②服務模式（ServiceModel）：指同一時刻有多少服務機構可以接納臨時實體，需要多少服務時間；③排隊規(guī)則（QueuingDiscipline）：指服務機構對下一個臨時實體進行服務的選取規(guī)則。21分析排隊服務系統(tǒng)時，通常要涉及的因素可能包括以下的方面：（1）顧客到達的速率或相鄰顧客到達的間隔時間，呈確定性或隨機性；（2）服務速率或單位顧客的服務時間，呈確定性或隨機性；（3）服務者或服務設施的數(shù)量；（4）顧客排隊規(guī)則，有先進先出，后進先出以及其它優(yōu)先規(guī)則；（5）排隊列數(shù)，有單列的和多列的；（6）隊列容量，分為有限的和無限的。排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)服務機構輸入來源服務完離開隊列顧客

評價排隊服務系統(tǒng)性能的指標主要有以下三個：（1）顧客在系統(tǒng)內的平均停留時間：=（2）系統(tǒng)內的平均顧客人數(shù)：

=（3）服務員負荷率：它等于服務員繁忙時間之和與整個模擬時間之比。

平均顧客人數(shù)：

顧客人數(shù)隨時間變化的圖形排隊系統(tǒng)的構成及評價1）排隊系統(tǒng)由輸入過程與到達規(guī)則、排隊規(guī)則、服務機構的結構、服務時間與服務規(guī)劃組成。2）一般還假設到達間隔時間序列與服務時間均為獨立同分布隨機變量序列，且這兩個序列也相互獨立。3）評價一個排隊系統(tǒng)的好壞要以顧客與服務機構兩方面的利益為標準。就顧客來說：總希望等待時間或逗留時間越短越好，從而希望服務臺個數(shù)盡可能多些但是；就服務機構來說：增加服務臺數(shù)，就意味著增加投資，增加多了會造成浪費，增加少了要引起顧客的抱怨甚至失去顧客，增加多少比較好呢？顧客與服務機構為了照顧自己的利益對排隊系統(tǒng)中的3個指標：隊長、等待時間、服務臺的忙期（簡稱忙期）都很關心。因此這3個指標也就成了排隊論的主要研究內容。排隊模型的表示

X/Y/Z/A/B/C

X—顧客相繼到達的間隔時間的分布；

Y—服務時間的分布；

Z—服務臺個數(shù)；

A—系統(tǒng)容量限制（默認為∞）；

B—顧客源數(shù)目（默認為∞）；

C—服務規(guī)則（默認為先到先服務FCFS)。

M:馬爾科夫過程、D:確定型、Ek:k階愛爾朗分布。排隊系統(tǒng)的衡量指標隊長Ls—系統(tǒng)中的顧客總數(shù)；排隊長Lq—隊列中的顧客數(shù)；逗留時間Ws—顧客在系統(tǒng)中的停留時間；等待時間Wq—顧客在隊列中的等待時間；忙期—服務機構兩次空閑的時間間隔；服務強度ρ穩(wěn)態(tài)—系統(tǒng)運行充分長時間后，初始狀態(tài)的影響基本消失，系統(tǒng)狀態(tài)不再隨時間變化。2.4M/M/1排隊系統(tǒng)的模擬——Matlab模擬2.4.1系統(tǒng)的實體、屬性和事件

模擬對象顧客的到達間隔時間：均值等于1分的指數(shù)分布隨機變量單位顧客服務時間：均值等于0.5分的指數(shù)分布隨機變量規(guī)則：先進先出排隊行列的最大容量：100

模擬的終止條件：服務完1000個顧客

排隊模型：M/M/1/100/1000/FCFS事件第1類事件——顧客到達事件；第2類事件——顧客在服務結束后離開系統(tǒng)。M/M/1模型詳細分解單一排隊服務系統(tǒng)模擬的子程序和函數(shù)M/M/1模型詳細分解ARRIVE子程序安排下次顧客到達事件服務員空閑設定DELAY=0被服務顧客總數(shù)+1使服務員變忙安排此顧客離開事件返回主程序更新排隊顧客數(shù)的時間積分值排隊顧客數(shù)+1記錄此顧客的到達時間否是M/M/1模型詳細分解DEPART子程序服務員空閑排隊顧客總數(shù)-1計算顧客停留時間被服務顧客總數(shù)+1安排此顧客離開事件返回主程序使服務員變閑設定下次顧客離開事件時間為無限次記錄此顧客的到達時間是否返回主程序更新排隊顧客數(shù)的時間積分值隊列空閑是否將排隊顧客向前移位M/M/1模型詳細分解32實例1：一個單一的排隊售票服務系統(tǒng)手工模擬到達排隊服務離開一個單一的排隊服務系統(tǒng)M/M/1系統(tǒng)模擬實例33各變量間關系ti到+Di+Si=ti離DiSiti離iiti到i－1第②種情況i－1第①種情況ti到,

，Si為已知，則Di有兩種情況：①Di=ti－1離－ti到（當ti－1離≥ti到）

ti離=ti到+Di+Si=ti－1離+Si

ti開=ti－1離②Di=0

（當ti－1離<ti到）

ti離=ti到+Siti開=ti到顧客ti開34第①種情況DiSiti離iiti到i－1Ti-1離第②種情況DiSiti離iiti到i－1Ti-1離35各變量間關系DiSiti離iiti到i－1第②種情況i－1第①種情況T閑分兩種情況：①T閑＝0

（當ti－1離≥ti到）②T閑=ti到－ti－1離（當ti－1離<ti到）

服務員M/M/1模型詳細分解單一排隊服務系統(tǒng)有關數(shù)據(jù)M/M/1模型詳細分解T=2，第一位顧客到達啟動“顧客離開事件”子程序ARRIVE：服務員的狀態(tài)=1（工作），排隊等候事件=0；下一次到達事件的時間（隨機產(chǎn)生）=“本次到達的時刻+與下次到達的時間間隔”2+4=6，下一次離開事件的時間2+3=5；下一個事件是“顧客離開”，模擬時鐘躍進到T=5.M/M/1模型詳細分解T=5，第一位顧客離開啟動“顧客離開事件”子程序DEPART：檢查有無個體在排隊等候，由于排隊長=0，因此服務員的狀態(tài)=0（閑置），增加一個完成服務的顧客數(shù)量下一次離開的時刻=∞；下一個事件是“顧客到達”，模擬時鐘躍進到T=6.M/M/1模型詳細分解T=6，第二位顧客到達啟動“顧客到達事件”子程序ARRIVE：由于排隊長=0，服務員的狀態(tài)=0（閑置），因此直接進入服務，等候時間=0，排隊人數(shù)=0，服務員狀態(tài)=1；下一次到達時間6+1=7，下一次離開時間6+5=11；下一個事件是“顧客到達”，模擬時鐘躍進到T=7.M/M/1模型詳細分解T=7，第三位顧客到達由于服務員的狀態(tài)=1，資源被占用，進入排隊等待狀態(tài)，排隊人數(shù)0+1=1；下一次到達時間7+2=9，下一次離開時間=11，等候時間11-7=4；下一個事件是“顧客到達”，模擬時鐘躍進到T=9.M/M/1模型詳細分解T=9T=11T=13T=17T=18T=20T=22T=23T=24T=25M/M/1模型詳細分解單一排隊服務系統(tǒng)有關數(shù)據(jù)輸出量43

平均排隊等候時間：26／10min＝2.6min顧客在系統(tǒng)中的平均停留時間：先計算每一位顧客的停留時間（用服務結束時間減去到達時間），然后把它們加起來，再除以10，結果是5.8min

等候顧客的百分比：

6／10=0.6（60％的顧客需要排隊等候）

資源的閑置率：

5／37＝0.135（13.5%的時間售票員閑置）實例一、問題描述一個只有一個服務窗口的銀行服務系統(tǒng)，每天8小時工作制。所有到達的顧客，都在這個服務窗口前排隊，等待處理銀行業(yè)務。顧客的到達是隨機的，每兩個先后到達的顧客的到達時間間隔是不確定的。

要求：對于上述這樣一個單服務臺排隊系統(tǒng)，仿真分析30天，分析該系統(tǒng)中顧客的到達、等待和被服務的情況，以及銀行工作人員的服務和空閑情況。二、建立仿真模型仿真建模主要完成：①根據(jù)所已知的到達時間間隔的概率分布，用隨機數(shù)發(fā)生器生成符合該概率分布的一系列時間間隔值，按照這種間隔，不斷地產(chǎn)生顧客輸入到系統(tǒng)模型中；②用隨機數(shù)發(fā)生器生成每個顧客被服務的隨機時間，而使得這些時間符合已知的概率分布；③采用界面或程序語言建模方式完成下列隨機事件的邏輯和過程：根據(jù)概率分布隨機產(chǎn)生的顧客到達系統(tǒng)，即進入排隊，如銀行業(yè)務員正在服務。其他顧客則等待，如業(yè)務員空閑，則接受服務，被服務后離開系統(tǒng)；④定義適當?shù)南到y(tǒng)輸出和仿真報告，運行模型并輸出仿真結果。三、模型運行與結果輸出三、系統(tǒng)服務狀況分析從30次的仿真情況看，該系統(tǒng)在每天8小時的工作時間內，平均隊長不超過2，最大隊長只有8，每個顧客的平均被服務時間小于4分鐘，而顧客的平均排隊純等待時間大多數(shù)抽樣都小于2分鐘，只有個別抽樣接近5分鐘?？梢姡撓到y(tǒng)的服務狀況良好，顧客基本得到及時的服務。從業(yè)務員的工作量看，一個業(yè)務員每天大約要處理100多（輸出結果的抽樣小于115）位顧客的銀行業(yè)務，其利用率，也就是其處理業(yè)務時間與總工作時間的比在63．1％～82．5％之間。從表2．7中，則可以看到，在某種隨機情況下，前20個顧客到達系統(tǒng)、等待、被服務和離開系統(tǒng)的過程。結果顯示了系統(tǒng)的隨機性特征，通常情況下，顧客不用排隊等待，而當顧客到達密集時，則發(fā)生了顧客連續(xù)等待排隊的情形，例如，第13～17位顧客都在窗口前有較長的等待。根據(jù)對以上簡單例子的觀察，總結一下非連續(xù)仿真模型中所通常涉及的基本構成元素。（1）實體：顧客（臨時實體）、服務者或服務臺（永久實體）（2）實體屬性：屬性代表賦予仿真實體的特性或特征．比如顧客到達時間、離開時間等。（3）狀態(tài)變量：狀態(tài)變量代表仿真模型里反映系統(tǒng)變化特征的變量，對上述的單一排隊服務系統(tǒng)來說，可以定義兩個狀態(tài)變量。

X=服務者狀態(tài)，取值范圍（0，1）：0=“空閑”，1=“正在工作”。

Y=等候服務的個體數(shù)量、取值范圍：0～N(N是一個有限的整數(shù)）。（4）事件：“顧客的到達”和“顧客完成服務后離去”就是使系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化的兩個事件?！胺抡娴?80分鐘結束”是系統(tǒng)事件。（5）排隊：排隊代表供個體等候