現(xiàn)代控制理論

第二章線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解準(zhǔn)備知識(shí)A1準(zhǔn)備知識(shí)A2一.線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次方程的解(零輸入響應(yīng))二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣三.線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解準(zhǔn)備知識(shí)A1

1.利用狀態(tài)和狀態(tài)方程來(lái)定義系統(tǒng)的線性性質(zhì).用符號(hào)表示狀態(tài)和輸入激勵(lì)出輸出和狀態(tài),并稱其為輸入-狀態(tài)-輸出對(duì).定義:一個(gè)系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何兩個(gè)容許對(duì)

和任何實(shí)數(shù)和所構(gòu)成的輸入---狀態(tài)---輸出對(duì).

也是容許的,則稱該系統(tǒng)是線性的,否則該系統(tǒng)是非線性的.簡(jiǎn)而言之,滿足迭加原理的系統(tǒng)為線性系統(tǒng).2.對(duì)定義的討論

(1)若設(shè)并有則如果是線性系統(tǒng)的話,按定義,則.從而,如果系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的話,則必有當(dāng)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)亦為零—這也是線性系統(tǒng)的一個(gè)必要條件.(2)式(1)中,若稱式(1)的關(guān)系為可加性。若則稱式(1)的關(guān)系為齊次性。(3)式(1)中,若設(shè),及假定則或所以系統(tǒng)的響應(yīng)對(duì)是由兩個(gè)狀態(tài)-輸入對(duì)所激勵(lì)稱由激勵(lì)的響應(yīng)為零輸入響應(yīng),只是由產(chǎn)生。稱由激勵(lì)的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng),只是由產(chǎn)生。這樣對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)講,可以獨(dú)立地考慮其零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),而系統(tǒng)的全部響應(yīng),則是它們的和.根據(jù)線性系統(tǒng)的性質(zhì):若則傳函法描述是零狀態(tài)響應(yīng)

3.對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程來(lái)講零輸入響應(yīng)為:--------齊次方程零狀態(tài)響應(yīng)為:--------非齊次方程.線性系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為.定義:[零輸入響應(yīng)]:

線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)定義為只有初始狀態(tài)作用即,而無(wú)輸入作用即時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng).注意:

數(shù)學(xué)上,零輸入響應(yīng)就是無(wú)輸入自治狀態(tài)方程(齊次方程)的狀態(tài)解.

物理上,零輸入響應(yīng)代表系統(tǒng)狀態(tài)的自由運(yùn)動(dòng)，特點(diǎn)是響應(yīng)形態(tài)只由系統(tǒng)矩陣所決定，不受外部輸入的影響.定義:[零狀態(tài)響應(yīng)]:

線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)定義為只有輸入作用,即而無(wú)初始狀態(tài)作用,即時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng).注意:數(shù)學(xué)上,零狀態(tài)響應(yīng)即為零初始狀態(tài)下的強(qiáng)迫方程的狀態(tài)解.物理上,零狀態(tài)響應(yīng)代表系統(tǒng)狀態(tài)由輸入u所激勵(lì)的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)備知識(shí)A2不加證明地給出以下定理和定義.

(1)定理1.的全體解的集合,形成在實(shí)數(shù)域上的n維向量空間.(2)定義1.矩陣函數(shù)中,當(dāng)且僅當(dāng)n個(gè)列分別是的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解時(shí),稱為的基本矩陣,即,且非奇.

(3)定理2.每一個(gè)基本矩陣,對(duì)(-∞,∞)中所有的t而言,是非奇的.(4)定義2.設(shè)是的任一基本矩陣,對(duì)所有(-∞,∞)中的稱是的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.一.線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次方程的解(零輸入響應(yīng))1.討論

顯然是矩陣微分方程,在解該方程之前先觀察純量微分方程的解,其中在解時(shí),先假定解代入方程得到如果所求的解是方程的真實(shí)解，那么上述方程對(duì)任意t都成立，因此使t的冪次項(xiàng)的各系數(shù)相等就可得到:顯然,從而方程的解可寫為其中指數(shù)函數(shù)仿上述純量微分方程的解法,對(duì)于矩陣微分方程其中,則稱是按矩陣A定義的矩陣指數(shù)函數(shù),并可證明,若A是nn

的方陣時(shí)，則有：并對(duì)于有限時(shí)間是絕對(duì)收斂的.結(jié)論：[零輸入響應(yīng)]線性定常連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),即系統(tǒng)齊次方程的解,并具有如下形式:推論:(1).零輸入響應(yīng)的運(yùn)動(dòng)特性.

對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng),其零輸入響應(yīng)是由其齊次方程解的屬性決定的，狀態(tài)空間中x(t)隨時(shí)間演化軌道(幾何表征)，屬于由偏離系統(tǒng)平衡狀態(tài)的初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng).一個(gè)典型的例子是:人造衛(wèi)星在末級(jí)火箭脫落后的運(yùn)行軌道,以脫落時(shí)刻的運(yùn)行狀態(tài)為初始狀態(tài)的自由運(yùn)動(dòng)即零輸入響應(yīng).

(2).零輸入響應(yīng)的形態(tài).

對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng),零輸入響應(yīng)即自由運(yùn)動(dòng)軌跡的形態(tài),當(dāng)且僅當(dāng)由系統(tǒng)的矩陣指數(shù)函數(shù)唯一地決定.不同的系統(tǒng)矩陣A,導(dǎo)致不同形態(tài)的零輸入響應(yīng),即自由運(yùn)動(dòng)軌道.

表明即A系統(tǒng)矩陣,包含了零輸入響應(yīng)即自由運(yùn)動(dòng)形態(tài)的全部信息.(3).零輸入響應(yīng)趨向平衡狀態(tài)x=0的屬性.對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng),零輸入響應(yīng),即自由運(yùn)動(dòng)軌跡最終趨向系統(tǒng)平衡狀態(tài)x=0的條件是:當(dāng)且僅當(dāng)矩陣指數(shù)函數(shù)最終趨向零,即稱上述屬性為系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.該式也是線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.(4).零輸入響應(yīng)的計(jì)算.根據(jù)解,則零輸入響應(yīng)計(jì)算的核心是計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)。

(5).零輸入響應(yīng)表達(dá)式的更一般形式.

對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng),通常習(xí)慣地取初始時(shí)間。由于線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析只與相對(duì)時(shí)間有關(guān),這種處理也不失一般性.但若因某種需要,將初始時(shí)間取為，此時(shí),零輸入響應(yīng)更有一般的形式：

(6).零輸入響應(yīng)的幾何表征.

對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng),齊次方程解的表達(dá)式表明:在時(shí)刻狀態(tài)點(diǎn),幾何上對(duì)應(yīng)于狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)點(diǎn),經(jīng)線性變換導(dǎo)出一個(gè)變換點(diǎn).基于此,可推知,零輸入響應(yīng)隨時(shí)間t的演化過(guò)程,幾何上即為狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)點(diǎn)出發(fā)和由各個(gè)時(shí)刻變換點(diǎn)構(gòu)成的一條軌跡.

2.解的性質(zhì)(矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))矩陣指數(shù)函數(shù)在線性系統(tǒng)分析中具有重要意義,為此可基于定義,給出的性質(zhì).性質(zhì)：

3．齊次方程的拉普拉斯解法.同樣先考慮純量微分方程將方程兩端作拉氏變換則將這種方法推廣到矩陣微分方程的解對(duì)兩邊取拉氏變換，則有

或即從而由于所以從而一般形式明顯地指出了的一種算法.二．狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1.概念推論1.對(duì)線性定常系統(tǒng)是的一個(gè)基本矩陣。證明：設(shè),若是一個(gè)基本矩陣,則有,將代入，并利用的微分性質(zhì)得到,且非奇異。故是線性定常連續(xù)系統(tǒng)一個(gè)基本矩陣。

推論2.對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本矩陣表出

推論3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的唯一性對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是唯一的，且在按定義確定時(shí)，與所選擇的無(wú)關(guān)。推論4.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式。對(duì)的情形下，對(duì)的情形下，推論5.零輸入響應(yīng)的形式。根據(jù)零輸入響應(yīng)的幾何表征，顯然是將初始狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到t時(shí)刻x(t)。而則是x(0)到x(t)的轉(zhuǎn)移.故稱是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì).3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的算法

(1)按定義計(jì)算

(2)如果A是對(duì)角陣,

則

(3)若A的特征值互異,即互異,則可通過(guò)變換,使,從而,而其中從而

(4)三．線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解

1.零狀態(tài)響應(yīng)考慮連續(xù)線性定常系統(tǒng)，令系統(tǒng)的初始狀態(tài)相應(yīng)狀態(tài)方程結(jié)論[零狀態(tài)響應(yīng)]：連續(xù)線性定常系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),即上述方程的解具有如下表達(dá)式：當(dāng)時(shí)討論：（1）的數(shù)學(xué)特征即易證：稱矩陣指數(shù)函數(shù)和輸入作用函數(shù)的影響在時(shí)序上是對(duì)偶的，這種對(duì)偶在數(shù)學(xué)上稱為卷積分。（2）的幾何特征若令則零狀態(tài)響應(yīng)顯然是t時(shí)刻輸入作用的等價(jià)狀態(tài)，從而零狀態(tài)響應(yīng)是（等價(jià)狀態(tài)）以為變換陣導(dǎo)出的變換點(diǎn)，在幾何上代表狀態(tài)空間中各個(gè)時(shí)刻t輸入作用等價(jià)狀態(tài)的變換點(diǎn)構(gòu)成的一條軌道。（3）零狀態(tài)響應(yīng)的運(yùn)動(dòng)屬性

是隨時(shí)間t演化的軌跡，在屬性上屬于輸入驅(qū)動(dòng)下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。輸入是導(dǎo)致零狀態(tài)響應(yīng)的唯一激勵(lì)。（4）零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)任意狀態(tài)點(diǎn)的可達(dá)屬性對(duì)零狀態(tài)響應(yīng)，如果對(duì)任意指定的狀態(tài)空間的狀態(tài)點(diǎn)都存在一個(gè)輸入和有限時(shí)間，使成立，那么稱具有能達(dá)性，顯然能達(dá)性取決于A,B屬性。（5）零狀態(tài)響應(yīng)相對(duì)于任意初始時(shí)刻的表達(dá)式若更為一般地取初始時(shí)刻，則零狀態(tài)響應(yīng)為零