第4章

彈性體振動4.1弦的振動4.2桿的縱向振動4.3圓軸的扭轉(zhuǎn)振動4.4梁的橫向振動弦振動在工程實際中常遇到鋼索、電線、電纜和皮帶等柔性體構(gòu)件，其共同特點是只能承受拉力，而抵抗彎曲及壓縮能力很弱，這類構(gòu)件的振動問題稱為弦的振動問題。其固有頻率與弦的密度、弦的長度、截面、張力等有關(guān)，因此，知道弦的基本參數(shù)，可以通過固有頻率可以計算張力，如鋼索斜拉橋斜拉索的張力的確定。典型的例子還有吉他、二胡、古箏等樂器。弦振動方程的推導(dǎo)均質(zhì)弦橫向振動的微分方程，又稱為波動方程弦振動方程的求解上式中x和t兩個變量已經(jīng)分離。因此，兩邊都必須等于同一常數(shù)。設(shè)此常數(shù)為-wn2(只有將常數(shù)設(shè)為負(fù)值時，才有可能得到滿足端點條件的非零解，該常數(shù)即為系統(tǒng)的固有頻率)弦振動方程的主振型與多自由度系統(tǒng)振型的比較作為連續(xù)系統(tǒng)的弦振動的特性與多自由度系統(tǒng)的特性是一致的，不同的是多自由度系統(tǒng)主振型是以各質(zhì)點之間的振幅比來表示，而弦振動中質(zhì)點數(shù)趨于無窮多個，質(zhì)點振幅采用的連續(xù)函數(shù)－即振型函數(shù)Y(x)表示。弦振動方程的主振動桿的軸向振動在工程問題中，常見到以承受軸向力為主的直桿零件，如連桿機(jī)構(gòu)中的連桿，凸輪機(jī)構(gòu)中的挺桿等，它們同樣存在著沿桿軸線方向的軸向振動問題。其固有頻率與桿的密度、彈性模量、長度、軸向載荷等有關(guān)。桿的軸向振動模型三種典型邊界條件——(1)①2.0014.9017.974桿的軸向振動主振型桿的軸向振動主振動三種典型邊界條件——(2)②桿的縱向振動主振型桿的縱向振動主振動三種典型邊界條件——(3)③圓軸的扭轉(zhuǎn)振動在各類機(jī)械中，傳動軸是經(jīng)常遇見的零部件，它主要用來傳遞轉(zhuǎn)矩而不承受彎矩，其振動可簡化為細(xì)長桿的扭轉(zhuǎn)振動問題。鉆桿、車床的轉(zhuǎn)軸、變速箱的齒輪軸等都存在扭轉(zhuǎn)振動。其固有頻率與軸的密度、轉(zhuǎn)動慣量、截面、長度、承受的扭矩等有關(guān)。圓軸的扭轉(zhuǎn)振動梁的橫向振動工程中常見的以承受彎曲為主的機(jī)械零件，可簡化為梁類力學(xué)模型，當(dāng)一根梁作垂直于其軸線方向的振動時，稱為梁的橫向振動，由于其主要變形形式是彎曲變形，所以又稱為彎曲振動。八音盒上發(fā)聲的聲片就是梁振動的典型例子。其固有頻率與梁的密度、彈性模量、軸向慣性矩、截面、長度等有關(guān)。梁的橫向振動梁的橫向振動的求解梁對應(yīng)的不同邊界條件邊界條件位移轉(zhuǎn)角彎矩剪切力兩端自由梁兩端簡支梁兩端固定梁固定/自由梁固定/簡支梁一端固定一端簡支梁一端固定一端自由梁梁振動主振型的正交性右邊實際上是梁的端點邊界條件，無論梁的端點是自由、固定或簡支，將端點邊界條件代入上式，右邊始終為零梁振動主振型的正交性用模態(tài)分析法求梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(1)通過求梁的自由振動微分方程，可求出在給定端點條件下梁各階固有頻率wnk和相應(yīng)的各階主振型Yk(x)(2)對原方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，將梁的受迫振動微分方程變換成用模態(tài)方程來表達(dá)。梁的坐標(biāo)變換表達(dá)式對變量x和t分別求偏導(dǎo)，然后代入梁橫向振動微分方程將Yj(x)乘以上式兩邊，并對梁的全長積分得用模態(tài)分析法求梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(3)求解模態(tài)方程，求模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)，用杜哈美積分求解。(4)求系統(tǒng)的響應(yīng)fori=1:3;pp0=0;iB=D*A;pp=1.0/B(3);A=B/B(3);whileabs((pp-pp0)/pp)>1.e-12pp0=pp;B=D*A;pp=1.0/B(3);A=B*pp;endif(pp)>0f=sqrt(pp)/2/pi%/單位HZelsef=0