3.4連續(xù)方程

——質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。

它反映了cs上速度分布與cv內(nèi)密度變化之間的積分關(guān)系。

在流場中任取一空間固定的封閉曲面S（控制面controlsurface），所圍體積V（控制體controlvolume）。質(zhì)量守恒：單位時間流出控制面的凈質(zhì)量=控制體內(nèi)流體質(zhì)量的減少

3.4.1積分形式的連續(xù)方程——Euler型連續(xù)性方程特例：（流入、流出CS體積相等）

流體不可壓縮：

沿流管定常流動：

流動定常（）：

沿流管不可壓流動：

（流入、流出CS質(zhì)量相等）

（沿流管）

（沿流管）

不可壓流動中，流管的截面積與流速成反比，S小的地方流速快，S大的地方流速慢。

平面流動：流線間距大，流速慢；間距小，流速快。即流線的疏密反映了流速的大小。

例3-3某瞬時水流通過具有自由面的蓄水通道。

解：3.4.2微分形式的連續(xù)方程連續(xù)流場中空間任意點(diǎn)上速度和密度必須滿足的微分（連續(xù)）方程。

（流場中）Gauss公式

不可壓流動連續(xù)方程：速度場的散度為0——體積膨脹速率為0。

3.5流體微團(tuán)的運(yùn)動分析

流體在運(yùn)動過程中可能發(fā)生變形或旋轉(zhuǎn)，只要微團(tuán)的運(yùn)動分析清楚了，流場的運(yùn)動就知道了。流體微團(tuán)：指大量流體質(zhì)點(diǎn)組成的具有線性尺度效應(yīng)的微小流體團(tuán)。zxyMM0dxdydz一般運(yùn)動＝平移＋線變形＋旋轉(zhuǎn)＋角變形

M0M3.5.1亥姆霍茲（Helmholtz）速度分解定理

Taylor展開并略去高階小量，有t時刻：流體微團(tuán)

流體的變形張量：二階對稱張量，有6個獨(dú)立分量。

流體運(yùn)動的渦量流體平均旋轉(zhuǎn)角速度Helmholtz速度分解定理——流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)間速度關(guān)系：

可見，流體微團(tuán)中任意一點(diǎn)的速度由平移、變形和旋轉(zhuǎn)三部分速度構(gòu)成。一般運(yùn)動＝平移＋（線變形＋角變形）＋旋轉(zhuǎn)3.5.2流體微團(tuán)的運(yùn)動（幾何）分析1.平移運(yùn)動——平移速度v代表微團(tuán)平移運(yùn)動。

2.線形變運(yùn)動

：x方向流體線的線變形速率;

：y方向流體線的線變形速率;

：z方向流體線的線變形速率。

微團(tuán)體積膨脹率：流體微團(tuán)的體積在單位時間的相對變化。繞平行于z軸的轉(zhuǎn)動軸旋轉(zhuǎn)角速度：

4旋轉(zhuǎn)運(yùn)動繞z軸的平均旋轉(zhuǎn)角速度：由對應(yīng)的角速度3.角變形運(yùn)動平面上兩垂直流體線的平均角變形速率：

Summary:流體微團(tuán)的運(yùn)動由三部分組成：以速度v作平移運(yùn)動；繞某瞬時軸以平均角速度旋轉(zhuǎn)，不引起微團(tuán)形狀的改變；純變形運(yùn)動：線變形速率使微團(tuán)的體積膨脹或縮小，角變形速率使微團(tuán)發(fā)生角變形。

流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動與剛體轉(zhuǎn)動的不同？速度分解定理的意義：（1）旋轉(zhuǎn)運(yùn)動從一般運(yùn)動中分離出來，分為無旋和有旋運(yùn)動;（2）變形運(yùn)動從一般運(yùn)動中分離出來，流體的變形速率與應(yīng)力聯(lián)系起來，研究粘性流體運(yùn)動規(guī)律。DescriptionandClassificationofFluidMotions

1-D2-D3-DLaminarunsteadysteadyTurbulentirrotationalrotationalContinuumFluidMechanicsViscousCompressibleIncompressibleInviscidCompressibleIncompressibleTimeSpaceBehaviorclassificationoffluidmotion

例3-5已知流場的速度分布為，，求:流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動跡線和旋轉(zhuǎn)角速度。

（在流場中，irrotationalflow）

（在流場中，rotationalflow）

3.6有旋運(yùn)動的一般性質(zhì)

(RotationalFlow)有旋運(yùn)動的基本特征:存在渦量場。Descriptionofvelocityfield:Streamline,PathlineandFlowrate3.6.1渦線、渦管、渦通量和環(huán)量(Descriptionofvorticityfield)積分時時間變量t作常數(shù)處理。

渦線(Vortexline):

任一時刻，渦線上每一點(diǎn)的切向量都與該點(diǎn)的渦向量相切。渦線微分方程渦管(vortextube):

某一時刻，由渦線組成的管狀曲面。截面積無限小的渦管稱為渦束（渦線）。

渦通量(vortexflowrate):渦量場的通量（渦強(qiáng)）。速度環(huán)量(velocitycirculation):3.6.2速度環(huán)量定理（Stokes定理）沿任意開口曲面邊界線的速度環(huán)量等于通過該曲面的渦通量。即：渦通量和速度環(huán)量都是反映旋渦作用的強(qiáng)弱。

3.6.3渦管強(qiáng)度守恒定理(Conservationofvortexflowrate)

證明：在同一瞬時，沿渦管長度各截面的渦通量保持不變。

可見，渦量與截面積S成反比，S大渦量小，S小渦量大。若S縮為零，則渦量或角速度將增至無窮大。物理上不可能。若渦量在截面上均勻分布，記為，得渦管強(qiáng)度守恒定理的推論：

渦管不可能在流體中開始或終止，它只能自成封閉形，或開始、終止于邊界面或伸展到無窮遠(yuǎn)。如煙圈成呈環(huán)形、龍卷風(fēng)開始和終止于地面與云層。3.7無旋運(yùn)動的勢函數(shù)(VelocityPotential)

積分與路徑無關(guān)，時間t為參數(shù)，積分時當(dāng)作常數(shù)處理。

速度勢

速度勢函數(shù)的性質(zhì)：

1.速度勢沿任一方向的方向?qū)?shù)等于速度在該方向的投影；

勢流：不可壓縮流體的無旋流動。2.等勢面與流面垂直(平面流:等勢線與流線垂直)

梯度(速度)垂直等勢面，流面與速度相切，故等勢面垂直流面。3.不可壓縮流體的勢函數(shù)為調(diào)和函數(shù)

直系中:

4.勢函數(shù)具有可疊加性

若令3.8流函數(shù)(StreamFunction)符號：流函數(shù)沿某方向?qū)?shù)等于沿此方向順時針轉(zhuǎn)所對應(yīng)方向上的速度分量。

平面極坐標(biāo)系中:

積分與路徑無關(guān)，時間t為參數(shù)，積分時當(dāng)作常數(shù)。

不可壓平面流連續(xù)方程引入

1.即流線；

2.兩點(diǎn)流函數(shù)之差等于通過其連線的體