北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第四章測試題及答案(時間:120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分)1.cos105°=()A.2?3 BC.2+64 2.若α是第二象限角,且sinα=23,則cosα等于(A.13 B.-13 C.53 D3.若sinα+cosαsinα-A.-34 B.34 C.-43 4.已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,則sinα=()A.15 B.55 C.33 5.(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°=()A.32 B.3 C.34 D.6.tan23°+tan37°+3tan23°tan37°=()A.33 B.3 C.32 D7.計算2sin14°·cos31°+sin17°等于()A.22 B.-22 C.32 D8.已知銳角α,β滿足sinα=55,cosβ=31010,則α+βA.3π4 B.C.π4 D.2kπ+π4(k∈二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分)9.下列各式中,值為1的是()A.4sin15°cos15° B.cos215°-sin215°C.32+2sin215° D.sin22020+cos210.已知2sinθ=1+cosθ,則tanθ2的值(A.恒為2 B.可能為1C.可能為-12 D.11.已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx+π6,則()A.f(x)的最小正周期為πB.f(x)的最小正周期為2πC.f(x)的圖象關(guān)于直線x=kπ+2π3(k∈D.f(x)的值域為[-3,12.已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),則(A.sinθcosθ=-1225 B.sinθ-cosθ=C.sinθ-cosθ=75 D.tanθ=-三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,則tanα=.14.cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)=.

15.已知A+B=2π3,那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值是16.函數(shù)f(x)=15sinx+π3+cosx-π3的最大值為.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知sin(3π+α)=2sin3π2+α,求下列各式的值:(1)sinα(2)sin2α+sin2α.18.(12分)已知0<α<π2<β<π,tanα2=12,cos(β-(1)求sinα的值;(2)求β的值.19.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù),求θ的值;(2)求函數(shù)y=fx+π122+fx+π42的值域.20.(12分)求證:sinx21.(12分)已知A+B+C=π.求證:sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cos22.(12分)如圖所示,要把半徑為R,圓心角為π3的扇形木料截成長方形,應(yīng)怎樣截取,才能使長方形EFGH第四章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分)1.cos105°=()A.2?3 BC.2+64 解析cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=22答案B2.若α是第二象限角,且sinα=23,則cosα等于(A.13 B.-13 C.53 D解析因為α是第二象限角,所以cosα<0.所以cosα=-1-sin2α答案D3.若sinα+cosαsinα-A.-34 B.34 C.-43 解析等式sinα+cosαsinα-cosα=12左邊分子、分母同時除以cosα(顯然cosα所以tan2α=2tanα答案B4.已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,則sinα=()A.15 B.55 C.33 解析因為2sin2α=cos2α+1,所以4sinαcosα=2cos2α.因為α∈0,π2,所以cosα>0,sinα>0,所以2sinα=cosα.又sin2α+cos2α=1,所以5sin2α=1,即sin2α=15因為sinα>0,所以sinα=55.故選B答案B5.(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°=()A.32 B.3 C.34 D.解析原式=(2cos30°sin10°)2+32(sin70°-sin=3-3cos20°2答案C6.tan23°+tan37°+3tan23°tan37°=()A.33 B.3 C.32 D解析由于tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),故tan23°+tan37°+3tan23°tan37°=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+3tan23°tan37°=3(1-tan23°tan37°)+3tan23°tan37°=3.答案B7.計算2sin14°·cos31°+sin17°等于()A.22 B.-22 C.32 D解析2sin14°·cos31°+sin17°=2sin14°·cos31°+sin(31°-14°)=sin14°·cos31°+cos14°·sin31°=sin(31°+14°)=sin45°=22答案A8.已知銳角α,β滿足sinα=55,cosβ=31010,則α+βA.3π4 B.C.π4 D.2kπ+π4(k∈解析由sinα=55,cosβ=31010,且α,可知cosα=255,sinβ=故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=255×31010?55×1010=22.又答案C二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分)9.下列各式中,值為1的是()A.4sin15°cos15° B.cos215°-sin215°C.32+2sin215° D.sin22020+cos2解析因為4sin15°cos15°=2sin30°=1,所以A正確;cos215°-sin215°=cos30°=32,所以B錯誤32+2sin215°=32+1-cos30°=1,所以Csin22020+cos22020=1,所以D正確.答案ACD10.已知2sinθ=1+cosθ,則tanθ2的值(A.恒為2 B.可能為1C.可能為-12 D.解析2sinθ=1+cosθ,則4sinθ2cosθ2=1+2cos2θ2-1,即2sinθ2cosθ2=cos2θ2,當(dāng)cosθ2≠0時,tanθ2=12答案BD11.已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx+π6,則()A.f(x)的最小正周期為πB.f(x)的最小正周期為2πC.f(x)的圖象關(guān)于直線x=kπ+2π3(k∈D.f(x)的值域為[-3,解析因為f(x)=sinx-cosx+π6=sinx-32cosx-12sinx=32sinx-32cos=332sinx-12cosx=3sinx-π6所以f(x)的最小正周期為2π,所以A錯誤,B正確;由x-π6=kπ+π2(k∈Z)得x=kπ+2π3(k∈Z),即f(x)的圖象關(guān)于直線x=kπ+2π3(k∈Z)因為x∈R,所以-1≤sinx-π6≤1,所以-3≤f(x)≤3,即f(x)的值域為[-3,3],所以D答案BCD12.已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),則(A.sinθcosθ=-1225 B.sinθ-cosθ=C.sinθ-cosθ=75 D.tanθ=-解析因為sinθ+cosθ=15所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125即sinθcosθ=-1225,所以A正確所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=4925因為θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>0,所以sinθ-cosθ=75,所以B錯誤,C正確聯(lián)立sin解得sinθ=45,cosθ=-3所以tanθ=-43.所以D正確答案ACD三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,則tanα=.解析因為a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,所以3cosα-4sinα=0.所以tanα=34答案314.cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)=.

解析cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)=cos[(36°+α)-(α-54°)]=cos90°=0.答案015.已知A+B=2π3,那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值是解析因為A+B=2π3,所以cos2A+cos2B=12(1+cos2A+1+cos2B)=1+12(cos2A+cos=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos2π3cos(A-B)=1-12cos(所以當(dāng)cos(A-B)=-1時,原式取得最大值32;當(dāng)cos(A-B)=1時,原式取得最小值1答案316.函數(shù)f(x)=15sinx+π3+cosx-π3的最大值為.

解析因為f(x)=15sinx+π3+cosx-π3=1512sinx+32cosx+12cosx+32=1+5310sinx+5+31+53102+其中tanφ=5+3因此,函數(shù)y=f(x)的最大值為1+53答案26+5四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知sin(3π+α)=2sin3π2+α,求下列各式的值:(1)sinα(2)sin2α+sin2α.解由已知得sinα=2cosα.(1)原式=2cosα-4cos(2)原式=sin18.(12分)已知0<α<π2<β<π,tanα2=12,cos(β-(1)求sinα的值;(2)求β的值.解(1)因為tanα2所以tanα=2tanα由sinαcosα=43,sin2α+cos2α(2)由(1)知cosα=1-sin2α=1-(45)

2=35,又0而cos(β-α)=210所以sin(β-α)=1-于是sinβ=sin[α+(β-α)]=sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α)=45又β∈π2,π,所以β=3π419.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù),求θ的值;(2)求函數(shù)y=fx+π122+fx+π42的值域.解(1)因為f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函數(shù),所以,對任意實(shí)數(shù)x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ,故2sinxcosθ=0,所以cosθ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2(2)y=fx+π122+fx+π42=sin2x+π12+sin2x+π4=1=1-1232cos2x-32sin=1-32cos2x+π3.因此,函數(shù)的值域是1-32,1+32.20.(12分)求證:sinx證明方法一:左邊=sin=(=2=2=2=右邊.方法二:左邊=1+sin=1=1=11+sinx+cosx(sinx+1-cosx-cosx-1+=2=右邊.21.(12分)已知A+B+C=π.求證:sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cos證明因為A+B+C=π,所以C=π-(A+B),所以C2所以sinA+sinB+sinC=2sinA+B2cosA-=2sinA+B2cosA-B=2sinA+B2cosA-B=2sinA+B2·2cosA2·=2cosC2·2cosA2·cos所以sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cos22.(12分)如圖所示,要把半徑為R,圓心角為π3的扇形木料截成長方形,應(yīng)怎樣截取