6方差分析與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析引論方差分析：k個(gè)總體均值相等性檢驗(yàn)多重比較方法實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)析因?qū)嶒?yàn)什么是方差分析例：某公司在亞特蘭大、達(dá)拉斯以及西雅圖的工廠生產(chǎn)打印機(jī)與傳真機(jī)。為確定這些工廠中有多少員工了解全面質(zhì)量管理，從每個(gè)工廠選取一個(gè)由6名員工組成的隨機(jī)樣本，并對(duì)他們進(jìn)行質(zhì)量意識(shí)考試。管理者想用這些數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)：三個(gè)工廠的平均考分相同。ObservationAtlantaDallasSeattle185715927575643827362476746957169756858267樣本均值797466樣本方差342032樣本標(biāo)準(zhǔn)差5.834.475.66響應(yīng)變量、因子及處理兩個(gè)變量分別是工廠位置及質(zhì)量意識(shí)考試的分?jǐn)?shù)。因?yàn)槟康氖桥卸▉喬靥m大、達(dá)拉斯與西雅圖三個(gè)工廠的考分是否相同，所以考分就稱為因變量或響應(yīng)變量。工廠的位置為自變量或因子。用于研究的因子的值稱為因子水平或處理。本例中三個(gè)處理分別為亞特蘭大、達(dá)拉斯和西雅圖。方差分析的假定對(duì)每個(gè)總體，響應(yīng)變量服從正態(tài)分布。每個(gè)工廠的考試分?jǐn)?shù)（響應(yīng)變量）必須服從正態(tài)分布。響應(yīng)變量的方差，對(duì)所有總體都相同。三個(gè)工廠考分的方差都相同。觀察值是獨(dú)立的。每個(gè)員工的考分都與其他員工的考分獨(dú)立。若樣本容量相等，方差分析對(duì)于總體服從正態(tài)分布的假定不敏感。問(wèn)題的一般提法在上述假定條件下，判斷工廠位置對(duì)工廠的考分是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的三個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等。如果三個(gè)總體的均值相等，可以期望三個(gè)樣本的均值也會(huì)很接近。三個(gè)樣本的均值越接近，推斷三個(gè)總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分總體方差的組間估計(jì)如果原假設(shè)成立，即H0:μ1=μ2=μ3意味著每個(gè)樣本都來(lái)自均值為μ、方差為2的同一正態(tài)總體xf(x)ObservationAtlantaDallasSeattle185715927575643827362476746957169756858267樣本均值797466樣本方差342032樣本標(biāo)準(zhǔn)差5.834.475.66總體方差的組內(nèi)估計(jì)如果備擇假設(shè)成立至少有一個(gè)總體的均值是不同的三個(gè)樣本分別來(lái)自均值不同的三個(gè)正態(tài)總體xf(x)1

236方差分析與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析引論方差分析：k個(gè)總體均值相等性檢驗(yàn)多重比較方法實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)析因?qū)嶒?yàn)被檢驗(yàn)假設(shè)的一般形式H0:12…k

H1:1,2,，k不全相等令第j個(gè)處理的樣本均值第j個(gè)處理的樣本方差總體樣本均值如果每個(gè)樣本容量都為n，則總體方差的組間估計(jì)處理均方：總體方差的組間估計(jì)。處理平方和總體方差的組內(nèi)估計(jì)誤差均方

誤差平方和方差估計(jì)量的比較：F檢驗(yàn)假定零假設(shè)為真，這時(shí)MSTR與MSE給出σ2的兩個(gè)獨(dú)立的無(wú)偏估計(jì)。對(duì)于正態(tài)分布，σ2的兩個(gè)獨(dú)立估計(jì)之比的抽樣分布服從F分布，其分子自由度為k-1，分母自由度為nT-k。aF(k-1,n-k)0拒絕H0不拒絕H0F方差估計(jì)量的比較：F檢驗(yàn)k個(gè)總體均值相等性檢驗(yàn)H0:12…k

H1:總體均值不全相等檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量顯著性水平α下的拒絕域ANOVA表ANOVA表：一種用來(lái)匯總方差分析計(jì)算和結(jié)果的表。包括顯示方差來(lái)源、平方和、自由度、均方和F值的列?？偲椒胶?/p>

處理平方和

誤差平方和方差來(lái)源平方和自由度均方F處理5162258.009.00誤差4301528.67合計(jì)94617練習(xí)從3個(gè)總體中各選取了5個(gè)觀察值，得到如下資料。a.求σ2的組間估計(jì)量。（268）總體樣本均值：（153+169+158）/3=160，抽樣分布的方差：134/2=67，則組間估計(jì)量：67×4=268b.求σ2的組內(nèi)估計(jì)量。（92）組內(nèi)估計(jì)量：（96.67+97.33+82）/3=276/3=92觀察值樣本1樣本2樣本31165174169214916415431561801614142158148樣本均值153169158樣本方差96.6797.3382.00

d.構(gòu)造該問(wèn)題的ANOVA表。（F=2.91<4.26，不能拒絕）方差來(lái)源平方和自由度均方F處理53622692.91誤差828992合計(jì)136411練習(xí)為檢驗(yàn)三家工廠生產(chǎn)的機(jī)器混合一批原料所需平均時(shí)間是否相同，Jacobs化學(xué)公司得到了關(guān)于混合原料所需時(shí)間的如下數(shù)據(jù)。利用這些數(shù)據(jù)檢驗(yàn)三家工廠混合一批原料所需平均時(shí)間是否相同。設(shè)α

=0.05。（F=10.64<4.26）方法完全同上例！制造商1制造商2制造商32028302626192431232227226方差分析與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析引論方差分析：k個(gè)總體均值相等性檢驗(yàn)多重比較方法實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)析因?qū)嶒?yàn)多重比較方法多重比較方法：用于進(jìn)行成對(duì)的總體均值或處理間比較的統(tǒng)計(jì)方法。用方差分析檢驗(yàn)k個(gè)總體均值是否相等時(shí)，拒絕零假設(shè)只能得出總體均值不全相等的結(jié)論。有時(shí)我們需要進(jìn)一步檢驗(yàn)到底哪些均值之間有差異。FisherLSD方法FisherLSD

(最小顯著差異)方法例：通過(guò)方差分析，我們得出三個(gè)工廠總體平均考分不全相同的結(jié)論。這時(shí)，進(jìn)一步的問(wèn)題是：盡管我們承認(rèn)這些工廠有差異，但到底差異出現(xiàn)在哪兩個(gè)廠之間呢？就是說(shuō)，是總體1和總體2之間的均值不同，還是總體1和總體3之間的均值不同，還是總體2和總體3之間的均值不同？FisherLSD方法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕法則式中，tα/2是基于自由度為nT-k的t分布。ObservationAtlantaDallasSeattle樣本均值797466樣本方差5.834.475.66樣本標(biāo)準(zhǔn)差342032方差來(lái)源平方和自由度均方F處理5162258.009.00誤差4301528.67合計(jì)94617基于統(tǒng)計(jì)量的FisherLSD方法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量顯著性水平α下的拒絕法則式中使用FisherLSD方法的兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間估計(jì)式中且tα/2是基于自由度為nT-k的t分布。第一類錯(cuò)誤概率比較性第一類錯(cuò)誤概率：對(duì)應(yīng)于單個(gè)配對(duì)比較的第一類錯(cuò)誤概率。實(shí)驗(yàn)性第一類錯(cuò)誤概率：幾個(gè)配對(duì)比較中至少有1個(gè)犯第一類錯(cuò)誤的概率，記為αEW。若總體個(gè)數(shù)較多，實(shí)驗(yàn)性第一類錯(cuò)誤概率則更大。控制實(shí)驗(yàn)性錯(cuò)誤概率Bonferroni修正在逐個(gè)檢驗(yàn)中使用更小的比較性錯(cuò)誤概率。如果要檢驗(yàn)

C個(gè)配對(duì)比較并希望總的實(shí)驗(yàn)性第一類錯(cuò)誤的最大概率為

αEW，那么令比較性錯(cuò)誤概率等于αEW/C對(duì)于固定的樣本容量，降低犯第一類錯(cuò)誤的概率將導(dǎo)致犯第二類錯(cuò)誤的概率增加。這類錯(cuò)誤對(duì)應(yīng)于實(shí)際上兩個(gè)總體均值不相等，但卻接受了兩個(gè)總體均值相等的假設(shè)的情形。練習(xí)

觀察值樣本1樣本2樣本31165174169214916415431561801614142158148樣本均值153169158樣本方差96.6797.3382.00練習(xí)

觀察值樣本1樣本2樣本31165174169214916415431561801614142158148樣本均值153169158樣本方差96.6797.3382.00練習(xí)為檢驗(yàn)三家工廠生產(chǎn)的機(jī)器混合一批原料所需平均時(shí)間是否相同，Jacobs化學(xué)公司得到了關(guān)于混合原料所需時(shí)間的如下數(shù)據(jù)。利用這些數(shù)據(jù)檢驗(yàn)三家工廠混合一批原料所需平均時(shí)間是否相同。設(shè)α

=0.05。用FisherLSD方法檢驗(yàn)廠家1與廠家3均值的相等性。（LSD=3.54，有顯著差異）用FisherLSD方法求總體1與總體2均值之差的95%的置信區(qū)間估計(jì)。（-8.54，-1.46）方法完全相同！制造商1制造商2制造商32028202626192431232227226方差分析與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析引論方差分析：k個(gè)總體均值相等性檢驗(yàn)多重比較方法實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)析因?qū)嶒?yàn)在實(shí)驗(yàn)性研究中，感興趣的變量是明確規(guī)定的。因此，研究中的一個(gè)或多個(gè)因素可以被控制，使得數(shù)據(jù)可以按照因素如何影響變量來(lái)獲得。(因果關(guān)系)在觀察性或非實(shí)驗(yàn)性研究中，則不去控制這些因素。(抽樣調(diào)查)單因子實(shí)驗(yàn)只涉及到有k個(gè)總體或處理的一個(gè)因子的實(shí)驗(yàn)。例：Chemitech開(kāi)發(fā)了一種新的城市供水過(guò)濾系統(tǒng)，其元件需從幾家供應(yīng)商處購(gòu)買，然后Chemitech在位于南加州哥倫比亞的工廠裝配這些元件。由工程部負(fù)責(zé)確定新過(guò)濾系統(tǒng)的最佳裝配方法?？紤]過(guò)各種可能之后，小組將范圍縮小至三種方法：方法A、方法B及方法C。這些方法在產(chǎn)品裝配步驟上有所不同。Chemitech的管理者希望確定哪種裝配方法每周生產(chǎn)的過(guò)濾系統(tǒng)數(shù)最大。完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)處理被隨機(jī)地指派給實(shí)驗(yàn)單元的一種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。假定從Chemitech的生產(chǎn)車間的全體裝配工人中抽取了由三名員工組成的樣本，這三名隨機(jī)抽取的工人被稱為實(shí)驗(yàn)單元。隨機(jī)化的概念是所有實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要原理。完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)收集ObservationMethodAMethodBMethodC15858482646957355715946664475676849樣本均值626652樣本方差27.526.531.0樣本標(biāo)準(zhǔn)差5.245.155.57完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)總體方差的組間估計(jì)總體方差的組內(nèi)估計(jì)方差估計(jì)量的比較：F檢驗(yàn)ANOVA表方差來(lái)源平方和自由度均方F處理5202260.009.18誤差3401228.33合計(jì)86014完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)配對(duì)比較結(jié)論：方法A與方法B要優(yōu)于方法C

練習(xí)

練習(xí)

6方差分析與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析引論方差分析：k個(gè)總體均值相等性檢驗(yàn)多重比較方法實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)析因?qū)嶒?yàn)為檢驗(yàn)處理均值之間的差異，計(jì)算F值時(shí)使用了比值當(dāng)外在因素（實(shí)驗(yàn)中沒(méi)有考慮到的因素）引起的差異導(dǎo)致該比值中MSE項(xiàng)增大時(shí)，F(xiàn)值會(huì)變小。這樣，在實(shí)際中存在差異時(shí)，F(xiàn)值卻給出處理均值之間沒(méi)有差異的信號(hào)。隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)區(qū)組劃分：在每個(gè)處理中使用相同或相近實(shí)驗(yàn)單元的過(guò)程。目的是從誤差項(xiàng)中剔除外來(lái)方差，并因此給出總體或處理均值之間差異的更有力的檢驗(yàn)方法。隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)：采用區(qū)組劃分的一種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。例：空中交通管制員工作壓力測(cè)試一次衡量空中交通管制員的疲勞程度與工作壓力的研究得到的結(jié)果是建議改造并重新設(shè)計(jì)管制員工作站?？紤]了工作站的若干設(shè)計(jì)方案后，由于三種方案最能減輕管制員壓力而被選出。關(guān)鍵問(wèn)題是：三種方案對(duì)于管制員壓力的效果有多大差異？在完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)中，管制員的隨機(jī)樣本被指派給每個(gè)工作站方案。但是，管制員之間的差別是很大的。一名管制員認(rèn)為是大的壓力對(duì)于另一名管制員來(lái)說(shuō)可能是中等的壓力或甚至是小的壓力。將個(gè)人差異分離出來(lái)的一種辦法是使用隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)。例：空中交通管制員工作壓力測(cè)試隨機(jī)化區(qū)組需要管制員的一個(gè)單個(gè)樣本，樣本中每個(gè)管制員都分別在三種工作站方案下接受檢驗(yàn)。工作站是興趣因子，管制員為區(qū)組，與工作站因子有關(guān)的三個(gè)處理或總體分別對(duì)應(yīng)于三種工作站方案。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，稱工作站方案為系統(tǒng)A、系統(tǒng)B、系統(tǒng)C。隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)中的隨機(jī)化是指處理（系統(tǒng)）指派給管制員的順序是隨機(jī)的。如果每個(gè)管制員測(cè)試三個(gè)系統(tǒng)的順序都是一樣的，任何觀察到的系統(tǒng)差異都可能歸因于檢驗(yàn)順序而不是系統(tǒng)真正的差異?？罩薪煌ü苤茊T壓力測(cè)試的隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)處理系統(tǒng)A系統(tǒng)B系統(tǒng)C區(qū)組管制員1151518管制員2141414管制員3101115管制員4131217管制員5161316管制員6131313空中交通管制員壓力測(cè)試的壓力數(shù)據(jù)匯總處理區(qū)組合計(jì)區(qū)組均值系統(tǒng)A系統(tǒng)B系統(tǒng)C區(qū)組管制員11515184816.0管制員21414144214.0管制員31011153612.0管制員41312174214.0管制員51613164515.0管制員61313133913.0處理合計(jì)81789325214.0處理均值13.513.015.5ANOVA方法將總平方和分解成三部分：處理平方和、區(qū)組平方和以及誤差平方和。SST=SSTR+SSBL+SSE計(jì)算第1步：計(jì)算總平方和（SST）第2步：計(jì)算處理平方和（SSTR）第3步：計(jì)算區(qū)組平方和（SSBL）第4步：計(jì)算誤差平方和（SSE）計(jì)算方差來(lái)源平方和自由度均方F處理21210.510.5/1.9=5.53區(qū)組3056.0誤差19101.9合計(jì)7017隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)在某些情形，區(qū)組的劃分是針對(duì)每個(gè)區(qū)組內(nèi)的“相似的”實(shí)驗(yàn)單元而進(jìn)行的。例如，假設(shè)在關(guān)于空中交通管制員的一個(gè)預(yù)先的測(cè)試中，管制員總體被分成從極高壓力組到極低壓力組的幾個(gè)組。通過(guò)讓來(lái)自壓力分類中每一類的三名管制員參加研究，仍然可以實(shí)現(xiàn)分區(qū)組。因?yàn)橛衎個(gè)區(qū)組導(dǎo)致自由度減少了b-1，所以隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)的誤差自由度小于完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)的誤差自由度。如果n很小，因?yàn)檎`差自由度的減少，區(qū)組的潛在影響可能被掩蓋；當(dāng)n很大時(shí)，這種影響被最小化了。練習(xí)考慮用如下隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行建立方差分析表所需的計(jì)算。用α

=0.05，檢驗(yàn)顯著性差異。（F=6.58>4.46，拒絕）處理ABC區(qū)組1109821265318151442018185878練習(xí)對(duì)5種不同的審計(jì)方法的總審計(jì)時(shí)間進(jìn)行比較。為控制屬于進(jìn)行審計(jì)的個(gè)人的可能的方差，隨機(jī)選取了四名會(huì)計(jì)師當(dāng)作實(shí)驗(yàn)中的區(qū)組。由ANOVA方法得到下列數(shù)據(jù)：SST=100，SSTR=45，SSBL=36。用α

=0.05檢驗(yàn)5種審計(jì)方法平均總審計(jì)時(shí)間是否有顯著差異。（F=7.11>3.26，拒絕）6方差分析與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析引論方差分析：k個(gè)總體均值相等性檢驗(yàn)多重比較方法實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)析因?qū)嶒?yàn)析因?qū)嶒?yàn)析因?qū)嶒?yàn)：允許進(jìn)行關(guān)于兩個(gè)或兩個(gè)以上因子統(tǒng)計(jì)推斷的一種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。例：為嘗試提高考生在考試中的分?jǐn)?shù)，一所較大的得克薩斯州的大學(xué)考慮提供下面三種GMAT輔導(dǎo)課程：(1)3小時(shí)的復(fù)習(xí)；(2)1天的課程；(3)10周的強(qiáng)化班。通常GMAT的考生來(lái)自三類院校：商學(xué)院、工學(xué)院和藝術(shù)與科學(xué)學(xué)院。兩因子實(shí)驗(yàn)的GMAT分?jǐn)?shù)BusinessEngineeringArtsandSciences3-hourreview5005404805804604001-dayprogram4