數(shù)學中的符號化思想方法

第一節(jié)

數(shù)學符號概述

1、符號的產生源于“給予意義”的行為。

例如“葉落知秋”，于是飄落的一片黃葉成為秋天的

符號。

2、符號已深入到人類生活的方方面面。

著名語言學家皮埃爾.吉羅說“我們生活在符號之

間”。

3、符號包括“符號形式”（能指）和“符號內容”（所

指）兩個方面。

例如：形式：⊙、≌、△；

內容：圓、全等于和三角形。

“沒有形式的內容或”沒有“內容的形式”都不是符號。一、符號是人們約定用來指稱一定對象的標志物，是用以表達和交換思想的工具。

二、數(shù)學符號是傳播數(shù)學思想的媒介。數(shù)學語言系統(tǒng)符號化系統(tǒng)=數(shù)學符號的特征：

1、物質性：以一定的物質形式為背景，可感知。

2、抽象性：數(shù)學符號是一種抽象化了的的思想材料。3、精確性：數(shù)學主要依靠嚴格的推理來演繹證明”，

意義不能含糊不清。

4、規(guī)范性：具有相對的穩(wěn)定性，便于交流。

5、開放性：數(shù)學符號系統(tǒng)隨著數(shù)學自身的發(fā)展不斷

完善。第二節(jié)、數(shù)學符號簡史

關數(shù)學發(fā)展史可以追溯到古希臘時代，至今已有3000年歷史，數(shù)學符號的發(fā)展時間只有400余年，而大多數(shù)數(shù)學符號的歷史甚至不到400年。數(shù)學符號發(fā)展的400余年，大致可以分為五個階段。一、建立自然數(shù)和分數(shù)的符號體系。1、人類早期的記數(shù)方法。

實物記數(shù)、結繩記數(shù)、刻痕記數(shù)、用身體某個部分來表示數(shù)。2、早期的文明產生了各自的記數(shù)符號。如：數(shù)字符號0——9用的是印度.阿拉伯數(shù)碼；古埃及人用象形文字記數(shù)，但不知道位值記數(shù)；古巴比倫人有位值思想，但沒有適當?shù)牧闾?；古代中國人用算籌記數(shù)，形成了較完善的記數(shù)方法；3、1450年，活版印刷的發(fā)明促進了記數(shù)符號的規(guī)范化?，F(xiàn)行的10進制記數(shù)法和數(shù)字符號才于16世紀以后的歐洲通行。4、位值制記數(shù)法是人類智慧的結晶。

中美洲的瑪雅人用二十進制；

古代中國人用過十六進制，最早用十進制；

古巴比倫人用六十進制；5、“0”表示“零，最早于公元4世紀左右產生于中印邊界一帶”。完善的“0”符號的出現(xiàn)。形成了完整的位值記數(shù)法；完成了自然數(shù)的符號系統(tǒng)6、分數(shù)是在運算過程中產生的，表示兩個整數(shù)的商。二、建立代數(shù)符號體系。

代數(shù)學發(fā)展的關鍵是要建立一套有效的符號系統(tǒng)。

1、古代的代數(shù)基本上都用文辭或縮寫的形式表示。

如：“x2+10x=39”在阿拉伯人阿爾.花拉子模的《代

數(shù)學》中說成“一個數(shù)的平方及其根的十倍等于39”2、符號代數(shù)到16世紀才開始在西歐出現(xiàn)，17世紀開

始流行。3、韋達對多項式進行了改進。在韋達那里，“Acubus+AplanuminA3aequaturDsolido”就是現(xiàn)在的“A3+3BA=D”4、笛卡爾是提出用字母表后面的字母“x、y、z”表

示已知數(shù)，用前面的字母“a、b、c”表示已知數(shù)。５、萊布尼茲創(chuàng)造了點乘號“.”；拉恩使用了除號“÷”；奧特里德用了“×”，加號“＋”和減號“－”開始是作為“超過”和“不足”引入的；代數(shù)符號到１７世紀基本完善三、與微積分學的產生相聯(lián)系的符號的發(fā)展。

微積分是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的——是人類精神上的偉大勝利。１、牛頓和萊布尼茲最偉大的功績是將兩上看似貌不相關

的的問題聯(lián)系起來，一個是求積問題，一個切線問題，形成了“牛頓——萊布尼茲公式”２、牛頓和萊布尼各茲引進了一些導數(shù)、微分、積

分等有關符號。

如：牛頓把“d”拉長，用作微分符號；萊布尼茲把“s”拉長為∫，用作只分記號；３、微積分符號的建立克服了對極限、連續(xù)等一系列重要概念描述的含糊不清，大力推動了微積分的發(fā)展。三、集合論和數(shù)理邏輯符號在數(shù)學中的發(fā)展和滲透。

現(xiàn)代數(shù)學中，集合論已構成全部數(shù)學的基礎，它的概念和方法幾乎滲透到數(shù)學的各個分支乃到其它學科。１、集合論和數(shù)理邏輯符號逐步向數(shù)學領域發(fā)展和滲透。

如:集合符號A、B、C；并集∪;交集∩;屬于∈;2、集合論和數(shù)理邏輯符號的引入使數(shù)學語言更加簡便;第三節(jié)、符號對數(shù)學發(fā)展的影響。

數(shù)學的發(fā)展推動了數(shù)學符號的發(fā)展，同時數(shù)學符號的發(fā)展又促進了數(shù)學的發(fā)展。

“數(shù)學的一切進步都是對引入符號的反應”；

數(shù)學符號與數(shù)學方法論有密切關系所以數(shù)學中的符號化思想受到數(shù)學方法論研究的格外重視。一、符號對數(shù)學發(fā)展的影響。１、歐洲在阿拉伯數(shù)字輸入以前，使用羅馬數(shù)碼，由于不

是進位制的，一個簡單的數(shù)要寫成一長串，使得做加減

法已經困難，會乘除就可稱專家了。

如：“235×4”要寫成

CCCCCCCC

XXXXXXXXXXXX

YYYY

DCCD

CXX

XX

再進一步合并為“DCCCCXL”2、中國長期不用阿拉伯數(shù)字，是因為與算籌式數(shù)碼計數(shù)法相比，阿拉伯數(shù)定并無明顯優(yōu)勢。但是，遲遲不用阿拉伯數(shù)字，對我國數(shù)學發(fā)展有一定影響。3、微積分的發(fā)展史也是數(shù)學符號的發(fā)展史；

“數(shù)學分析的語言，是所有數(shù)學語言中最完善的語言”。4、牛頓是微積分發(fā)明的先行者（早萊布尼茲10年），但萊布尼茲較早（3年）公布成果，其原因是萊布尼茲使用的符號更為優(yōu)越。以上例子說明：數(shù)學符號的發(fā)展對數(shù)學本身發(fā)展的推動作用——形式對本質的反作用。一、數(shù)學符號導致新數(shù)學分支的產生。

數(shù)學符號不僅影響了數(shù)學發(fā)展的進程，同時也導致新的數(shù)學分支的產生。1、韋達用字母表示數(shù)，使得代數(shù)能夠逐漸成為一門正式的學科而獨立出來。2、坐標體系的建立和用“x”“y”表示變元，直接促進了解析幾何學的發(fā)展。3、數(shù)學符號與傳統(tǒng)邏輯相結合，促使了數(shù)理邏輯的誕生。。4、布爾試圖把初等代數(shù)與形式邏輯相結合，通過語言的符號化來達到邏輯的嚴格化，即邏輯的代數(shù)化；龐加萊試圖使數(shù)學邏輯化，把數(shù)學大廈建立在一個統(tǒng)一的基礎之上。但是，羅素悖論的發(fā)現(xiàn)終止了這兩項努力和希望。5、意大利數(shù)學家皮亞諾提出：

（1）不采用自然語言，采用符號語言；

（2）把數(shù)學推理寫成符號公式；其實質是：

（1）每一數(shù)學理論只包含少數(shù)幾個原始概念，可以用原始符號來代表；

（2）每一數(shù)學理論只包含少數(shù)幾條原始命題，可以用符號寫出的公式來表述；

（3）數(shù)學理論的邏輯展開，完全變成符號公式的數(shù)學推演。現(xiàn)今所沿用的數(shù)理邏輯記號大體上是由皮亞諾確定的。符號化思想數(shù)學是符號加邏輯掌握系統(tǒng)、完整的數(shù)學數(shù)學語言定律法則公式……符號是數(shù)學語言的基本詞匯由符號構成構成了數(shù)學語言的基本語法規(guī)則文字圖式符號數(shù)學語言數(shù)學模型三種形態(tài)文字語言：●有時無法準確描述數(shù)學概念。●有時因漢語語義的豐富性，容易產生岐義。●有時因翻譯的原因，在漢語中找不到合適的字詞進行表述?！裼袝r因缺乏形象支持，更使概念變得抽象難懂。且用詞量較大，缺乏簡潔性。符號語言：當給予符號特定的、統(tǒng)一的含義后，使得其更具簡潔性，也更便于表述與交流。圖式語言：既是圖形，也是符號。故同時具備了形象性與抽象性的特點，更具有簡潔性。數(shù)學語言的發(fā)展更傾向于圖式與符號符號化思想對數(shù)學發(fā)展起的作用

⒈以約定的語言規(guī)范的形式表達與交流促進發(fā)展⒉以濃縮形式進行數(shù)學思維速度加快,排除語言含糊不清,更清晰準確.⒊在數(shù)學發(fā)展中質的作用，建立新理論符號化在教材中體現(xiàn)

⒈符號化對教師的要求重視符號教學搞懂教材中數(shù)學符號含義和實質。⒉常用符號：元素符號，運算符號，關系符號，結合符號，約定符號。⒊數(shù)學符號教學應注意：使學生正確理解數(shù)學符號含義和性質重視規(guī)范書寫符號化思想在小學數(shù)學中的滲透

⒈變元思想（）□代替變元符號x，有一定的取值范圍。⒉用字母表示數(shù)的思想：更深刻的發(fā)掘規(guī)律，更準確簡捷地表達數(shù)學規(guī)律。字母可以表示任何數(shù)，無窮多個數(shù)。⒊列方程解應用題思想：代數(shù)設想：未知數(shù)與已知數(shù)同時參與計算代數(shù)翻譯：解代數(shù)方程：常用數(shù)學符號的分類

1.元素符號。（1）阿拉伯數(shù)字：1、2、3、4、……（2）表示數(shù)的字母：一般是用拉丁字母前面的字母表示已知數(shù)，如a、b、c、……用后面的字母表示未知數(shù)，如x、y、……（3）表示常數(shù)的字母。如π。（4）表示幾何形體的。如線段用AB，表示角用∠，2.運算符號。常用的運算符號有“+”、“-”、“×”、“÷”。3.關系符號。表示數(shù)、式、圖形等之間的關系的符號叫做關系符號。常用的關系符號有：“=”等號，“≈”近似等號；不等號“＜”（小于號）、“＞”（大于號）；表示直線、平面之間的平行或垂直關系的符號有“∥”、“⊥”4.結合符號。表示某些數(shù)先結合而后運算的。如圓括號（），方括號［］，花括號｛｝，括線——等。5.約定符號。規(guī)定某種符號表示某種特定含義的符號為約定符號。比如“∵”表示因為，“∴”表示所以。6.性質符號。表示數(shù)或形的性質的符號叫性質符號。比如“+”是正號，“-”是負號等。符號感的含義