大數(shù)定律及中心極限定理

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來.

也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的規(guī)律，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律及中心極限定理定理：（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X有數(shù)學(xué)期望,對任意>0,有:返回主目錄§1大數(shù)定律§1.大數(shù)定律大數(shù)定律及中心極限定理返回主目錄§1大數(shù)定律假設(shè)一批種子的良種率為，從中任意選出600粒，試用切比雪夫（Chebyshev）不等式和中心極限定理分別估計：這600粒種子中良種所占比例與之差的絕對值不超過0.02的概率。大數(shù)定律及中心極限定理例1§1大數(shù)定律解：設(shè)X表示600粒種子中良種的粒數(shù)§1大數(shù)定律大數(shù)定律及中心極限定理在實(shí)踐中，不僅事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，還有大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性。定義1：設(shè)是隨機(jī)變量序列，是一個常數(shù)；若對任意，有:則稱依概率收斂于，記為。定義2：返回主目錄§1大數(shù)定律大數(shù)定律及中心極限定理返回主目錄§1大數(shù)定律大數(shù)定律及中心極限定理此定理說明了頻率的穩(wěn)定性?！?大數(shù)定律大數(shù)定律及中心極限定理注：貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。返回主目錄§2中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理定理返回主目錄§2.中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理定理（德莫佛-拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項分布(DeMoivre--Laplace)§2中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理例2某車間有200臺車床，它們獨(dú)立地工作著，開工率為0.6,開工時耗電各為1千瓦，問供電所至少要供給這個車間多少電力才能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。解：設(shè)至少要供給這個車間r千瓦電才能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。由題意有：返回主目錄§2中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理即供給141千瓦電就能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。返回主目錄§2中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理例3設(shè)一個系統(tǒng)由100個相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個部件的損壞率為0.1。為了使整個系統(tǒng)正常工作，至少必須有85個部件正常工作，求整個系統(tǒng)正常工作的概率。解：設(shè)X是損壞的部件數(shù)，則X~B(100,0.1)。則整個系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)X15.由中心極限定理有返回主目錄大數(shù)定律及中心極限定理例4某單位有200臺電話分機(jī)，每臺分機(jī)有5%的時間要使用外線通話。假定每臺分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機(jī)用外線時不等待？解：設(shè)有X部分機(jī)同時使用外線，則有設(shè)有N條外線。由題意有

設(shè)一批產(chǎn)品的強(qiáng)度服從期望為14,方差為4的分布.每箱中裝有這種產(chǎn)品100件.求(1)每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過14.5的概率是多少.(2)每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過期望14的概率是多少.

n=100，設(shè)Xi是第i件產(chǎn)品的強(qiáng)度,EXi=14，DXi=4，i=1,2,,100.

每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度記為解:例5根據(jù)中心極限定理近似～N(0,1),于是