結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)

MechanicalDynamicsandVibration

諶勇

chenyong@

34206332-818

董興建donxj@

34206332-818EM206辦公室機(jī)械樓A樓818/818室第一章單自由度系統(tǒng)基礎(chǔ)知識(shí)單自由度自由振動(dòng)單自由度強(qiáng)迫振動(dòng)任意激勵(lì)下的響應(yīng)正弦函數(shù)的描述正弦函數(shù)的描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可由長(zhǎng)度為A且以固定的角速度旋轉(zhuǎn)的向量來(lái)表示例子求兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的和方法1：三角函數(shù)法方法2：矢量運(yùn)算法例子根據(jù)矢量加法的幾何表示可求得合矢量為：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算方法3：復(fù)數(shù)方法例子分別表示為復(fù)數(shù)形式后再按復(fù)數(shù)的加減法規(guī)則：Mass-mStiffness-k不論采用什么方法，單自由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程最終可以歸結(jié)為一個(gè)二階常微分方程組NotdrivenbyexternalforceLetthen代入方程，可以得到且：固有圓頻率所以，解的一般形式可以寫(xiě)成(1)單自由系統(tǒng)的解特征值特征方程求

c1

和

c2

c1

和c2

是和初值相關(guān)的常數(shù)，可有x(0)and

得到簡(jiǎn)諧振動(dòng)withand簡(jiǎn)諧振子(2)固有頻率的討論∵∴固有頻率固有周期固有圓頻率速度、加速度通過(guò)簡(jiǎn)單的微分關(guān)系，可以從振動(dòng)位移求得振動(dòng)速度及加速度Position,velocityandaccelerationofaharmonicoscillatorPosition,velocityandaccelerationofaSHMasphasors能量關(guān)系系統(tǒng)的

動(dòng)能T隨時(shí)間的變化規(guī)律可寫(xiě)為系統(tǒng)的

勢(shì)能U

隨時(shí)間的變化規(guī)律可寫(xiě)為系統(tǒng)的總能量可以寫(xiě)為自由振動(dòng)的特點(diǎn)ΦΦ黏性阻尼系統(tǒng)的解令得到特征方程兩個(gè)特征根對(duì)應(yīng)的解解的一般形式臨界阻尼與阻尼比當(dāng)阻尼滿足，稱(chēng)為系統(tǒng)的臨界阻尼無(wú)量綱量稱(chēng)為阻尼比，此時(shí)有：解的一般形式（量綱：牛頓·秒/米）欠阻尼系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)的阻尼小于其臨界阻尼，稱(chēng)為欠阻尼系統(tǒng)。即：為負(fù)數(shù)通解可寫(xiě)成初始條件為任意常數(shù)給定初始條件可求得解的具體形式為常數(shù)可寫(xiě)為（圖中）欠阻尼系統(tǒng)的時(shí)域曲線即為阻尼振動(dòng)的角頻率阻尼增大頻率變??！根據(jù)初始條件有：臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)的兩個(gè)根相等，即：通解為此時(shí)，稱(chēng)為臨界阻尼系統(tǒng)（）過(guò)阻尼系統(tǒng)稱(chēng)為過(guò)阻尼系統(tǒng)。其兩個(gè)實(shí)根通解為當(dāng)由初始條件可得：不同阻尼系統(tǒng)響應(yīng)臨界阻尼是使系統(tǒng)作非周期運(yùn)動(dòng)的最小阻尼！根軌跡（反映了特征方程的根隨阻尼變化的規(guī)律）相軌跡對(duì)數(shù)衰減系數(shù)定義：任意兩個(gè)相鄰的振幅之比的自然對(duì)數(shù)定義t1和t2

為兩個(gè)連續(xù)的振幅相對(duì)應(yīng)的時(shí)間，則有則有因?yàn)樗粤瞀?/p>

稱(chēng)為“對(duì)數(shù)衰減系數(shù)”或“對(duì)數(shù)衰減率”小阻尼情形有對(duì)數(shù)衰減率與阻尼比之間的相互關(guān)系為對(duì)數(shù)衰減率與阻尼比（用于實(shí)驗(yàn)測(cè)試阻尼）也可通過(guò)任意m個(gè)整數(shù)周期的位移來(lái)求得，∵∴則有：當(dāng)，二、有阻尼情形運(yùn)動(dòng)方程一般形式假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動(dòng)方程得用三角函數(shù)公式展開(kāi)令兩邊同諧波項(xiàng)相等幅頻特性相頻特性穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問(wèn)題??！全解！無(wú)量綱化振幅放大系數(shù)（幅值比）式中：卷積積分非周期變化的激振力大小是隨著時(shí)間變換的，最簡(jiǎn)單的非周期激振力即為沖擊力-------幅值大但作用時(shí)間短當(dāng)沖擊力很短時(shí)，則可根據(jù)沖量定理更一般的沖量表達(dá)形式為則單位沖量定義為沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)考慮具有粘性阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)在t=0時(shí)受到一個(gè)單位沖量作用:對(duì)沖量的響應(yīng)對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為其中對(duì)沖量的響應(yīng)如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即則系統(tǒng)的初始條件變?yōu)橄到y(tǒng)的響應(yīng)為我們有:稱(chēng)為

單位脈沖響應(yīng)函數(shù)對(duì)沖量的響應(yīng)如果沖量的大小是而不是1，那么初始速度變?yōu)榇藭r(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)成為沖量及響應(yīng)如右圖所示。如果沖量是作用在任意時(shí)刻處，則該時(shí)刻速度變化為。假設(shè)沖量作用前，則系統(tǒng)響應(yīng)為脈沖發(fā)生的時(shí)刻對(duì)任意外力的作用，可將任意力看成是一系列大小變化的沖量組成的。對(duì)一般力的響應(yīng)假設(shè)在時(shí)刻，力在很短的時(shí)間作用在系統(tǒng)上，則在這一時(shí)刻的沖量就是，對(duì)于任意時(shí)刻，沖量發(fā)生的時(shí)間為，則該沖量在時(shí)刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為:則系統(tǒng)在

t

時(shí)刻的總響應(yīng)等于之前所有時(shí)刻的微沖量引