極點(diǎn)配置基本概念開環(huán)系統(tǒng)：（1）

（狀態(tài)反饋）閉環(huán)系統(tǒng)：（2）反饋規(guī)律極點(diǎn)配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)的分布情況決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)品質(zhì)。所謂極點(diǎn)配置（或稱為特征值配置）就是如何使得已給系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)處于所希望的位置。系統(tǒng)（1）通過狀態(tài)反饋可任意配置極點(diǎn)的充分必要條件是系統(tǒng)完全能控。（對(duì)單輸入單輸出和多輸入多輸出均成立）。構(gòu)造狀態(tài)反饋來調(diào)整系統(tǒng)的極點(diǎn)。單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置開環(huán)系統(tǒng)：閉環(huán)系統(tǒng)：若希望(給定)閉環(huán)極點(diǎn)為：

狀態(tài)反饋：求實(shí)向量K,使得

單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置1.適合維數(shù)較高，控制矩陣中非零元素較多（4）（5）令(6)求2.適合維數(shù)較低，控制矩陣中只有一個(gè)非零元素的情況問題的提出精確的極點(diǎn)配置必須以精確的數(shù)學(xué)模型為依據(jù)由于不確定性及各種擾動(dòng)的存在，使得精確的極點(diǎn)配置不可實(shí)現(xiàn)精確的極點(diǎn)配置并非是唯一的途徑，將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在復(fù)平面上的一個(gè)適當(dāng)區(qū)域，即可保證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性系統(tǒng)的區(qū)域穩(wěn)定

1.區(qū)域R是以虛軸為邊界的左半平面，則R—穩(wěn)定性即是連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.R—穩(wěn)定性是以直線為邊界的左半平面，則系統(tǒng)的R—穩(wěn)定性即是—穩(wěn)定性。3.如果R是左半平面內(nèi)的某個(gè)開圓盤D，則系統(tǒng)R—穩(wěn)定性稱為D—穩(wěn)定性。LMI區(qū)域的描述定義對(duì)復(fù)平面中的區(qū)域D，如果存在一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，使得 則稱D是一個(gè)線性矩陣不等式區(qū)域(簡記為LMI區(qū)域)。矩陣值函數(shù) 稱為LMI區(qū)域D的特征函數(shù),特征函數(shù)維的Hermite矩陣，表示矩陣是負(fù)定的。是復(fù)數(shù)變量。的取值是和實(shí)矩陣說明：LMI區(qū)域是凸的LMI區(qū)域是關(guān)于復(fù)平面上的實(shí)軸對(duì)稱的常見的LMI區(qū)域左半開復(fù)平面相應(yīng)的特征值函數(shù)相應(yīng)的特征值函數(shù)左半復(fù)平面的垂直條形區(qū)域相應(yīng)的特征值函數(shù)

D－穩(wěn)定性分析定義

對(duì)復(fù)平面中給定的LMI區(qū)域D和實(shí)矩陣如果實(shí)矩陣A的所有特征值都位于區(qū)域D中，即，則稱實(shí)矩陣A是D-穩(wěn)定的。設(shè)是一個(gè)正定矩陣，則它的實(shí)部Re（x）是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣。證明：從（3）定理：給定LMI區(qū)域其中：，使得則實(shí)矩陣是D-穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定實(shí)矩陣證明：假定存在對(duì)稱陣X滿足MD(A,X)<0.設(shè)λ是矩陣A的任意特征值，且有應(yīng)用Kronecker乘積的性質(zhì)，可得由MD(A,X)<0和X>0可推出即由于的任意性，根據(jù)D-穩(wěn)定的定義，可得矩陣A是D-穩(wěn)定的，定理得證。D穩(wěn)定性定理的應(yīng)用

LMI區(qū)域?yàn)樽蟀腴_復(fù)平面對(duì)于左半開復(fù)平面，其特征函數(shù)是則由D穩(wěn)定性定理，可得，矩陣A的所有特征值均在左半開復(fù)平面的充分必要條件是存在對(duì)稱正定矩陣X，使得Lyapunov不等式

推論給定兩個(gè)LMI區(qū)域D1和D2，矩陣A同時(shí)是D1-穩(wěn)定和D2-穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定陣X，使得第三方條形區(qū)域極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)及仿真第二部分條形區(qū)域矩陣A的所有特征值均在h1，h2的垂直條形區(qū)域的充分必要條件是存在對(duì)稱正定矩陣X，使得：成立結(jié)論：對(duì)于系統(tǒng)，存在增益矩陣K，使得系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到D（h1，h2）區(qū)域的充分必要條件是存在正定對(duì)稱矩陣X和矩陣P，使得數(shù)學(xué)模型：履帶車輛懸掛系統(tǒng)實(shí)例仿真對(duì)于已知線性定常系統(tǒng)履帶車輛懸掛系統(tǒng)給定希望的閉環(huán)極點(diǎn)配置在h1=-3，h2=-1的條形區(qū)域內(nèi)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，畫出極點(diǎn)分布圖。程序closeall;A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]B=[0;1;0;-1];C=[1,2,3,4]h1=-3;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[4,1]);P=lmivar(2,[1,4]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)未加狀態(tài)反饋矩陣KQ=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(Q);X=dec2mat(Q,xfeas,X);P=dec2mat(Q,xfeas,P);sys=ss(A,B,C,0);P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(1)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;plot([-3,-3],[-10,10]);plot([-1,-1],[-10,10]);axisequal加狀態(tài)反饋矩陣Kcloseall;A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]B=[0;1;0;-1];C=[1,2,3,4]h1=-3;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[4,1]);P=lmivar(2,[1,4]);K=lmivar(2,[1,4]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)XYC=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(XYC);X=dec2mat(XYC,xfeas,X);P=dec2mat(XYC,xfeas,P)