第四章非線性模型

一、問題的提出多元線性回歸模型為：上述模型包括兩個方面：①Y與解釋變量X1，X2，…，XP之間呈線性關(guān)系；②Y與參數(shù)之間呈線性關(guān)系。滿足上述兩個條件的模型稱為雙線性模型。如果上述條件至少有一不滿足稱為非線性回歸模型。包括：Y與解釋變量X線性，但與參數(shù)非線性；Y與參數(shù)線性，但與解釋變量X非線性；Y與解釋變量和參數(shù)X均非線性。例如C-D生產(chǎn)函數(shù)：生產(chǎn)函數(shù)（TPP）：消費(fèi)函數(shù)：多要素生產(chǎn)函數(shù)：Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)測定技術(shù)進(jìn)步速度時，應(yīng)具備以下條件：①僅有資本和勞動兩個生產(chǎn)要素，而且它們之間是可以相互替代的；②完全競爭的市場條件，資本和勞動都以其邊際產(chǎn)品作為報酬；③任何時候，資本和勞動都可以得到充分利用；④技術(shù)進(jìn)步是中性的，即邊際替代率不變；⑤規(guī)模收益不變(α+β=1)；⑥生產(chǎn)函數(shù)是一次齊次的。比例報酬（ReturnsToScale）：指所有生產(chǎn)投入按同一比例增加后產(chǎn)出的變化率。二、非線性回歸模型的處理（一）變換法適用于Y與解釋變量非線性，但與參數(shù)線性的情形。

其中，f1，f2，…，fp是X1，X2，…，XL的非線性函數(shù)。作變換：1、多項式函數(shù)2、雙曲函數(shù)3、對數(shù)函數(shù)4、S型曲線（Logistic）（二）對數(shù)法

1、冪函數(shù)2、指數(shù)函數(shù)索洛（Solow）余值法測算科技進(jìn)步貢獻(xiàn)Solow余值法的推廣：α、β、γ的求法：①利用截面數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸；②利用時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸；③利用混合數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸；④利用類似地區(qū)的α、β、γ。（三）Taylor展開法（略）三、案例分析例1，皮鞋銷售。某市1986—1991年期間，皮鞋銷售量Y（萬雙）如下表所示，試確定X與Y之間的關(guān)系，并預(yù)測1992年的皮鞋銷售量。年份XY△Y198615.3198727.21.9198839.62.41989412.93.31990517.14.21991623.26.1解:根據(jù)表中數(shù)據(jù)的走勢,可設(shè)模型如下:例2，電器需求量。某種家電1984—1991需求量Y（萬臺）如下表所示，試確定Y隨年份變化的關(guān)系，并預(yù)測1992年的需求量.年份XY△Y198411.3198521.50.2198631.80.3198742.00.2198851.9-0.11989620.1199072.20.2199182.1-0.1§3.6受約束回歸

RestrictedRegression

一、模型參數(shù)的線性約束二、對回歸模型增加或減少解釋變量三、參數(shù)的穩(wěn)定性說明在建立回歸模型時，有時根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論需要對模型中的參數(shù)施加一定的約束條件。例如：需求函數(shù)的0階齊次性條件生產(chǎn)函數(shù)的1階齊次性條件模型施加約束條件后進(jìn)行回歸，稱為受約束回歸（restrictedregression）;未加任何約束的回歸稱為無約束回歸（unrestrictedregression）。一、模型參數(shù)的線性約束1、參數(shù)的線性約束2、參數(shù)線性約束檢驗對所考查的具體問題能否施加約束？需進(jìn)一步進(jìn)行相應(yīng)的檢驗。常用的檢驗有：F檢驗、x2檢驗與t檢驗。F檢驗構(gòu)造統(tǒng)計量；檢驗施加約束后模型的解釋能力是否發(fā)生顯著變化。

受約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSR大于無約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSU。這意味著，通常情況下，對模型施加約束條件會降低模型的解釋能力。如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR

與RSSU的差異較小。可用（RSSR

－RSSU）的大小來檢驗約束的真實性。例3.6.1

中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費(fèi)需求實例中，對零階齊次性檢驗：取=5%，查得臨界值F0.05(1,18)=4.41

結(jié)論：不能拒絕中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費(fèi)需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)。

無約束回歸:RSSU=0.017748，kU=3

受約束回歸:RSS