湯燕斌華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院tangyb@數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)2/3/20231數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)☆

數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系☆

課程的主要內(nèi)容數(shù)學(xué)和物理從來(lái)是沒(méi)有分開(kāi)過(guò)的☆

數(shù)學(xué)物理方程的定義用微分方程來(lái)描述給定的物理現(xiàn)象和物理規(guī)律。三種方程、四種求解方法、二個(gè)特殊函數(shù)分離變量法行波法積分變換法格林函數(shù)法波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)拉普拉斯方程貝塞爾函數(shù)勒讓德函數(shù)2/3/20232哈密爾頓算子或梯度算子，讀作nabla

拉普拉斯算子微積分知識(shí)回顧與梯度算子有關(guān)的場(chǎng)論運(yùn)算平面上的拉普拉斯算子常微分方程的求解：常見(jiàn)的一階方程、可降階高階方程、二階線(xiàn)性方程傅里葉級(jí)數(shù)理論：傅里葉級(jí)數(shù)及其系數(shù)、正弦級(jí)數(shù)、余弦級(jí)數(shù)2/3/20233☆拉普拉斯方程：☆熱傳導(dǎo)方程：☆波動(dòng)方程：三類(lèi)偏微分方程

兩種特殊函數(shù)

貝塞爾方程勒讓德方程琴弦的振動(dòng)；桿、膜、液體、氣體等的振動(dòng)；電磁場(chǎng)的振蕩等熱傳導(dǎo)中的溫度分布；流體的擴(kuò)散、粘性液體的流動(dòng)空間的靜電場(chǎng)分布；靜磁場(chǎng)分布；穩(wěn)定溫度場(chǎng)分布的解：貝塞爾函數(shù)的解：勒讓德函數(shù)2/3/20234一、基本方程的建立第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)二、定解條件的推導(dǎo)三、定解問(wèn)題的概念2/3/20235常見(jiàn)數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出確定所要研究的物理量u，比如位移、場(chǎng)強(qiáng)、溫度根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程通過(guò)合理的數(shù)學(xué)近似對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的提法泛定方程（波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方程）定解問(wèn)題：定解條件（初始條件，邊界條件）2/3/20236一、基本方程的建立條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近作微小橫振動(dòng)。不受外力影響。例1、弦的振動(dòng)研究對(duì)象：線(xiàn)上某點(diǎn)在t時(shí)刻沿縱向的位移。2/3/20237弦振動(dòng)的相關(guān)模擬2/3/20238弦振動(dòng)的相關(guān)模擬2/3/20239弦振動(dòng)的相關(guān)模擬2/3/202310弦振動(dòng)的相關(guān)模擬2/3/202311波的傳播的相關(guān)模擬2/3/202312弦振動(dòng)的相關(guān)模擬2/3/202313簡(jiǎn)化假設(shè)：(2)橫向振幅極小，

張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線(xiàn)方向。牛頓運(yùn)動(dòng)定律：橫向：縱向：其中：其中：2/3/202314其中：………一維波動(dòng)方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)--齊次方程忽略重力作用：2/3/202315從麥克斯韋方程出發(fā)：在自由空間：例2、時(shí)變電磁場(chǎng)2/3/202316對(duì)第一方程兩邊取旋度，根據(jù)矢量運(yùn)算：由此得：得：即：同理可得：——電場(chǎng)的三維波動(dòng)方程——磁場(chǎng)的三維波動(dòng)方程2/3/202317例3、熱傳導(dǎo)所要研究的物理量：溫度根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉試驗(yàn)定律在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時(shí)刻t1到t2通過(guò)S流入V的熱量為高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場(chǎng)2/3/202318流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：熱傳導(dǎo)方程熱場(chǎng)如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿(mǎn)足非齊次熱傳導(dǎo)方程2/3/202319例4、靜電場(chǎng)電勢(shì)u確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)：拉普拉斯方程

泊松方程2/3/202320同一類(lèi)物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問(wèn)題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問(wèn)題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。初始條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導(dǎo)其他條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。2/3/202321初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件條件A、

波動(dòng)方程的初始條件1、初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度2/3/202322(2)自由端：x=a

端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、波動(dòng)方程的邊界條件(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：或：(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧的支承?；虻谝活?lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件第三類(lèi)邊界條件2/3/202323B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1)給定溫度在邊界上的值(S為給定區(qū)域v的邊界)(2)絕熱狀態(tài)(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)從物體通過(guò)邊界上單位面積流到周?chē)橘|(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。交換系數(shù)；周?chē)橘|(zhì)的溫度,第一類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件第三類(lèi)邊界條件C、拉普拉斯方程的邊界條件2/3/2023241、定解問(wèn)題三、定解問(wèn)題的概念(1)初始問(wèn)題：只有初始條件，沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題；(2)邊值問(wèn)題：沒(méi)有初始條件，只有邊界條件的定解問(wèn)題；(3)混合問(wèn)題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問(wèn)題。把某種物理現(xiàn)象滿(mǎn)足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問(wèn)題。2、定解問(wèn)題的適定性

解的存在性：定解問(wèn)題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng)的微小變動(dòng)。2/3/202325(4)

按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程；(5)按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程和非齊次方程3、微分方程一般分類(lèi)

(1)按自變量的個(gè)數(shù)，分為二元和多元方程；(2)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪次，分為線(xiàn)性微分方程和非線(xiàn)性微分方程；(3)按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程；2/3/202326線(xiàn)性方程的解具有疊加特性4、疊加原理

幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)判斷下列方程的類(lèi)型思考2/3/2023275、微分方程的解

古典解：如果將某個(gè)函數(shù)u代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，且方程中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則這個(gè)連續(xù)函數(shù)就是該偏微分方程的古典解。通解：解中含有相互獨(dú)立的和偏微分方程階數(shù)相同的任意常數(shù)的解。特解：通過(guò)定解條件確定了解中的任意常數(shù)后得到的解。形式解：未經(jīng)過(guò)嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論驗(yàn)證的解為形式解。6、求解方法分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法2/3/202328四、兩個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi)

兩個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程的一般形式(1.4.1)其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。

若在區(qū)域上某點(diǎn)處滿(mǎn)足則稱(chēng)方程(1.4.1)在點(diǎn)處是