第1章解直角三角形銳角三角函數（一）1.如圖，在4×4的正方形網格中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則圖中∠ABC的余弦值是eq\f(\r(5),5).(第1題)2.已知sinα＝eq\f(12,13)，則cosα＝eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(12,5).3.已知等腰三角形的面積為24，底邊長為4，則底角的正切值為6.4.如圖，若點A的坐標為(1，eq\r(3))，則sin∠1＝(D)(第4題)A.1B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)5.在直角三角形中，若各邊長都擴大到原來的2倍，則銳角A的正弦值和余弦值都(C)A.縮小到原來的eq\f(1,2)B.擴大到原來的2倍C.不變D.不能確定(第6題)6.如圖，在平面直角坐標系中，A是第一象限內一點，直徑為10的⊙A經過點C(0，5)和點O(0，0)，點B在y軸右側，且是⊙A上一點，求∠OBC的余弦值.【解】作直徑CD，則點D必在x軸上.在Rt△COD中，∵CO＝5，CD＝10，∴OD＝eq\r(CD2－CO2)＝5eq\r(,3).∴cos∠OBC＝cos∠CDO＝eq\f(OD,CD)＝eq\f(5\r(,3),10)＝eq\f(\r(3),2).(第7題)7.如圖，直線y＝eq\f(1,2)x－2交x軸于點A，交y軸于點B，且與x軸的夾角為α，求：(1)OA，OB的長.(2)tanα與sinα的值.【解】(1)令y＝0，則x＝4，∴點A(4，0)，∴OA＝4.令x＝0，則y＝－2，∴點B(0，－2)，∴OB＝2.(2)在Rt△AOB中，OB＝2，OA＝4，∴AB＝eq\r(OB2＋OA2)＝2eq\r(,5)，∴tanα＝tan∠OAB＝eq\f(OB,OA)＝eq\f(1,2)，sinα＝sin∠OAB＝eq\f(OB,AB)＝eq\f(2,2\r(,5))＝eq\f(\r(5),5).(第8題)8.如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝BC＝6，D是AC上一點，tan∠DBA＝eq\f(1,5)，求AD的長.【解】過點D作DE⊥AB于點E.∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，∴△ACB為等腰直角三角形，AB＝eq\r(2)AC＝6eq\r(2)，∴∠A＝45°.設AE＝x，則DE＝x，AD＝eq\r(2)x.在Rt△BED中，∵tan∠DBE＝eq\f(DE,BE)，∴BE＝eq\f(DE,tan∠DBE)＝5x，∴x＋5x＝6eq\r(2)，解得x＝eq\r(2).∴AD＝eq\r(2)x＝2.9.如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處.已知折痕AE＝5eq\r(5)cm，且tan∠EFC＝eq\f(3,4)，則矩形ABCD的周長為36cm.(第9題)【解】∵tan∠EFC＝eq\f(3,4)，∴可設CE＝3k，CF＝4k，∴由勾股定理，得DE＝EF＝5k，∴AB＝DC＝8k.∵∠AFB＋∠BAF＝90°，∠AFB＋∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝eq\f(3,4)，∴BF＝6k，BC＝AD＝AF＝10k.在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(125k2)＝5eq\r(5)，解得k＝1.∴矩形ABCD的周長＝2(AB＋BC)＝2(8＋10)＝36(cm).10.在△ABC中，∠C＝90°，△ABC的面積為6，斜邊長為6，則tanA＋tanB的值為3.【解】∵△ABC的面積為6，∴BC·AC＝12.在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝6，∴BC2＋AC2＝62＝36，∴tanA＋tanB＝eq\f(BC,AC)＋eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC2＋AC2,AC·BC)＝eq\f(36,12)＝3.11.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點F，連結DF.有下列結論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝eq\r(2).其中正確的結論有(B)A.4個B.3個C.2個D.1個(第11題)【解】如解圖，過點D作DM∥BE交AC于點N.(第11題解)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠EAC＝∠ACB.∵BE⊥AC于點F，∴∠EFA＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確.∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴eq\f(AE,CB)＝eq\f(AF,CF).∵E是AD邊的中點，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC，∴eq\f(AF,CF)＝eq\f(1,2)，∴CF＝2AF，故②正確.∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝eq\f(1,2)BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∴DN垂直平分FC，∴DF＝DC，故③正確.設AD＝a，AB＝b.易得△BAE∽△ADC，∴eq\f(BA,AD)＝eq\f(AE,DC)，即eq\f(b,a)＝eq\f(\f(a,2),b)，∴2b2＝a2.∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(b,a)，∴tan∠CAD＝eq\f(\r(2),2)，故④錯誤.綜上所述，正確的結論有3個.12.如圖，在Rt△AOB中，兩直角邊OA，OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，將△AOB繞點B逆時針旋轉90°后得到△A′O′B.若反比例函數y＝eq\f(k,x)的圖象恰好經過斜邊A′B的中點C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，求k的值.(第12題)【解】如解圖，過點C作CD⊥BO′于點D，設點C的坐標為(x，y).(第12題解)∵tan∠BAO＝2，∴eq\f(BO,AO)＝2.又∵S△ABO＝eq\f(1,2)AO·BO＝4，∴AO＝2，BO＝4.∴A′O′＝AO＝2，BO′＝BO＝4.∵C為Rt△A′O′B斜邊A′B的中點，CD⊥BO′，∴CD＝eq\f(1,2)A′O′＝1，BD＝eq\f(1,2)BO′＝2，∴y＝BO－CD＝4－1＝3，x＝BD＝2，∴k＝x·y＝6.(第13題)13.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CD⊥AB于點E，連結AC，BC，BD.(1)求證：△ACE∽△CBE.(2)若AB＝8，設OE＝x(0<x<4)，CE2＝y(tǒng)，請求出y關于x的函數表達式.(3)探究：當x為何值時，tanD＝eq\f(\r(3),3)？【解】(1)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即∠ACE＋∠BCE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠AEC＝∠CEB＝90°，∠A＋∠ACE＝90°，∴∠A＝∠BCE，∴△ACE∽△CBE.(2)∵△ACE∽△CBE，∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(CE,BE)，即CE2＝AE·BE＝(AO＋OE)(OB－OE).∴y＝(4＋x)(4－x)＝16－x2.(3)∵tanD＝eq\f(\r(3),3)，即tanA＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(CE,AE)＝eq\f(\r(3),3)，則eq\f(CE2,AE2)＝eq\f(1,3)，即eq\f(16－x2,（4＋x）2)＝eq\f(1,3)，解得x1＝2，x2＝－4(舍去).故當x＝2時，tanD＝eq\f(\r(3),3).14.通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.類似地，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖①，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記做sadA，這時sadA＝eq\f(底邊,腰)＝eq\f(BC,AB).容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據上述角的正對的定義，解答下列問題：(1)sad60°＝1.(2)對于0°<∠A<180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是0<∠sadA<2.(3)如圖②，已知sinA＝eq\f(3,5)，其中∠A為銳角，試求sadA的值.（第14題）(第14題解)【解】(3)設AB＝5a，則BC＝3a，AC＝如解圖，在AB上取AD＝AC＝4a，過點D作DE⊥AC于點E，連結CD則DE＝AD·sinA＝4a·eq\f(3,5)＝eq\f(12,5)a，AE＝AD·cosA＝4a·eq\f(4,5)＝eq\f(16,5)a，CE＝4a－eq\f(16