2011-2012學年八年級數(shù)學（人教版上）同步練習第十一章第二節(jié)三角形全等的判定一.教學內容： 三角形全等的判定1.三角形全等的判定；2.直角三角形全等的判定；3.學習掌握綜合證明的格式、步驟。二.知識要點：1.三角形全等的判定（1）三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。表示方法：如圖所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）。（2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”。表示方法：如圖所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）。（3）兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”。表示方法：如圖所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）。（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”。表示方法：如圖所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）。（5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。表示方法：如圖所示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。注意：①三角形全等的判定方法中有一個必要條件是：有一組對應邊相等。②兩邊及其中一邊的對角對應相等的情況，可以畫圖實驗，如下圖，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，顯然它們不全等。③三個角對應相等的兩個三角形不一定全等，如兩個大小一樣的等邊三角形。2.全等三角形的基本圖形在平面幾何中，有很多問題都可以借助于三角形全等來解決，比如線段的相等、角的相等、平行、垂直關系等。在運用三角形全等這一工具時，主要是找兩個三角形，并找出它們滿足全等的條件來；解題時經常需要通過觀察圖形的運動狀況，把兩個全等三角形中的一個看成是另一個的平行移動、翻折、旋轉等方法得到的，這需要對常見的全等三角形做到心中有數(shù)，如下圖列舉了幾個常見的基本圖形。掌握這些全等形的對應邊和對應角的位置關系，對我們在復雜的幾何問題中迅速、準確地確定全等三角形是至關重要的。三.重點難點：1.重點：能夠快速準確地找出適合題意的三角形全等的判定方法。理解證明的基本過程，掌握綜合法證明的格式。2.難點：分析證明命題的途徑，這一步學習起來比較困難，需要在學習中逐步培養(yǎng)學生的分析能力?！究键c分析】 三角形全等的判定是一個比較重要的知識點，在考題中一般是選擇題和填空題，也有證明題和計算題，甚至是探究題?！镜湫屠}】例1.如圖所示，AB＝CD，AC＝DB。求證：△ABC≌△DCB。 分析：由已知可得AB＝CD，AC＝DB，又因為BC是兩個三角形的公共邊，所以根據SSS可得出△ABC≌△DCB。 證明：在△ABC和△DCB中，∵，∴△ABC≌△DCB（SSS） 評析：證明格式：①點明要證明的兩個三角形；②列舉兩個三角形全等的條件（注意寫在前面的三角形，條件也放在前面），用大括號括起來；③條件按照“SSS”順序排序；④得出結論，并把判斷的依據注在后面。例2.已知：如圖所示，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF。求證：AC∥DF。 分析：欲證AC∥DF，可通過證明∠ACB＝∠F，由平行線的判定定理即可得證。而∠ACB與∠F分別是△ABC和△DEF的內角，所以應先證明△ABC≌△DEF。由BE＝CF易得BC＝EF，再結合已知條件AB＝DE，∠B＝∠DEF即可達到目的。 證明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF。在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）?！唷螦CB＝∠F?！郃C∥DF。 評析：通過證明兩個三角形全等可以提供角相等、線段相等，進而解決其它問題。這里大括號中的條件按照“SAS”順序排列。例3.如圖所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于D，BF⊥CD于F，AB交CD于E，求證：AD＝BF－DF。 分析：要證AD＝BF－DF，觀察圖形可得CF＝CD－DF，只需證明CF＝AD，CD＝BF即可，也就是要證明△CFB≌△ADC。由已知BC＝AC，∠CFB＝∠ADC＝90°，只要再證明有一個銳角對應相等即可，由BF⊥CD，∠ACB＝90°，易證得∠CBF＝∠ACD，問題便得到證明。 證明：∵∠ACB＝90°，BF⊥CD∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠CBF＋∠BCD＝90°∴∠CBF＝∠ACD（同角的余角相等）又∵AD⊥CD，∴∠CFB＝∠ADC＝90°在△CFB和△ADC中，∴△CFB≌△ADC（AAS）∴CF＝AD，BF＝CD（全等三角形的對應邊相等）又∵CF＝CD－DF∴AD＝BF－DF 評析：由條件AC＝BC和垂直關系可得，AC、BC為兩個直角三角形的斜邊，還需要一對角相等即可用AAS證三角形全等；由條件可用余角性質轉換角度證明角相等。例4.如圖所示，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF，求證：AB＝CD。 分析：要證明AB＝CD，由于AB、CD分別是△ABF和△DCE的邊，可嘗試證明△ABF≌△DCE，由已知易證：∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC，下面只需證明有一邊對應相等即可。事實上，由BE＝CF可證得BF＝CE，由ASA即可證明兩三角形全等。 證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C（兩直線平行，內錯角相等）又∵AF∥DE，∴∠AFC＝∠DEB（同上）∴∠AFB＝∠CED（等角的補角相等）又∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（ASA）∴AB＝CD（全等三角形對應邊相等） 評析：由平行條件轉化角，由線段和差關系轉化線段，為證三角形全等做準備。解題思路：由已知條件，探尋三角形全等的條件，證得全等，再利用全等的性質解決相關問題。例5.如圖所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AM上運動。問點P運動到AC上什么位置時，△ABC才能和△PQA全等？ 分析：要使△ABC與△PQA全等，由于∠C＝∠PAQ＝90°，PQ＝AB，則只需AP＝CB或AP＝CA，由HL即可知道它們全等，從而容易確定P點的位置。 解：由題意可知，∠C＝∠PAQ＝90°，又AB＝PQ，要使△ABC≌△PQA，則只需AP＝CB或AP＝CA即可，從而當點P運動至AP＝5cm，即AC中點時，△ABC≌△QPA；或點P與點C重合時，即AP＝CA＝10cm時，△ABC≌△PQA。 評析：要證某兩個三角形全等，但缺少條件，要求把缺少的條件探索出來。解決這類題要從結論出發(fā)，借助相關的幾何知識，探討出使結論成立所需的條件，從而使問題得以解決。本題中涉及到分類討論的思想，要求同學們分析思考問題要全面，把各種情況都考慮到。例6.（2007年四川內江）如圖，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三點在同一直線上，連結CD、AE，并延長AE交CD于F。（1）求證：△ABE≌△CBD。（2）直線AE與CD互相垂直嗎？請證明你的結論。 分析：根據已知條件易得AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°正好是△ABE和△CBD全等的條件。對于AE與CD垂直關系的證明需要推證出∠CFA＝90°。 證明：（1）∵△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°∴△ABE≌△CBD（SSA）（2）AE⊥CD，∵在△ABE和△CEF中，∠EAB＝∠ECF，∠AEB＝∠CEF，且∠ABE＝90°，∴∠ECF＋∠CEF＝∠EAB＋∠AEB∴∠ECF＋∠CEF＝180°－（∠EAB＋∠AEB）即∠AFC＝∠ABE＝90°∴AE⊥CD。 評析：利用已知，結合圖形探索三角形全等的條件，逐步分析解決問題，把握解題思路?！痉椒偨Y】1.現(xiàn)階段三角形全等所需的三個條件常與下列幾種情況有關：①利用中點的定義證明線段相等；②利用垂直的定義證明角相等；③利用平行線的性質證明角相等；④利用三角形的內角和等于180°證明角相等；⑤利用圖形的和、差證明邊或角相等。2.證明一個幾何中的命題有以下步驟：①根據題意，畫出圖形。②根據題設、結論，結合圖形，寫出已知、求證。③經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明的過程。在一般情況下，分析的過程不要求寫出來，有些題目中，已經畫好了圖形，寫好了已知、求證，這時只要寫出“證明”一項就可以了。證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”。這些根據，可以是已知條件，也可以是定義、公理、已經學過的重要結論。3.構造全等三角形要能夠構造兩個全等三角形，利用“全等三角形的對應邊相等”的特征，實地操作，測量出不能到達的兩點之間的距離，并能說出這樣測量的道理?！灸M試題】（答題時間：60分鐘）一.選擇題1.下列條件不能判定兩個三角形全等的是 （）A.有兩邊和夾角對應相等 B.有三邊分別對應相等C.有兩邊和一角對應相等 D.有兩角和一邊對應相等2.下列條件能判定兩個三角形全等的是 （）A.有三個角相等 B.有一條邊和一個角相等C.有一條邊和一個角相等 D.有一條邊和兩個角相等3.如圖所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么圖中共有全等三角形 （）A.1對 B.2對 C.4對 D.8對4.如圖所示，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，還應給出的條件是（）A.∠E＝∠B B.ED＝BC C.AB＝EF D.AF＝CD5.如圖所示，點E在△ABC外部，點D在BC邊上，DE交AC于F，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，則 （）A.△ABC≌△AFE B.△AFE≌△ADCC.△AFE≌△DFC D.△ABC≌△ADE6.我們學過的判定兩個直角三角形全等的條件，有 （）A.5種 B.4種 C.3種 D.2種7.如圖所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么圖中的全等三角形有 （）A.1對 B.2對 C.3對 D.4對8.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，且BC＝6cm，則BD＝__________. （）A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm9.如圖所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，則下列結論成立的是 （）A.BD＝CD B.DE＝DF C.∠B＝∠C D.AB＝AC二.填空題10.如圖所示，AC∥BD，AC＝BD，那么__________，理由是__________.11.已知△ABC≌△A'B'C'，AB＝6cm，BC＝7cm，AC＝9cm，∠A'＝70°，∠B'＝80°，則A'B'＝__________，B'C'＝__________，A'C'＝__________，∠C'＝__________，∠C＝__________.12.如圖所示，已知AB＝AC，在△ABD與△ACD中，要使△ABD≌△ACD，還需要再添加一個條件是____________________.13.如圖所示，已知△ABC≌△DEF，AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝5cm，CF＝2cm，∠A＝70°，∠B＝65°，則∠D＝__________，∠F＝__________，DE＝__________，BE＝__________.14.（2007年福州）如圖，點D、E分別在線段AB、AC上，BE、CD相交于點O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一個條件是__________（只要求寫一個條件）.15.（2007年沈陽）如圖，AC、BD相交于點O，∠A＝∠D，請你再補充一個條件，使得△AOB≌△DOC，你補充的條件是__________.三.解答題16.（2007年浙江溫州）已知：如圖，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：AC＝AD.17.（2007年浙江金華）如圖，A、E、B、D在同一直線上，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AC∥DF.（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）你還可以得到的結論是__________（寫出一個即可，不再添加其他線段，不再標注或使用其它字母）18.（2007年武漢）你一定玩過蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點O上下轉動，立柱OC與地面垂直.當一方著地時，另一方上升到最高點.問：在上下轉動橫板的過程中，兩人上升的最大高度AA'、BB'有何數(shù)量關系？為什么？19.MN、PQ是校園里的兩條互相垂直的小路，小強和小明分別站在距交叉口C等距離的B、E兩處，這時他們分別從B、E兩點按同一速度沿直線行走，如圖所示，經過一段時間后，同時到達A、D兩點，他們的行走路線AB、DE平行嗎？請說明你的理由.20.有一塊不規(guī)則的魚池，下面是兩位同學分別設計的能夠粗略地測量出魚池兩端A、B的距離的方案，請你分析一下兩種方案的理由.方案一：小明想出了這樣一個方法，如圖①所示，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，測得DE的長就是AB的長.你能說明一下這是為什么嗎？方案二：小軍想出了這樣一個方法，如圖②所示，先在平地上取一個可以直接到達魚池兩端A、B的點C，連結AC并延長到點D，使CD＝CA，連結BC并延長到E，使CE＝CB，連結DE，量出DE的長，這個長就是A、B之間的距離.你能說明一下這是為什么嗎？21.我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等.那么在什么情況下，它們會全等?（1）閱讀與證明：對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等.對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等（證明略）.對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求證：△ABC≌△A1B1C1.（請你將下列證明過程補充完整）證明：分別過點B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1.則∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，∵BC＝B1C1，∠C＝∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD＝B1D1.______________________________。（2）歸納與敘述：由（1）可得到一個正確結論，請你寫出這個結論.【試題答案】1.C 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.C 8.C 9.B10.△AOC≌△BOD；AAS或ASA11.6cm7cm9cm30°30°12.BD＝CD或∠BAD＝∠CA