第45講橢圓及其與直線的位置關(guān)系一、知識聚焦1直線與橢圓位置關(guān)系的判定聯(lián)立橢圓方程和直線方程，消去y整理得關(guān)于x的一元二次方程，即Ax2+Bx+C=0(A≠0)，.直線與橢圓的位置關(guān)系見表451.2直線被橢圓截得的弦長公式設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則(k為直線斜率).3解決直線與橢圓位置關(guān)系問題時的方法解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題時常利用數(shù)形結(jié)合法、韋達(dá)定理(根與系數(shù)的關(guān)系)、整體代入、設(shè)而不求等思想方法.二、精講與訓(xùn)練核心例題1(1)求過橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(1，1)且被該點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.(2)求橢圓上的點(diǎn)到直線l:3x2y16=0的最短距離，并求取得最短距離時橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo).(3)已知直線y=kx+4交橢圓于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求該直線方程.(4)在直線xy+9=0上取一點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與橢圓共焦點(diǎn)作橢圓C，問點(diǎn)M在何處時，橢圓C的長軸最短?并求此時的橢圓方程.解題策略第(1)問，求符合條件的直線方程，由于直線過點(diǎn)P(1，1)，則只需要求出另一個條件，通常求直線的斜率，設(shè)所求直線的點(diǎn)斜式方程，則可聯(lián)立方程組，運(yùn)用方程理論(韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等)求解.第(2)問，與橢圓上的動點(diǎn)有關(guān)，故可利用橢圓的參數(shù)方程(實質(zhì)也是三角換元法)，把關(guān)于x，y的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的一元函數(shù).將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題處理，從而化繁為簡，當(dāng)然本題也可以用幾何方法求出與已知直線平行，又與橢圓相切的直線方程，轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系問題.第(3)問，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的二次方程，由，可以聯(lián)想到的二次方程的兩根之和形式，從而把關(guān)于x和y的二次方程轉(zhuǎn)化為的二次方程，這是整體思想的巧妙應(yīng)用.第(4)問，顯然橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所求橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，并且長軸最短，即|MF1|+|MF2|最小，可通過求F1關(guān)于直線xy+9=0的對稱點(diǎn)F'1，連接FlF2，F(xiàn)'1F2與直線xy+9=0的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，當(dāng)然也可以運(yùn)用與已知橢圓共焦點(diǎn)的橢圓系，當(dāng)M為橢圓系與直線xy+9=0的切點(diǎn)時滿足條件，消元后用△=0求得λ的值從而得到所求的橢圓方程，后一解法讀者可試著自行探究.解:(1)設(shè)滿足題設(shè)要求的直線l的方程為.由方程組，得，設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，.由P(1，1)是線段AB的中點(diǎn)，得=2，故=2，解得k=.∴直線l的方程為x+2y3=0.(2)設(shè)橢圓上的任意一點(diǎn)為.則點(diǎn)M到直線l的距離d=∴當(dāng)時，d有最小值.此時橢圓到直線的最短距離為此時橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為.(3)設(shè),由整理得方程兩邊同除以得由韋達(dá)定理知,得.所求直線方程為.（4）已知橢圓焦點(diǎn)分別為,設(shè)所求橢圓方程為關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為如圖所示直線與直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn).直線的方程為,由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為.這時.則,故橢圓方程為.【變式訓(xùn)練(1)】已知橢圓上的動點(diǎn)和橢圓內(nèi)一定點(diǎn)為其右焦點(diǎn),求的最大值和最小值.【變式訓(xùn)練(2)】設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn),弦過,求的面積的最大值.【核心例題2】已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn),與軸相交于例題點(diǎn).(1)若,且,求實數(shù)的值.(2)若,求面積的最大值,及此時橢圓的方程.【解題策略】第(1)問,直線的凃率確定,直線與橢圓交于兩點(diǎn),則,的長可用弦長公式表示,運(yùn)用韋達(dá)定理使轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程,解方程即可求得的值.第(2)問,由求出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間關(guān)系并用參數(shù)表示,而,進(jìn)一步表示為的函數(shù),運(yùn)用基本不等式求的最大值,由此時的值確定參數(shù)的值,從而得到橢圓方程.【解】(1)設(shè)由得，判別式解得（2）由得，由條件知點(diǎn)從而代入得即顯然.當(dāng)且僅當(dāng)取等號.故的面積最大值為，此時橢圓的方程為變式訓(xùn)練已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左右焦點(diǎn)分別為且,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程.(2)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且的面積為,求以為圓心且與直線相切的圓的方程.【核心例題3】已知?圓分別為其左、右焦點(diǎn),直線過點(diǎn),交橢圓于,兩點(diǎn).(1)若直線垂直于軸,求.（2）當(dāng)且點(diǎn)在軸上方時,求兩點(diǎn)的坐標(biāo).（3）若直線交軸于點(diǎn),直線交軸于點(diǎn),則是否存在直線,使得若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.【解題策略】這是一道探究橢圓與直線位置關(guān)系的題目,涉及求弦長、點(diǎn)的坐標(biāo)以及探究符合條件的直線是否存在等一系列問題,通常解析幾何題的計算量一般都比較大,但如果方法得當(dāng),能較大減少計算量,比如第問,若設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù),有,展開后與橢圓方程聅立解之,運(yùn)算量肯定大;若由,利用勾股定理求解,會相對簡潔一些;若能運(yùn)用橢圓的定義,則運(yùn)算量更小.第問,已知直線：在軸上的截距,相比將方程設(shè)為,方程設(shè)為可避免分類討論,運(yùn)算量也小,如果能挖掘題中的幾何特征,則解題過程更為簡潔.【解】（1）由題意得,即.直線的方程為把代入求得的坐標(biāo)為（2）【解法一】設(shè)則解得.直線的方程為由得故兩點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解法二】設(shè)則代入化簡得以下同【解法一】.【解法三】設(shè)則在中，由橢圓定義可得解得為橢圓上頂點(diǎn),即,以下同【解法一】（3）如圖所示,設(shè),顯然直線的方程不為可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組得..由直線的方程為,得,同理得.【解法一】由得又由韋達(dá)定理得解得故存在直線使得【解法二】由得即即即解得故存在直線使得.【變式訓(xùn)練】（2020年高考數(shù)學(xué)江蘇春第18題)如圖所示,在平