空間插值

SpatialInterpolation空間插值的概念空間插值的類型空間插值的方法空間插值概念空間插值——空間插值常用于將離散點的測量數(shù)據(jù)轉換為連續(xù)的數(shù)據(jù)曲面，以便與其它空間現(xiàn)象的分布模式進行比較，它包括了空間內(nèi)插和外推兩種算法。空間內(nèi)插算法：通過已知點的數(shù)據(jù)推求同一區(qū)域未知點數(shù)據(jù)?？臻g外推算法：通過已知區(qū)域的數(shù)據(jù)，推求其它區(qū)域數(shù)據(jù)。

例如：在一個沒有數(shù)據(jù)記錄的地點，其降水量可通過對附近氣象站已知降水量記錄的插值來估算出來。進行空間插值要有兩個基本條件：已知點和插值方法控制點是已知數(shù)值的點，也稱為已知點、樣本點或觀測點?？刂泣c提供了為空間插值建立插值方法的必要數(shù)據(jù)。空間插值的一個基本假設是估算點的數(shù)值受到鄰近控制點的影響比較遠控制點的影響更大。空間插值方法的分類整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法；確定性插值和地統(tǒng)計插值；精確插值和近似插值。1、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法整體插值整體插值：用研究區(qū)所有采樣點數(shù)據(jù)進行全區(qū)特征擬合。整個區(qū)域的數(shù)據(jù)都會影響單個插值點，單個數(shù)據(jù)點變量值的增加、減少或者刪除，都對整個區(qū)域有影響。典型例子是：全局趨勢面分析

某些區(qū)域化地質變量，如地層面的深度、地層厚度、地層水礦化度等，均可認為其分布在三維空間的某個曲面G上。若已知G，則可根據(jù)它來研究這些地質變量在區(qū)域上的分布規(guī)律和局部特征.

實際的工作中無法得到準確的G

，但卻可以根據(jù)已知的觀測數(shù)據(jù)：Mi(xi

,yi

,zi)(i=1,2,…,n)，構造(擬合)一個近似于G

的數(shù)學曲面L。一般把這個擬合的曲面L稱為趨勢面。

趨勢面分析就是在空間中已知點Mi(xi,yi,zi)的控制下，擬合一個連續(xù)的數(shù)學曲面，并以此研究地質變量在區(qū)域上和局部范圍內(nèi)變化規(guī)律的一種統(tǒng)計方法。

擬合的數(shù)學曲面叫做趨勢面。多項式和付立葉級數(shù)是趨勢面分析常用的數(shù)學模型。一、多項式曲面的一般形式1、當數(shù)據(jù)為一維時1）線性回歸:2）非線性：二次或高次多項式：

式中z

—變量；

x,y—觀測點的地理坐標。若多項式中自變量的最高次數(shù)為k，則稱這種多項式為k次多項式。多項式曲面的形態(tài)將隨著k的增大而趨向復雜。2、數(shù)據(jù)是二維的二元二次或高次多項式xxxyyyzzzk=1k=2k=3圖1-3次多項式趨勢面示意圖最小二乘法對于變量間的相關關系，我們可以根據(jù)大量的統(tǒng)計資料，找出它們在數(shù)量變化方面的規(guī)律，這種統(tǒng)計規(guī)律所揭示的關系就是回歸關系,所表示的數(shù)學方程就是回歸方程。圖中的直線可表示為根據(jù)上式，在確定α、β的情況下，給定一個x值，我們就能夠得到一個確定的y值，然而根據(jù)上式得到的y值與實際的y值存在一個誤差如果我們以ｕ表示誤差，則方程變?yōu)椋害?、β為回歸系數(shù)ｕ為隨機誤差項使直線與各散點的距離的平方和最小

RSS==根據(jù)最小化的一階條件，將式分別對x,y求偏導，并令其為零，即可求得α,β一階線性平面可模擬具有單一坡度的斜坡地形表面；二次曲面方程可表達山頭、洼地區(qū)域；三次曲面則能描述較為復雜的地形曲面。2調(diào)和趨勢面分析

調(diào)和趨勢面分析的數(shù)學模型是正弦和余弦函數(shù)的組合，它具有波動的特征。地層界面的波狀起伏、沉積旋回、地球磁場的變化等都表現(xiàn)出不嚴格的周期性重復。因此,調(diào)和趨勢面有時更有利于把具有波狀特征的地質變量的趨勢部分和異常分開,進而研究地質變量的波動特征。多項式與調(diào)和趨勢面的比較3次多項式6次多項式8次多項式1階調(diào)和2階調(diào)和3階調(diào)和由于以下缺點，在空間內(nèi)插中整體內(nèi)插并不常用：采樣點的增減或移動都需要對多項式的系數(shù)作全面調(diào)整，從而采樣點之間會出現(xiàn)難以控制的振蕩現(xiàn)象，致使函數(shù)極不穩(wěn)定；解算速度慢且對計算機容量要求較高。不能提供內(nèi)插區(qū)域的局部地形特征；優(yōu)點：整個區(qū)域上函數(shù)的唯一性、能得到全局光滑連續(xù)的空間曲面、分反映宏觀地形特征等。在空間內(nèi)插中，一般是與局部內(nèi)插方法配合使用，例如在使用局部內(nèi)插方法前，利用整體內(nèi)插去掉不符合總體趨勢的宏觀地物特征。整體內(nèi)插函數(shù)常常用來揭示整個區(qū)域內(nèi)的地形宏觀起伏態(tài)勢。全局多項式插值法適用于在數(shù)據(jù)集中創(chuàng)建平滑表面及標識長期趨勢。然而，在地球科學中，除了長期趨勢之外，感興趣的變量通常還具有短程變化。當數(shù)據(jù)集顯示出短程變化時，局部多項式插值法地圖可捕獲這種變化。將區(qū)域按一定的方法進行分塊，對每一塊根據(jù)地形曲面特征單獨進行曲面擬合和高程內(nèi)插，每一塊都可用不同的曲面進行表達，稱為空間分塊內(nèi)插。1、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法局部內(nèi)插法局部內(nèi)插法局部內(nèi)插法只使用鄰近的數(shù)據(jù)點來估計未知點的值，步驟如下：定義一個鄰域或搜索范圍；搜索落在此鄰域范圍的數(shù)據(jù)點；選擇能表達這有限個點空間變化的數(shù)學函數(shù)；為未知的數(shù)據(jù)點賦值。局部內(nèi)插方法：線性內(nèi)插,移動擬合法，反距離權重內(nèi)插Kriging插值單個數(shù)據(jù)點的改變只影響其周圍有限的數(shù)據(jù)點。1、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法1、線性內(nèi)插將內(nèi)插點周圍的3個數(shù)據(jù)點的數(shù)據(jù)值帶入多項式，即可解算出系數(shù)a0、a1、a2。2、雙線性多項式內(nèi)插將內(nèi)插點周圍的4個數(shù)據(jù)點的數(shù)據(jù)值帶入多項式，即可解算出系數(shù)a0、a1、a2、a3。3、移動擬合法逐點內(nèi)插：是以內(nèi)插點為中心，確定一個鄰域范圍，用落在鄰域范圍內(nèi)的采樣點計算內(nèi)插點的值。逐點內(nèi)插本質上是局部內(nèi)插，但與局部分塊內(nèi)插有所不同：局部內(nèi)插中的分塊范圍一經(jīng)確定，在整個內(nèi)插過程中其大小、形狀和位置是不變的，凡是落在該塊中的內(nèi)插點，都用該塊中的內(nèi)插函數(shù)進行計算。逐點內(nèi)插法的鄰域范圍大小、形狀、位置乃至采樣點個數(shù)隨內(nèi)插點的位置而變動，一套數(shù)據(jù)只用來進行一個內(nèi)插點的計算。4、反距離權重插值IDW權重：距離的n次冪倒數(shù)，每個樣本點對預測點的貢獻不一樣，權重大小隨距離大小而變化。權重系數(shù)wj的計算是關鍵問題，不同類型距離反比法的差別就是權重系數(shù)的計算公式因而最后的插值結果也有細微的差別。邊界內(nèi)插法使用邊界內(nèi)插法時，首先要假定任何重要的變化都發(fā)生在區(qū)域的邊界上，邊界內(nèi)的變化則是均勻的、同質的。Thiessen多邊形法荷蘭氣候學家Thiessen提出了一種根據(jù)離散分布的氣象站的降雨量來計算平均降雨量的方法，即將所有相鄰氣象站連成三角形，作這些三角形各邊的垂直平分線，于是每個氣象站周圍的若干垂直平分線便圍成一個多邊形。用這個多邊形內(nèi)所包含的一個唯一氣象站的降雨強度來表示這個多邊形區(qū)域內(nèi)的降雨強度，并稱這個多邊形為泰森多邊形。公式2、確定性方法和地統(tǒng)計方法確定性方法確定性插值法是使用數(shù)學函數(shù)進行插值，以研究區(qū)域內(nèi)部的相似性（如反距離加權插值法），或者以平滑度為基礎（如徑向基函數(shù)插值法）由已知樣點來創(chuàng)建預測表面的插值方法。全局多項式插值、反距離權插值、局部多項式插值

地統(tǒng)計學插值基于自相關性(測量點的統(tǒng)計關系)，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征產(chǎn)生曲面；克里格方法依賴于數(shù)學模型和統(tǒng)計模型，正是由于引入了包括概率模型在內(nèi)的統(tǒng)計模型，使克里格方法與確定性插值方法區(qū)分開來。在克里格方法中預測的結果將與概率聯(lián)系在一起。由于建立在統(tǒng)計學的基礎上，因此不僅可以產(chǎn)生預測曲面，而且可以產(chǎn)生誤差和不確定性曲面，用來評估預測結果的好壞多種kriging方法克里金插值由南非采礦工程師D.G.克里格（D.G.Krige）于1951年首次提出，故命名為“克里金”法，后經(jīng)法國著名地理數(shù)學學家G.Matheron發(fā)展深化。空間自相關(spatialautocorrelation)是指一些變量在同一個分布區(qū)內(nèi)的觀測數(shù)據(jù)之間潛在的相互依賴性。地理數(shù)據(jù)由于受空間相互作用和空間擴散的影響，彼此之間可能不再相互獨立，而是相關的。例如，視空間上互相分離的許多市場為一個集合，如市場間的距離近到可以進行商品交換與流動，則商品的價格與供應在空間上可能是相關的，而不再相互獨立。實際上，市場間距離越近，商品價格就越接近、越相關。首先考慮的是空間屬性在空間位置上的變異分布．確定對一個待插點值有影響的距離范圍，然后用此范圍內(nèi)的采樣點來估計待插點的屬性值。該方法在數(shù)學上可對所研究的對象提供一種最佳線性無偏估計。它是考慮了信息樣品的形狀、大小及與待估計塊段相互間的空間位置等幾何特征以及品位的空間結構之后，為達到線性、無偏和最小估計方差的估計，而對每一個樣品賦與一定的系數(shù)，最后進行加權平均來估計塊段品位的方法。Kriging插值的方法式中：z0為待插入點的值；Zx為已知點的值Wx為每個點的權重值計算Wi，通過變異函數(shù)來確定上式中的加權系數(shù)來計算。3、精確插值和近似插值精確插值：產(chǎn)生通過所有觀測點的曲面。在精確插值中，插值點落在觀測點上，內(nèi)插值等于估計值。近似插值：插值產(chǎn)生的曲面不通過所有觀測點。當數(shù)據(jù)存在不確定性時，應該使用近似插值，由于估計值替代了已知變量值，近似插值可以平滑采樣誤差。插值驗證（1）交叉驗證交叉驗證法（cross－validation），首先假定每一測點的要素值未知，而采用周圍樣點的值來估算，然后計算所有樣點實際觀測值與內(nèi)插值的誤差，以此來評判估值方法的優(yōu)劣。各種插值方法得到的插值結果與樣本點數(shù)據(jù)比較。對每種插值方法重復下面的步驟，實現(xiàn)對不同插值方法的比較：從數(shù)據(jù)集中除去一個已知點的測量值；用剩余的點估計除去點的值；比較原始值和估計值，計算出估計值的預測誤差。針對每個已知點，進行上述步驟，然后評價不同插值方法的精確度。常用的評價指標是均方根（RMS）：計算每個點的RMS計算某種插值方法的平均RMS?????123選擇某種插值方法45（2）“實際