３配套練習1.如圖，在以 A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中，面 ABEF 為正方形，AF2FD,AFD90,且二面角DAFE與二面角CBEF都是60（I）證明：平面ABEF平面EFDC;；（II）求二面角EBCA的余弦值．2.如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB5,AC6，點E,F分別在AD,CD上，AECF5，EF交BD于點H．將DEF沿EF折到D'EF位置，4OD10．（Ⅰ）證明： DH 平面ABCD；（Ⅱ）求二面角 B DA C的正弦值．3.在如圖所示的圓臺中， AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓 O'的直徑， FB是圓臺的一條母線.已知G,H分別為EC,FB的中點，求證：GH//平面ABC;(2)已知EF=FB 1AC23，ABBC,，求二面角FBCA的余弦值.2配套練習答案1.【解析】⑴ ∵ABEF為正方形AFEFAFD90AFDFDFEF=F∴AF 面EFDC AF 面ABEF∴平面ABEF 平面EFDC⑵由⑴知 DFE CEF 60AB∥EFAB 平面EFDCEF 平面EFDCAB∥平面ABCDAB 平面ABCD∵面ABCD 面EFDC CDAB∥CD,∴CD∥EF∴四邊形EFDC為等腰梯形以E為原點，如圖建立坐標系，設FDaE0，0，0B0，2a，0Ca，，3A2a，a2，022EB0，2a，0，BCa，2a，3a，AB2a，0，022設面BEC法向量為m x，y，z.2ay10mEB0，即ax13mBC02ay1az1022x13，y10，z11m3，0，1設面ABC法向量為nx2，y2，z2nBC=0ax22ay23az20.即22nAB02ax20x20，y23，z24n0，3，4設二面角EBCA的大小為.cosmn4219mn3131619∴二面角EBCA的余弦值為219192.【解析】⑴證明：∵ AE CF 5，∴AECF，4 AD CDEF∥AC．∵四邊形 ABCD為菱形，∴ AC BD，∴EF BD，∴EF DH，∴EF DH．AC6，∴AO3；又AB 5，AO OB，∴OB 4，OHAEOD1，AO∴DHDH3，222∴ODOHD'H，D'HOH．又∵OHIEF H，D'H面ABCD．⑵建立如圖坐標系 H xyz．B5，0，0，C1，3，0，D'0，0，3，A1，3，0，uuuruuuruuur0，6，0，AB，，，AD'1，3，3，AC430ur設面ABD'法向量n1x，y，z，n1AB04x3y0x3由，取y4，得n1AD0x3y3z0z5ur．∴n13，，45同理可得面AD'C的法向量uurn2，，，301uruur∴cosn1n29575，uruurn1n2521025∴sin295．25【解】(Ⅰ)連結FC，取FC的中點M，連結GM,HM，因為GM//EF，EF在上底面內， GM不在上底面內，所以GM//上底面，所以 GM//平面ABC；又因為MH//BC，BC 平面ABC，MH 平面ABC，所以MH//平面ABC；所以平面GHM//平面ABC，由GH

平面

GHM

，所以

GH//

平面

ABC

．(Ⅱ)

連結

OB

，

AB

BC

OA

OB以為

O原點，分別以

OA,OB,OO

為x,y,z軸，建立空間直角坐標系．EFFB1AC23,ABBC，2OOBF2(BOFO)23，于是有A(23,0,0)，C(-23,0,0)，B(0,23,0)，F(xiàn)(0,3,3)，可得平面FBC中的向量BF(0,-3,3)，CB(23,23,0),于是得平面FBC的一