衛(wèi)星定位理論與方法第3次課衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)測(cè)量與導(dǎo)航工程系導(dǎo)航與定位教研室陳明劍1本次課主要內(nèi)容重點(diǎn)：二體問(wèn)題微分方程及其解難點(diǎn)：二體問(wèn)題微分方程推導(dǎo)2基礎(chǔ)知識(shí)Kepler第一定律－橢圓率每個(gè)行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。Kepler第二定律－面積率由太陽(yáng)到行星的矢徑在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過(guò)相等的面積Kepler第三定律－周期律行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期T的平方與橢圓軌道的長(zhǎng)半徑a的立方成正比3牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律任一物體將保持其靜止或是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，除非有作用在物體上的力迫使其改變這種狀態(tài)。牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律動(dòng)量變化速率與作用力成正比，且與作用力的方向相同牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律對(duì)每一個(gè)作用，總存在一個(gè)大小相等的反作用456一、研究二體問(wèn)題的目的意義

(ThePurposeofStudyingTwo-BodyProblem)

78二體問(wèn)題在天文學(xué)中，根據(jù)牛頓萬(wàn)有引力定律研究空間兩個(gè)天體（看成質(zhì)點(diǎn)）在相互引力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律問(wèn)題。

9如何確定衛(wèi)星位置（如何定軌）(HowtoGettheSatellitePosition)

分析衛(wèi)星的受力情況根據(jù)受力情況，列出運(yùn)動(dòng)的微分方程10解方程數(shù)值法：利用計(jì)算機(jī)，對(duì)微分方程進(jìn)行數(shù)值積分，直接解出某一時(shí)刻衛(wèi)星的位置和速度。優(yōu)點(diǎn)：便于實(shí)現(xiàn)，精度高，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于精密定軌；缺點(diǎn)：不能給出解析解，不便于分析衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解析法：以衛(wèi)星的受力解析為基礎(chǔ)，依據(jù)牛頓第二定律（或物體的微分運(yùn)動(dòng)方程），推導(dǎo)出與衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)相關(guān)的參數(shù)，這是在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前唯一的方法。優(yōu)點(diǎn)：便于分析衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；缺點(diǎn)：分工推導(dǎo)繁瑣，難以得到完整嚴(yán)密的運(yùn)動(dòng)方程的解，精度不高。111、衛(wèi)星的受力情況地球的引力日月引力

潮汐力

大氣阻力光壓力12地球的引力分為兩部分均質(zhì)球體引力非均勻球形部分引力13衛(wèi)星圍繞著地球運(yùn)行，作二體問(wèn)題研究，必須滿(mǎn)足以下條件：必須在慣性系下考慮問(wèn)題。衛(wèi)星作為質(zhì)點(diǎn)。衛(wèi)星的體積小，與其到地球的距離相比，可忽略不計(jì)，即衛(wèi)星可作為質(zhì)點(diǎn)計(jì)。地球作為質(zhì)點(diǎn)。地球可分成均質(zhì)地球和非均質(zhì)地球兩部分。均質(zhì)地球?qū)ν獠奎c(diǎn)的引力等于球心的質(zhì)點(diǎn)的引力。因此，如果把非均質(zhì)地球的引力作為攝動(dòng)力的話(huà)，均質(zhì)地球可作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。142、目的意義均質(zhì)球體引力決定著衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的主要規(guī)律和特征，它是衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的近似描述；

二體問(wèn)題是惟一能得到嚴(yán)密解的問(wèn)題，而多體問(wèn)題還不能得到嚴(yán)密解；

二體問(wèn)題是精確研究衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。

15二、微分方程的解（面積積分）1617AX+BY+CZ=0

181920

h為單位時(shí)間矢徑所掃過(guò)面積的2倍212223二、微分方程的解面積積分的物理意義更明顯

三個(gè)積分常量確定了衛(wèi)星運(yùn)行軌道是在一個(gè)平面上？這個(gè)軌道的形狀是什么，又有什么特性。242.軌道積分（軌道橢圓參數(shù)）2526

高數(shù)矢量知識(shí)：27h為常量282930當(dāng)，此時(shí)r對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱(chēng)作近地點(diǎn)。為升交點(diǎn)至近地點(diǎn)之間的夾角，稱(chēng)作近升角距。31通過(guò)面積積分和軌道積分，共獲取了5個(gè)描述軌道狀態(tài)的參數(shù)確定了軌道平面在地心坐標(biāo)系中的位置確定了軌道的形狀確定了軌道中短半軸在坐標(biāo)系中的指向323.衛(wèi)星的平均角速度衛(wèi)星在各個(gè)位置上的速度是不同的。在近地點(diǎn)速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)速度最小。33給定的橢圓的長(zhǎng)半軸,平均角速度是常量，不隨時(shí)間變化

344.幾種近地點(diǎn)角的關(guān)系3536375.開(kāi)普勒積分38求導(dǎo)3940它給出了偏近地點(diǎn)E和時(shí)間t之間的關(guān)系，而偏近地點(diǎn)E和衛(wèi)星的徑向距離r又有關(guān)系。開(kāi)普勒方程也間接地給出了r和t之間的關(guān)系M以平均角速度n隨時(shí)間t作線(xiàn)性變化，故稱(chēng)之為平近地角416.開(kāi)普勒方程的解迭代法微分改正法42迭代法E和M都以弧度為單位43微分改正法當(dāng)偏心率e較大時(shí)，迭代法的收斂速度就會(huì)很慢，此時(shí)可考慮采用微分改正法，對(duì)開(kāi)普勒方程取微分，可得：44四、能量積分和活力積分

1.速度關(guān)系45積分46

取衛(wèi)星過(guò)近地點(diǎn)的位置，則有：4748五、軌道根數(shù)的物理意義

，——軌道平面傾角——升角點(diǎn)赤經(jīng)——軌道橢圓長(zhǎng)半軸——軌道橢圓偏心率——近升距，即升交點(diǎn)至近地點(diǎn)的角距——衛(wèi)星過(guò)近地點(diǎn)時(shí)刻

——衛(wèi)星過(guò)近地點(diǎn)的角度49對(duì)于近圓軌道：50近點(diǎn)角與時(shí)間的關(guān)系

51衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式軌道方程速度公式幾何關(guān)系52思考題：根據(jù)上課內(nèi)容推導(dǎo)出六個(gè)軌道參數(shù)。推導(dǎo)活力公式。3.推導(dǎo)真近點(diǎn)角和偏近點(diǎn)角關(guān)系53第二節(jié)二體問(wèn)題的衛(wèi)星星歷計(jì)算二體問(wèn)題的星歷計(jì)算：已知衛(wèi)星的軌道根數(shù)，按二體問(wèn)題公式計(jì)算任意時(shí)刻衛(wèi)星的位置。

54一、衛(wèi)星的瞬時(shí)位置

在軌道直角坐標(biāo)系中衛(wèi)星的位置55天球坐標(biāo)系中的位置56衛(wèi)星在地球坐標(biāo)系中的位置在精密定軌中，所求定的瞬時(shí)軌道根數(shù)目前均采用J2000.0慣性坐標(biāo)系。衛(wèi)星位置向量需先考慮歲差章動(dòng)的影響先轉(zhuǎn)換到瞬時(shí)真天球坐標(biāo)系中57但在實(shí)際應(yīng)用中，由GPS導(dǎo)航電文中一組軌道根數(shù)，按上面公式求得的結(jié)果已相應(yīng)于瞬時(shí)天球系中的位置向量，因此，為轉(zhuǎn)換到瞬時(shí)地球坐標(biāo)系，只須繞Z軸旋轉(zhuǎn)該時(shí)刻的GAST(t)：58協(xié)議地球坐標(biāo)系：59二、衛(wèi)星的運(yùn)行速度軌道直角坐標(biāo)系中60天球坐標(biāo)系中61地球坐標(biāo)系中=62二、軌道計(jì)算由求取軌道根數(shù)1．計(jì)算632．計(jì)算由活力公式：64由方程，得：

65進(jìn)一步，有：66計(jì)算67由求取軌道根數(shù)計(jì)算68用面積比法求半通徑P（扇形面積與三角形面積之比）69計(jì)算70計(jì)算7172計(jì)算題：已知衛(wèi)星軌道根數(shù)如下，計(jì)算衛(wèi)星在ti＝9：00時(shí)的位置a=9600000000kme=0.01=100.0000000°=50.0000000°i=30.0000000°t0=8:00:00GM=3.986005x1014m3/s273第三節(jié)衛(wèi)星的受攝運(yùn)動(dòng)一、受攝運(yùn)動(dòng)及其微分方程實(shí)際上，衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)中所受到的力要復(fù)雜的多：除了二體問(wèn)題所考慮的正球引力外，還受到諸如地球引力的非質(zhì)心引力部分、大氣阻力、日月引力、光幅射壓力和非慣性坐標(biāo)系的慣性力等。7475二、受攝運(yùn)動(dòng)的微分方程1.拉格朗日行星運(yùn)動(dòng)方程

76

參數(shù)變易法解得到以二體問(wèn)題的橢圓軌道根數(shù)為基本變量的受攝運(yùn)動(dòng)方程：

772.UNW型（牛頓受攝運(yùn)動(dòng)方程）沿衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向的加速度U，沿主法線(xiàn)方向的加速度N和沿與前二方向成右手系的方向的加速度W。主要用于計(jì)算大氣阻力的攝動(dòng)和光壓攝動(dòng)。78三、攝動(dòng)力表達(dá)式大地重力學(xué)知道，用球函數(shù)表示地球引力為：79四、實(shí)際解決方案多普勒星歷預(yù)報(bào)星歷。擬合前36個(gè)小時(shí)平均橢圓參數(shù)，外推出16個(gè)小時(shí)，每2分鐘加入攝動(dòng)改正。星歷分成兩部分：固定參數(shù)：經(jīng)過(guò)平滑的橢圓軌道?？勺儏?shù)：每?jī)煞址N播發(fā)一次，對(duì)平均軌道改正80固定參數(shù)：可變參數(shù)：偏近角改正長(zhǎng)半軸改正垂直軌道面攝動(dòng)分量812.GPS星歷采用的方法很多，有時(shí)間的多項(xiàng)式，調(diào)和展開(kāi)式，開(kāi)普勒根數(shù)加上攝動(dòng)改正。GPS采用最后一種。821小時(shí)更新率，參考時(shí)刻居中，這樣精度高，參數(shù)少?！巧嗟挠嘞?、正弦調(diào)合改正項(xiàng)的振幅——矢徑的余弦、正弦調(diào)合改正項(xiàng)的振幅

——傾角的余弦、正弦調(diào)合改正項(xiàng)的振幅83voidsatpos(double*eph,doubleTtr,double*Trel,double*X){ /*IN: ephemeris eph *//*IN: satelliteGPStime Ttr */ /*OUT: relativisticcorrectionterm Trel *//*OUT: satelliteposition X */double M0,d