滬教版（2020）高中數(shù)學(xué)第6講異面直線間的距離第十章空間直線與平面*10.5異面直線間的距離ABCA1思考：任意兩條異面直線都有公垂線嗎？有多少條公垂線？已知異面直線AA1和BC，直線與異面直線AA1，BC都垂直相交。和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線夾在異面直線間的部分，叫做這兩條異面直線的公垂線段。公垂線段定理一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線。存在性：abPa’αQMβcBA直線AB就是異面直線a,b的公垂線唯一性：假如還有直線A’B’也是a,b的公垂線，則

A’B’⊥a，A’B’⊥b，a’//a，A’B’⊥a’所以A’B’⊥平面α，又AB⊥平面αAB//A’B’則a,b共面矛盾！A’B’兩個(gè)定理定理二：兩條異面直線的公垂線段長(zhǎng)是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最短的一條。abABCD練習(xí)：證明定理二兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離aa’bA’AdEFlmnθ異面直線間的距離公式求異面直線的距離的常用方法：（1）找出（或作出）公垂線，計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。（2）轉(zhuǎn)化為求線面間的距離。abαa//平面α（3）轉(zhuǎn)化為求平行平面間的距離。abαβa//平面β,b//平面α（2），（3）可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離。（4）用模型公式（5）向量方法：先求兩異面直線的公共法向量，再求兩異面直線上兩點(diǎn)的連結(jié)線段在公共法向量上的射影長(zhǎng)abEFn例1：如圖，已知空間四邊形OABC各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都是1，D,E分別是OA,BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE。（1）求證：DE是OA和BC的公垂線。（2）求OA和BC間的距離。OABCDE例2：正方體ABCD——A1B1C1D1中，P為AB中點(diǎn)，Q為BC中點(diǎn)，AA1=a,O為正方形ABCD的中心，求PQ與C1O間的距離。ABCDA1B1C1D1OPQ兩條異面直線上任意兩點(diǎn)的距離已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A’E=m,AF=n,求EF。aA’AFmnEdαbabA’AFmnEαβθcd已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnEαβθcGdFG=已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnEαβθcGdFG=已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnEαβθcGdEF=已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnαdE已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnαdEθGFG=?β已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnαdEθGFG=β已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnαdEθGEF=β已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A’E=m,AF=n,求EF。EF=說(shuō)明：1、當(dāng)線段A’E、AF在θ角方向時(shí)，取“－”號(hào)。2、當(dāng)線段A’E、AF在θ角異向時(shí)，取“+”號(hào)。3、由d=AA’=EG≦EF可知,兩異面直線間的距離是兩異面直線上任意兩點(diǎn)間的距離中最小的。已知二面角α-l-β的大小是1200，A,C