第3節(jié)二項式定理最新考綱1.能用計數(shù)原理證明二項式定理；2.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.知

識

梳

理1.二項式定理r＋12.二項式系數(shù)的性質(zhì)遞增遞減3.各二項式系數(shù)和2n2n－1[微點提醒]基

礎(chǔ)

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.(

)(3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān).(

)(4)(a＋b)n某項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與該項的二項式系數(shù)不同.(

)答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√2.(選修2－3P31T4改編)(x－y)n的二項展開式中，第m項的系數(shù)是(

)答案

D答案

BA.10

B.20

C.40

D.80答案

C5.(2019·武漢調(diào)研)已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N＋)是一個遞增數(shù)列，則k的最大值是(

) A.5 B.6

C.7 D.8答案B答案

7考點一通項公式及其應(yīng)用

多維探究角度1求二項展開式中的特定項規(guī)律方法求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)r＋1，代回通項公式即可.角度2求二項展開式中特定項的系數(shù)答案(1)C

(2)B

(3)C規(guī)律方法

1.求幾個多項式和的特定項：先分別求出每一個多項式中的特定項，再合并，通常要用到方程或不等式的知識求解.2.求幾個多項式積的特定項：可先分別化簡或展開為多項式和的形式，再分類考慮特定項產(chǎn)生的每一種情形，求出相應(yīng)的特定項，最后進(jìn)行合并即可.3.三項展開式特定項：(1)通常將三項式轉(zhuǎn)化為二項式積的形式，然后利用多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題的處理方法求解；(2)將其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式展開，然后再分類考慮特定項產(chǎn)生的所有可能情形.【訓(xùn)練1】(1)(2017·全國Ⅲ卷改編)(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________.答案(1)40

(2)2考點二二項式系數(shù)與各項的系數(shù)問題【例2】(1)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝________. (2)(2018·汕頭質(zhì)檢)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m的值為________.解析(1)設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展開式中x的奇數(shù)次冪的系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.(2)令x＝0，則(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，則m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.答案(1)3

(2)1或－3A.5 B.40 C.20

D.10(2)(2019·湘潭三模)若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，則a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值為(

)A.29

B.29－1 C.39

D.39－1(2)(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，∴a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.答案(1)B

(2)D考點三二項式系數(shù)的性質(zhì)

多維探究角度1二項式系數(shù)的最值問題答案D角度2項的系數(shù)的最值問題設(shè)第k＋1項的系數(shù)的絕對值最大，∵k∈Z，∴k＝3.答案－8064－15360x4【訓(xùn)練3】

已知m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝(

) A.5 B.6 C.7 D.8答案B[思維升華]1.二項式定理及通項的應(yīng)用(1)對于二項式定理，不僅要掌握其正向運用，而且應(yīng)