第三章

§3.2立體幾何中的向量方法第2課時用空間向量解決立體幾何中的垂直問題問題導(dǎo)學(xué)知識點一向量法判斷線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?

?

.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a·b＝0知識點二向量法判斷線面垂直設(shè)直線l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥μ?

.a＝kμ(k∈R)

若平面α的法向量為μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?μ⊥v

?μ·v＝0?

.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0知識點三向量法判斷面面垂直[思考辨析判斷正誤](1)平面α的法向量是唯一的，即一個平面不可能存在兩個不同的法向量.(

)(2)兩直線的方向向量垂直，則兩條直線垂直.(

)(3)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時，直線與平面垂直.(

)(4)兩個平面的法向量平行，則這兩個平面平行；兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直.(

)√√√×題型探究例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，類型一線線垂直問題證明證明

設(shè)AB中點為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求證：AC⊥BC1.證明證明

∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C兩兩垂直.如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Cxyz.則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，證明類型二證明線面垂直例2如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點.求證：AB1⊥平面A1BD.證明

如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O(shè)為坐標原點，OB，OO1，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.證明跟蹤訓(xùn)練2如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點.求證：直線PB1⊥平面PAC.證明

如圖，以D為坐標原點，DC，DA，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.證明類型三證明面面垂直問題例3三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝

，AB＝AC＝2A1C1＝2，D為BC的中點.證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.證明

方法一

如圖，以A為坐標原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，∵D為BC的中點，∴D點坐標為(1,1,0)，又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.設(shè)平面A1AD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量為n2＝(x2，y2，z2).令y1＝－1，則x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0).∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.證明跟蹤訓(xùn)練3在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點.(1)求證：平面AED⊥平面A1FD1；證明

以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，設(shè)平面AED的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1).令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理，平面A1FD1的一個法向量為n2＝(0,2,1).∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.解答(2)在直線AE上求一點M，使得A1M⊥平面AED.解

由于點M在直線AE上，達標檢測答案解析123451.下列命題中，正確命題的個數(shù)為①若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β

?

n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面α平行，則n·a＝0；④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直.A.1 B.2 C.3 D.4√解析

①中平面α，β可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知②③④正確.答案2.已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項中能使兩直線垂直的為A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)12345√解析解析

因為a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故選B.答案解析3.若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為μ＝(－2,0，－4)，則A.l∥α

B.l⊥αC.l?α

D.l與α斜交12345√解析

∵a∥μ，∴l(xiāng)⊥α.答案解析4.平面α的一個法向量為m＝(1,2,0)，平面β的一個法向量為n＝(2，－1,0)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是A.平行

B.相交但不垂直

C.垂直

D.不能確定12345√解析

∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴兩法向量垂直，從而兩平面垂直.空間垂直關(guān)系的解決策略規(guī)律與方法

幾何法向量法線線垂直(1)證明兩直線所成的角為90°.(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內(nèi)所有直線垂直兩直線的方向向量互相垂直線面垂直對于直線l，m，n和平面α(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m與n相交，則l⊥α.(2)若l∥m，m⊥α