第3講函數(shù)的奇偶性與周期性

1．函數(shù)的奇偶性的定義

(1)對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有__________(或_________________)，則稱f(x)為_________.奇函數(shù)的圖像關于____對稱．原點(2)對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有______f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0奇函數(shù)f(－x)＝f(x)________(或_____________)，則稱f(x)為________．偶函數(shù)的圖像關于__軸對稱．y

(3)通常采用圖像或定義判斷函數(shù)的奇偶性．具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關于原點對稱(也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關于原點對稱)．2．函數(shù)的周期性的定義非零常數(shù)f(x＋T)＝f(x)

對于函數(shù)f(x)，如果存在一個______T，使得定義域內的每一個x值，都滿足__________，那么函數(shù)f(x)就叫做________，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的_____.f(－x)－f(x)＝0偶函數(shù)周期函數(shù)周期Cx3－x22．下列說法錯誤的是()

B．f(x)＝|x－2|是偶函數(shù)C．f(x)＝0，x∈[－6,6]既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．f(x)＝x－1既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)B3．已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，y＝f(x－2)在[0,2]上是單調減函數(shù)，則()A．f(0)＜f(－1)＜f(2)C．f(－1)＜f(2)＜f(0)B．f(－1)＜f(0)＜f(2)D．f(2)＜f(－1)＜f(0)

解析：∵f(x－2)在[0,2]上單調遞減，∴f(x)在[－2,0]上單調遞減．∵y＝f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)在[0,2]上單調遞增．又f(－1)＝f(1)，故選A.

4．設函數(shù)f(x)＝(x2＋1)(x＋a)為奇函數(shù)，則a＝__.A0

5．設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)＝_______.

解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4為周期的函數(shù)，故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)，又f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且當0≤x≤1時，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.－0.5考點1判斷函數(shù)的奇偶性例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；

解題思路：依照定義判斷函數(shù)的奇偶性，要先考查函數(shù)的定義域．

解析：(1)函數(shù)的定義域x∈(－∞，＋∞)，對稱于原點．(1)函數(shù)的的奇偶偶性是是函數(shù)數(shù)的一一個整整體性性質，定定義域域具有有對稱稱性(即若奇奇函數(shù)數(shù)或偶偶函數(shù)數(shù)的定定義域域為D，則x∈D時－x∈D)是一個個函數(shù)數(shù)為奇奇函數(shù)數(shù)或偶偶函數(shù)數(shù)的必要條條件；；(2)分段函函數(shù)的的奇偶偶性一一般要要分段段證明明；(3)判斷函數(shù)數(shù)的奇奇偶性性應先先求定定義域域再化化簡函函數(shù)解解析式式．1．下列列函數(shù)數(shù)中，，在其其定義義域內內是奇奇函數(shù)數(shù)的是是()A．y＝exB．y＝C．y＝x3D．y＝cosx【互動探探究】C考點2利用函函數(shù)的的奇偶偶性求求函數(shù)數(shù)的表表達式式利用函函數(shù)的的奇偶偶性可可以求求關于于原點點對稱稱區(qū)間上的的函數(shù)數(shù)的表表達式式．2．(1)已知知f(x)是定定義義在在R上的的奇奇函函數(shù)數(shù)，，當當x≥0時，，f(x)＝x－x2，則則x≤0時，，f(x)＝_______；(2)已知知函函數(shù)數(shù)f(x)是定定義義在在(－∞∞，，＋＋∞∞)上的的偶偶函函數(shù)數(shù)．．當x∈(－∞∞，，0)時，，f(x)＝x－x4，則則當當x∈(0，＋＋∞∞)時，，f(x)＝__________.【互動動探探究究】x2＋x－x－x4考點點3函數(shù)數(shù)奇奇偶偶性性與與單單調調性性的的綜綜合合應應用用例3：已已知知奇奇函數(shù)數(shù)f(x)是定定義義在在(－2,2)上的的減減函函數(shù)數(shù)，，若f(m－1)＋f(2m－1)>0，求求實實數(shù)數(shù)m的取值范范圍．解題思路路：欲求m的取值范范圍，就就要建立立關于m的不等式，，只有從從f(m－1)＋f(2m－1)>0出發(fā)，利利用f(x)的奇偶性和和單調性性將外衣衣“f”脫去，轉轉化為關關于m的不等式式．解析：∵f(x)是定義在在(－2,2)上的奇函函數(shù)，∴對任意意x∈(－2,2)，有f(－x)＝－f(x)．由條件f(m－1)＋f(2m－1)>0得A．a<b<cC．c<b<aB．b<a<cD．c<a<b解析：已知f(x)是周期為為2的奇函數(shù)數(shù)，當0<x<1時，b＝f(x)＝lgx.設a＝∴c<a<b.＝lgx，設a＝()D錯源：沒有考考慮定義域誤解分析：對函數(shù)奇偶性性定義實質理理解不全面．．對定義域內任意意一個x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的實質是：函函數(shù)的定義域域關于原點對對稱．這是函函數(shù)具備奇偶性的必要要條件．糾錯反思：在處理函數(shù)的的問題時,都要樹立定義義域優(yōu)先的意識.③①②例5：已知函數(shù)f(x)，當x>0時，f(x)＝x2－2x－1.(1)若f(x)為R上的奇函數(shù)，，求f(x)的解析式；(2)若f(x)為R上的偶函數(shù)，，能確定f(x)的解析式嗎？？請說明理由．．解析：(1)當x>0時，f(x)＝x2－2x－1.設x<0，則－x>0，有f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1.∵f(x)為R上的奇函數(shù)，，f(－x)＝－f(x)，∴x<0時，f(x)＝－x2－2x＋1.當x＝0時，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0.(2)若f(x)為R上的偶函數(shù)，，不能確定f(x)的解析式，因為不知f(0)的結果．【互動探究】5．設f(x)是R上的任意函數(shù)數(shù)，則下列敘敘述正確的是是()A．f(x)f(－x)是奇函數(shù)B．f(x)|f(－x)|是奇函數(shù)C．f(x)－f(－x)是偶函數(shù)D．f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)D對于函數(shù)f(x)定義域中的的任意的x，總存在一一個常數(shù)T(T≠0)，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，則則T是函數(shù)y＝f(x)的一個周期期：(1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則T＝2a是它的一個個周期；(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則T＝2a是它的一個個周期；1f(x)(a≠0)，則T＝(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝－2a是它的一個個周期；1f(x)(a≠0)，則T＝2a(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝是它的一個個周期；(5)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝1－f(x)1＋f(x)(a≠0)，則T＝2a是它的一個個周期；