第二節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1.了解平面向量的基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線(xiàn)的條件.1．平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，

一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把不共線(xiàn)的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組

不共線(xiàn)有且只有基底．2．夾角(1)已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的

(2)向量夾角θ的范圍是

，a與b同向時(shí)，夾角θ＝

；a與b反向時(shí)，夾角θ＝

.(3)如果向量a與b的夾角是，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b.夾角．[0，π]0π3．把一個(gè)向量分解為兩個(gè)

的向量，叫做把向量正交分解．4．在平面直角坐標(biāo)系中，分別取出x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使a＝xi＋yj，我們把有序數(shù)對(duì)

叫做向量a的

，記作a＝

，其中x叫a在

上的坐標(biāo)，y叫a在

上的坐標(biāo)．互相垂直(x，y)坐標(biāo)(x，y)x軸y軸5．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實(shí)數(shù)λ，那么a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量

的坐標(biāo)減去

的坐標(biāo)．6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a∥b的充要條件是

.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)．終點(diǎn)始點(diǎn)x1y2－x2y1＝01．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c＝(

)A．3a＋b

B．3a－bC．－a＋3b D．a(chǎn)＋3b熱點(diǎn)之一平面向量基本本定理及其應(yīng)應(yīng)用1．以平面內(nèi)任任意兩個(gè)不共共線(xiàn)的向量為為一組基底，，該平面內(nèi)的的任意一個(gè)向向量都可表示示成這組基底底的線(xiàn)性組合合，基底不同同，表示也不不同．2．對(duì)于兩個(gè)向量量a，b，將它們用同同一組基底表表示，我們可可通過(guò)分析這這兩個(gè)表示式式的關(guān)系，來(lái)來(lái)反映a與b的關(guān)關(guān)系系．．3．利利用用已已知知向向量量表表示示未未知知向向量量，，實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)就就是是利利用用平平行行四四邊邊形形法法則則或或三三角角形形法法則則進(jìn)進(jìn)行行向向量量的的加加減減運(yùn)運(yùn)算算或或進(jìn)進(jìn)行行數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算．．提醒醒：：一組組基基底底中中，，必必不不含含有有零零向向量量．．熱點(diǎn)點(diǎn)之之二二平面面向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算1．向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算主主要要是是利利用用加加、、減減、、數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算法法則則進(jìn)進(jìn)行行，，若若已已知知有有向向線(xiàn)線(xiàn)段段兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)，，則則應(yīng)應(yīng)先先求求出出向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)，，解解題題過(guò)過(guò)程程中中要要注注意意方方程程思思想想的的運(yùn)運(yùn)用用．．2．利用用向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算解解題題．．主主要要是是根根據(jù)據(jù)相相等等的的向向量量坐坐標(biāo)標(biāo)相相同同這這一一原原則則，，通通過(guò)過(guò)列列方方程程(組)進(jìn)行求解解．熱點(diǎn)之三三平面向量量共線(xiàn)的的坐標(biāo)表表示1．凡遇到到與平行行有關(guān)的的問(wèn)題時(shí)時(shí)，一般般要考慮慮運(yùn)用向向量平行行的充要要條件．．2．兩個(gè)向向量共線(xiàn)線(xiàn)的充要要條件在在解題中中具有重重要的應(yīng)應(yīng)用，一一般地，，如果已已知兩向向量共線(xiàn)線(xiàn)，求某某些參數(shù)數(shù)的值，，則利用用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條條件是x1y2－x2y1＝0”比較簡(jiǎn)捷捷．3．在求與與一個(gè)已已知向量量a共線(xiàn)的向向量時(shí)，，采取待待定系數(shù)數(shù)法更為為簡(jiǎn)單，，即設(shè)所所求向量量為λa(λ∈R)，然后結(jié)結(jié)合其他他條件列列出關(guān)于于λ的方程程，求求出λ的值后后代入入λa即可得得到欲欲求向向量，，這樣樣可以以使未未知數(shù)數(shù)的個(gè)個(gè)數(shù)少少一些些，便便于求求解．．[思維拓拓展](1)本題主主要涉涉及平平面向向量的的模、、夾角角、共共線(xiàn)的的充要要條件件等基基礎(chǔ)知知識(shí)，，以及及運(yùn)算算能力力、分分析能能力和和數(shù)形形結(jié)合合能力力．注注意“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b的充要要條件件是x1y2－x2y1＝0.”的使用用；(2)解法一一用的的是待待定系系數(shù)法法，體體現(xiàn)了了方程程的思思想，，關(guān)鍵鍵是將將題目目中的的等量量關(guān)系系轉(zhuǎn)化化成含含有未未知數(shù)數(shù)的兩兩個(gè)方方程；；(3)在解題題時(shí)，，要靈靈活地地運(yùn)用用不同同的方方法，，如利利用數(shù)數(shù)形結(jié)結(jié)合，，則可可以直直觀地地得到到結(jié)果果．熱點(diǎn)之之四平面向向量坐坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算的的綜合合應(yīng)用用1．對(duì)于向向量坐坐標(biāo)的的綜合合應(yīng)用用，關(guān)關(guān)鍵是是利用用已知知條件件轉(zhuǎn)化化為方方程或或函數(shù)數(shù)關(guān)系系式解解決．．2．以向量量為載載體，，解決決三角角、解解析幾幾何問(wèn)問(wèn)題是是高考考?？伎碱}，，要引引起足足夠重重視．．3．向量量與三三角結(jié)結(jié)合題題目關(guān)關(guān)鍵是是利用用向量量共線(xiàn)線(xiàn)的坐坐標(biāo)關(guān)關(guān)系，，結(jié)合合三角角函數(shù)數(shù)中的的有關(guān)關(guān)公式式進(jìn)行行求解解．[例4]已知向向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．．[思路探探究](1)利用共共線(xiàn)得得方程程，再再結(jié)合合同角角關(guān)系系式得得解；；(2)由|a|＝|b|得正弦弦、余余弦關(guān)關(guān)系式式，利利用三三角恒恒等變變換得得解．．向量的的坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)算算及用用坐標(biāo)標(biāo)表示示平面面向量量、共共線(xiàn)的的條件件是高高考考考查的的熱點(diǎn)點(diǎn)，常常以選選擇、、填空空題的的形式式出現(xiàn)現(xiàn)，為為中、、低檔檔題．．向量量的坐坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算常常與三三角、、解析析幾何何等知知識(shí)結(jié)結(jié)合，，在知知識(shí)交交匯點(diǎn)點(diǎn)處命命題，，以解解答題題的形形式呈呈現(xiàn)，，屬中中檔題題．[例5](2010·山東高考)定義平面向向量之間的的一種運(yùn)算算“⊙”如下：對(duì)任任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面說(shuō)法錯(cuò)錯(cuò)誤的是()A．若a與b共線(xiàn)，則a⊙b＝0B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a(bǔ)C．對(duì)任意的的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2[解析]A項(xiàng)，a與b共線(xiàn)，則?λ∈R使得a＝λb則有m＝λp，n＝λq，a⊙b＝λpq－λpq＝0；B項(xiàng)，b⊙a(bǔ)＝np－mq＝－(a⊙b)；C項(xiàng)，(λa)⊙b＝(λm，λn)⊙(p，q)＝λmq－λnp＝λ(mq