第四章

根軌跡分析法

本科生專業(yè)課程主講：張英杰

授課內(nèi)容第一節(jié)根軌跡的基本概念第二節(jié)繪制根軌跡的基本方法第三節(jié)廣義根軌跡第四節(jié)系統(tǒng)性能的根軌跡法分析第四章根軌跡分析法第一節(jié)根軌跡的基本概念一、根軌跡二、根軌跡方程第四章根軌跡分析法

當(dāng)系統(tǒng)的某個參數(shù)變化時，特征方程的根隨之在S平面上移動，系統(tǒng)的性能也跟著變化。研究S平面上根的位置隨參數(shù)變化的規(guī)律及其與系統(tǒng)性能的關(guān)系是根軌跡分析法的主要內(nèi)容。第一節(jié)根軌跡的基本概念一、根軌跡設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖-KrS(S+2)R(s)C(s)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程式特征方程的根

改變Kr值，求得相應(yīng)的閉環(huán)特征根值:S2+2S+Kr

C(s)R(s)=Kr

S2+2S+Kr=0S1.2=-1±

1-Kr

Kr

0-12

∞

S1

S20-2

1-1-1+j-1-j-1+j∞

-1-j∞

Kr變化時,閉環(huán)特征根在S平面上的軌跡:-1

S2σjω0-1-21

S1

Kr

∞↑

Kr

∞↑從根軌跡可知:（1）位于左半平面上的特征根為穩(wěn)定極點；位于虛軸上的根為臨界極點。

位于右半平面上的根為不穩(wěn)定極點；（2）0<Kr<1時，系統(tǒng)有兩個不相等的實數(shù)根，呈過阻尼狀態(tài)。（3）當(dāng)Kr=1時，系統(tǒng)有個相等的實數(shù)根，呈臨界阻尼狀態(tài)。（4）1<Kr<∞時，特征根為兩個復(fù)數(shù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)。1、穩(wěn)定性當(dāng)K從0→∞時，根軌跡在s平面左半平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。3、穩(wěn)態(tài)性能系統(tǒng)為I型系統(tǒng)K為靜態(tài)速度誤差系數(shù)（若給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍）2、動態(tài)性能1）0<K<1兩個不同的實極點，過阻尼系統(tǒng)。2）K=1兩個相同的實極點，臨界阻尼系統(tǒng)。3）K>1一對共軛復(fù)根，欠阻尼系統(tǒng)。j0-2-1K=0K=0K=K=K=1根軌跡與系統(tǒng)性能第一節(jié)根軌跡的基本概念

閉環(huán)特征方程的根的位置與系統(tǒng)的性能是密切相關(guān)的，當(dāng)系統(tǒng)的某個參數(shù)發(fā)生變化時，特征方程的根在平面上的位置以及系統(tǒng)的性能將隨之而變.*根軌跡法的基本思路:*根軌跡的定義:第一節(jié)根軌跡的基本概念

系統(tǒng)的一個或多個參數(shù)由零變到無窮大時，閉環(huán)特征方程的根在S平面上移動的軌跡。*根軌跡法的分析手段:

利用根軌跡法來分析和設(shè)計系統(tǒng)，首先必須繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖，而采用求解方程根的方法來繪制高階系統(tǒng)的根軌跡圖顯然是難以實現(xiàn)的，必須找到一種方便、有效的作圖方法。作圖方法的依據(jù)就是根軌跡方程。第一節(jié)根軌跡的基本概念二、根軌跡方程設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為H(s)-C(s)R(s)G(s)C(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)Krj=1n(s-zi)(s-pj)G(s)H(s)=i=1m根軌跡增益開環(huán)傳遞函數(shù)零點開環(huán)傳遞函數(shù)極點系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為即1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1根軌跡方程為Krj=1n(s-zi)(s-pj)=-1i=1m

可見，滿足開環(huán)傳遞函數(shù)等于-1的S即為閉環(huán)特征方程式的根。

根軌跡方程又可分解為下述幅值方程和相角方程，即幅值方程Krj=1n(s-zi)(s-pj)=1i=1m或Kr1j=1n(s-zi)(s-pj)=i=1m相角方程K=(0,1,2…)m∑nj=1(s-zi)∑i=1(s-pi)=±(2k+1)π

根據(jù)根軌跡的基本特征和關(guān)鍵點，就能比較方便地近似繪制出根軌跡曲線。三、閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關(guān)系G(s)H(s)R(s)C(s)_閉環(huán)傳遞函數(shù)：前向通路根軌跡增益反饋通路根軌跡增益第一節(jié)根軌跡的基本概念由此