第8講MATLAB數據分析與多項式計算8.1數據統計處理8.2數據插值8.3曲線擬合8.4多項式計算8.1數據統計處理8.1.1最大值和最小值MATLAB提供的求數據序列的最大值和最小值的函數分別為max和min，兩個函數的調用格式和操作過程類似。1．求向量的最大值和最小值求一個向量X的最大值函數有兩種調用格式，分別是：(1)y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復數元素，則按模取最大值。(2)[y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號存入I，如果X包含復數元素，則按模取最大值。(3)求向量X的最小值的函數是min(X)，用法和max(X)完全相同。例8-1

求向量x的最大值。命令如下：x=[-43,72,9,16,23,47];y=max(x)%求向量x中的最大值[y,l]=max(x)%求向量x中的最大值及其該元素的位置2．求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數有3種調用格式，分別是：(1)max(A)：返回一個行向量，向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值。(2)[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。(3)max(A,dim)：dim取1或2。dim取1時，該函數和max(A)完全相同；dim取2時，該函數返回一個列向量，其第i個元素是A矩陣的第i行上的最大值。(4)求最小值的函數是min，其用法和max完全相同。例6-2

分別求3×4矩陣x中各列和各行元素中的最大值，并求整個矩陣的最大值和最小值。3．兩個向量或矩陣對應元素的比較函數max和min還能對兩個同型的向量或矩陣進行比較，調用格式為：(1)U=max(A,B)：A,B是兩個同型的向量或矩陣，結果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A,B對應元素的較大者。(2)U=max(A,n)：n是一個標量，結果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A對應元素和n中的較大者。(3)min函數的用法和max完全相同。例6-3求兩個2×3矩陣x,y所有同一位置上的較大元素構成的新矩陣p。8.1.2求和與求積數據序列求和與求積的函數是sum和prod，其使用方法類似。設X是一個向量，A是一個矩陣，求和與求積的調用格式為：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘積。sum(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素乘積。sum(A,dim)：當dim為1時，該函數等同于sum(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：當dim為1時，該函數等同于prod(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素乘積。例6-4

求矩陣A的每行元素的乘積和全部元素的乘積。8.1.3平均值和中值求數據序列平均值的函數是mean，求數據序列中值的函數是median。兩個函數的調用格式為：mean(X)：返回向量X的算術平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的算術平均值。median(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：當dim為1時，該函數等同于mean(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的算術平均值。median(A,dim)：當dim為1時，該函數等同于median(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的中值。例6-5

分別求向量x與y的平均值和中值。8.1.4累加和與累乘積在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函數能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，函數的調用格式為：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘積向量。cumsum(A)：返回一個矩陣，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一個矩陣，其第i列是A的第i列的累乘積向量。cumsum(A,dim)：當dim為1時，該函數等同于cumsum(A)；當dim為2時，返回一個矩陣，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：當dim為1時，該函數等同于cumprod(A)；當dim為2時，返回一個向量，其第i行是A的第i行的累乘積向量。例6-6

求s的值。8.1.5標準方差與相關系數1．求標準方差在MATLAB中，提供了計算數據序列的標準方差的函數std。對于向量X，std(X)返回一個標準方差。對于矩陣A，std(A)返回一個行向量，它的各個元素便是矩陣A各列或各行的標準方差。std函數的一般調用格式為：Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。當dim=1時，求各列元素的標準方差；當dim=2時，則求各行元素的標準方差。flag取0或1，當flag=0時，按σ1所列公式計算標準方差，當flag=1時，按σ2所列公式計算標準方差。缺省flag=0，dim=1。例6-7

對二維矩陣x，從不同維方向求出其標準方差。例6-8

生成滿足正態(tài)分布的10000×5隨機矩陣，然后求各列元素的均值和標準方差.命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)6.1.6排序MATLAB中對向量X的排序函數是sort(X)，函數返回一個對X中的元素按升序排列的新向量。sort函數也可以對矩陣A的各列或各行重新排序，其調用格式為：[Y,I]=sort(A,dim)其中dim指明對A的列還是行進行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。例6-9

對二維矩陣做各種排序。6.2數據插值6.2.1一維數據插值在MATLAB中，實現這些插值的函數是interp1，其調用格式為：Y1=interp1(X,Y,X1,'method')函數根據X,Y的值，計算函數在X1處的值。X,Y是兩個等長的已知向量，分別描述采樣點和樣本值，X1是一個向量或標量，描述欲插值的點，Y1是一個與X1等長的插值結果。method是插值方法，允許的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。注意：X1的取值范圍不能超出X的給定范圍，否則，會給出“NaN”錯誤。例6-10

用不同的插值方法計算在π/2點的值。MATLAB中有一個專門的3次樣條插值函數Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。例6-11

某觀測站測得某日6:00時至18:00時之間每隔2小時的室內外溫度(℃)，用3次樣條插值分別求得該日室內外6:30至17:30時之間每隔2小時各點的近似溫度(℃)。設時間變量h為一行向量，溫度變量t為一個兩列矩陣，其中第一列存放室內溫度，第二列儲存室外溫度。命令如下：h=6:2:18;t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';XI=6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,‘spline’)%用3次樣條插值計算6.2.2二維數據插值在MATLAB中，提供了解決二維插值問題的函數interp2，其調用格式為：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')其中X,Y是兩個向量，分別描述兩個參數的采樣點，Z是與參數采樣點對應的函數值，X1,Y1是兩個向量或標量，描述欲插值的點。Z1是根據相應的插值方法得到的插值結果。method的取值與一維插值函數相同。X,Y,Z也可以是矩陣形式。同樣，X1,Y1的取值范圍不能超出X,Y的給定范圍，否則，會給出“NaN”錯誤。例6-12

某實驗對一根長10米的鋼軌進行熱源的溫度傳播測試。用x表示測量點0:2.5:10(米)，用h表示測量時間0:30:60(秒)，用T表示測試所得各點的溫度(℃)。試用線性插值求出在一分鐘內每隔20秒、鋼軌每隔1米處的溫度TI。命令如下：x=0:2.5:10;h=[0:30:60]';T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];xi=[0:10];hi=[0:20:60]';TI=interp2(x,h,T,xi,hi)6.3曲線擬合在MATLAB中，用polyfit函數來求得最小二乘擬合多項式的系數，再用polyval函數按所得的多項式計算所給出的點上的函數近似值。polyfit函數的調用格式為：[P,S]=polyfit(X,Y,m)函數根據采樣點X和采樣點函數值Y，產生一個m次多項式P及其在采樣點的誤差向量S。其中X,Y是兩個等長的向量，P是一個長度為m+1的向量，P的元素為多項式系數。polyval函數的功能是按多項式的系數計算x點多項式的值。例6-14已知數據表[t,y]，試求2次擬合多項式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各點的函數近似值。8.5多項式計算6.5.1多項式的四則運算1．多項式的加減運算2．多項式乘法運算函數conv(P1,P2)用于求多項式P1和P2的乘積。這里，P1、P2是兩個多項式系數向量。例6-16求多項式x4+8x3-10與多項式2x2-x+3的乘積。3.多項式除法函數[Q,r]=deconv(P1,P2)用于對多項式P1和P2作除法運算。其中Q返回多項式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項式系數向量。deconv是conv的逆函數，即有P1=conv(P2,Q)+r。例6-17

求多項式x4+8x3-10除以多項式2x2-x+3的結果。8.5.2多項式的導函數對多項式求導數的函數是：p=polyder(P)：求多項式P的導函數p=polyder(P,Q)：求P·Q的導函數[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的導函數，導函數的分子存入p，分母存入q。上述函數中，參數P,Q是多項式的向量表示，結果p,q也是多項式的向量表示。例6-18求有理分式的導數。命令如下：P=[1];Q=[1,0,5];[p,q]=polyder(P,Q)8.5.3多項式的求值MATLAB提供了兩種求多項式值的函數：polyval與polyvalm，它們的輸入參數均為多項式系數向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數多項式求值，而后者是矩陣多項式求值。1．代數多項式求值polyval函數用來求代數多項式的值，其調用格式為：Y=polyval(P,x)若x為一數值，則求多項式在該點的值；若x為向量或矩陣，則對向量或矩陣中的每個元素求其多項式的值。例6-19已知多項式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個2×3矩陣為自變量計算該多項式的值。2．矩陣多項式求值polyvalm函數用來求矩陣多項式的值，其調用格式與polyval相同，但含義不同。polyvalm函數要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項式的值。設A為方陣，P代表多項式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含義是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))而polyval(P,A