第四章多層平板波導(dǎo)黃衍堂2/1/20231由于多層平板波導(dǎo)在模場(chǎng)分布、模式截止和功率約束等方面具有許多獨(dú)特的性質(zhì)，因此，這種結(jié)構(gòu)在半導(dǎo)體激光器、光波導(dǎo)定向藕合器、光波導(dǎo)偏振器等波導(dǎo)器件中有著重要的應(yīng)用。本章首先分析非對(duì)稱平板波導(dǎo)的色散性質(zhì)，然后再討論對(duì)稱多層平板波導(dǎo)及其重要特性，最后，利用傳輸型色散方程和微擾理論分析平板藕合波導(dǎo)及其重要性質(zhì)。

第４章多層平板波導(dǎo)4.1非對(duì)稱多層平板波導(dǎo)4.1.1非對(duì)稱四層平板波導(dǎo)1．轉(zhuǎn)移矩陣?yán)碚搶?duì)圖4.1所示的四層平板波導(dǎo)，傳播常數(shù)β有兩種選擇：對(duì)于這種情況，可知導(dǎo)波層位于（0,h1+h2）的范圍，即在中間兩層薄膜中電磁場(chǎng)都是振蕩的，而在覆蓋層和襯底中，電磁場(chǎng)是指數(shù)衰減的。

根據(jù)第3章的理論，可立刻寫出矩陣形式的模式本征方程：由式（4·2）和式（4·3）兩式，非對(duì)稱四層平板波導(dǎo)的模式本征方程由（4.1）可寫成較為熟悉的形式為說明模式本征方程（4.5）的物理意義，做以下處理，令:考慮方程（4.10)，發(fā)現(xiàn)該方程與簡(jiǎn)單三層平板波導(dǎo)的模式本征方程（2.7）十分類似，除了一項(xiàng)中Φ(s)之外，其他各項(xiàng)的意義是非常清楚的。而上式右邊一項(xiàng)表示光從n1介質(zhì)射向n2介質(zhì)時(shí)的反射系數(shù)。因此，Φ(s)可理解為一階反射子波的相位貢獻(xiàn)。Φ(s)是由兩種介質(zhì)界面引起的一個(gè)反射量，該量的大小由兩種介質(zhì)的折射率差決定。折射率差大，則Φ(s)也大；折射率差小，則Φ(s)也小。綜合上述分析，可得以下重要結(jié)論：對(duì)多層平板波導(dǎo)，不僅要考慮主波的相位貢獻(xiàn)，而且要考慮層間反射子波的相位貢獻(xiàn)。2場(chǎng)匹配理論設(shè)橫向電場(chǎng)分布為p.23而方程（4.19）中左邊第二、三項(xiàng)前的振幅分別是主波從n1

介質(zhì)射向n2介質(zhì)和主波從n2介質(zhì)射向nl

介質(zhì)時(shí)的反射系數(shù)?？梢娺@兩項(xiàng)代表波導(dǎo)傳輸?shù)姆瓷渥硬?。主波與反射子波的相干疊加構(gòu)成了四層波導(dǎo)中的導(dǎo)波.式（4.19）可約化為如下形式：4.1.2非對(duì)稱多層平板波導(dǎo)對(duì)于如圖4.3所示的非對(duì)稱

l

十2層平板波導(dǎo)，只要推廣4.1.1節(jié)的結(jié)果，便可得到TE波的矩陣形式的模式本征方程:式中，相應(yīng)于第i層薄膜的轉(zhuǎn)移矩陣Mi由下式表示化簡(jiǎn)式（4.23)，容易得到式中式（4.25）和式（4.26）兩式完全確定了非對(duì)稱多層平板波導(dǎo)的色散性質(zhì)。式(4.26）是一遞推公式，在Pi+1已知的情況下，才可求得pi，并以此類推，最終才可求得p2。當(dāng)l=2時(shí)，多層平板波導(dǎo)退化為簡(jiǎn)單的四層平板波導(dǎo)，而式(4.26）也退化為四層平板波導(dǎo)相應(yīng)的公式（4.6）。為區(qū)別主波與子波的相位關(guān)系，令:式中式（4.34）是適用于任意多層平板波導(dǎo)的模式本征方程．4.2對(duì)稱多層平板波導(dǎo)4.2.1對(duì)稱三層平板波導(dǎo)設(shè)襯底和覆蓋層的折射率均為n０，折射率為n1

的導(dǎo)波層的厚度設(shè)為2h。于是三層對(duì)稱平板波導(dǎo)矩陣形式的模式本征方程為如下形式：4.2.2對(duì)稱五層平板波導(dǎo)對(duì)稱五層平板波導(dǎo)矩陣形式的模式本征方程為：式中借用4.2.1節(jié)的結(jié)果，得利用上述方法，完全可把以上結(jié)果推廣到對(duì)稱2k+1(k為正整數(shù)）層平板波導(dǎo)，而且所得模式本征方程的形式與三層平板波導(dǎo)完全一致，不同之處僅在于p２的定義．五層平板波導(dǎo)約束電磁場(chǎng)的能力在一定條件下比三層平板波導(dǎo)強(qiáng)，利用這個(gè)性質(zhì)可以制成性能良好的半導(dǎo)體激光器。為了說明這一點(diǎn)，下面計(jì)算功率約束因子r，即波導(dǎo)芯子功率占總功率的百分比。波導(dǎo)芯子是指厚度為2h1

的薄膜。定義利