會計學(xué)1第2章流體運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)習(xí)題2023/1/191:36第2頁共112頁

§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法1、Lagrange方法（拉格朗日方法，質(zhì)點(diǎn)法）著眼于流場中每一個運(yùn)動著的流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤觀察每一個流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡以及運(yùn)動參數(shù)（速度、壓強(qiáng)、加速度等）隨時間的變化，然后綜合所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，得到整個流場的運(yùn)動規(guī)律。2、Euler方法

觀察者相對于坐標(biāo)系是固定不動的，著眼于不同流體質(zhì)點(diǎn)通過空間固定點(diǎn)的流動行為，通過記錄不同空間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的運(yùn)動情況，從而獲得整個流場的運(yùn)動規(guī)律?！?.1描述流體運(yùn)動的方法一個速度場第1頁/共23頁2023/1/191:36第3頁共112頁§2.1描述流體運(yùn)動的方法第2頁/共23頁2023/1/191:36第4頁共112頁右邊第1項(xiàng)：

表示速度對時間的偏導(dǎo)數(shù)，是由流場的非定常性引起的，稱為局部加速度，或當(dāng)?shù)丶铀俣?；右邊其他?xiàng)：

表示因流體質(zhì)點(diǎn)位置遷移引起的加速度，稱為遷移加速度，位變加速度，或?qū)α骷铀俣取６叩暮铣煞Q為全加速度，或隨體加速度。加速度描述第3頁/共23頁2023/1/191:36第5頁共112頁算子表示隨流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的導(dǎo)數(shù)，稱隨體導(dǎo)數(shù)。除速度外，對流場中其它變量也成立。如對于壓強(qiáng)p，有推廣第4頁/共23頁流線:流場中的瞬時光滑曲線，在曲線上流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向與各該點(diǎn)的切線方向重合。跡線：流體質(zhì)點(diǎn)在一定時間內(nèi)所經(jīng)過的所有空間點(diǎn)的集合。場、定常與非定常流管、流面、流量：vs流量是單位時間內(nèi)穿過指定截面的流體量（體積、質(zhì)量或重量），例如穿過上述流管中任意截面A的體積流量、質(zhì)量流量和重量流量可分別表為其中，是局部速度向量，是密度，是微元面積的法線向量第5頁/共23頁2023/1/191:36第7頁共112頁或2.1.2流線微分方程第6頁/共23頁2023/1/191:36第8頁共112頁流體微團(tuán)平動速度：流體微團(tuán)線變形速率：

流體微團(tuán)角變形速率（剪切變形速率）：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式第7頁/共23頁2023/1/191:36第9頁共112頁按速度泰勒級數(shù)展開有

§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理第8頁/共23頁2023/1/191:36第10頁共112頁§2.2.3散度及其意義散度在流體力學(xué)里表示流體微團(tuán)的相對體積膨脹率（單位時間單位體積的增長量）。三個相互垂直方向的線變形率之和在向量分析中稱為速度V的散度，符號為divV，即在密度不變的不可壓流動里，微團(tuán)的體積不變，其速度的散度必為零。第9頁/共23頁2023/1/191:36第11頁共112頁一個流場，如果各處的ω都等于零，這樣的流場稱為無旋流場，其流動稱為無旋流。否則為有旋流場，其流動稱有旋流。根據(jù)數(shù)學(xué)上Stokes定律§2.2.4旋度和位函數(shù)流體微團(tuán)繞自身軸的旋轉(zhuǎn)角速度的三個分量為ωx，ωy，ωx，合角速度可用矢量表示為這個值在向量分析里記為（1/2）rotV，稱為V的旋度。即有旋度為旋轉(zhuǎn)角速度的二倍：如果是無渦流場，那么其旋度為零，由此得到

說明速度場的曲線積分與路徑無關(guān)，僅是坐標(biāo)位置的函數(shù)。。第10頁/共23頁2023/1/191:36第12頁共112頁；；§2.2.4旋度和位函數(shù)在數(shù)學(xué)上表示下列微分代表某個函數(shù)的全微分，即上式中這個函數(shù)稱為速度勢函數(shù)或速度位，其存在的充分必要條件是無渦流動。速度勢函數(shù)僅是坐標(biāo)位置和時間的函數(shù)。即速度勢函數(shù)與速度分量的關(guān)系為說明速度勢函數(shù)在某個方向的偏導(dǎo)數(shù)等于速度矢量在那個方向的分量。第11頁/共23頁2023/1/191:36第13頁共112頁微分形式的連續(xù)方程：對于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)椤?.3.1連續(xù)方程第12頁/共23頁2023/1/191:36第14頁共112頁結(jié)論：流體在運(yùn)動時，應(yīng)服從質(zhì)量守恒定律，這條定理在空氣動力學(xué)中的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為連續(xù)方程或質(zhì)量方程.矢量表達(dá)形式對于定常不可壓流體的極坐標(biāo)方程另一形式第13頁/共23頁2023/1/191:36第15頁共112頁2.3.2流函數(shù)又故有(2-23)(2-24)(2-25)速度位與流函數(shù)關(guān)系：等位線族與流線族正交φ(x,y)稱為流函數(shù)第14頁/共23頁2023/1/191:36第16頁共112頁歐拉方程微分形式（牛頓第二定律的描述）(教材更直觀)：上三式即為笛卡兒坐標(biāo)系下理想流體運(yùn)動的歐拉方程（1755年）。表明了流體質(zhì)點(diǎn)的加速度等于質(zhì)量力減去壓力梯度。寫成另一種形式，為§2.3.2Euler運(yùn)動微分方程組第15頁/共23頁2023/1/191:36第17頁共112頁如果上式右邊項(xiàng)為零，有這樣在曲線上，下式成立。這就是Bernoulli積分，或伯努利方程。上式表明，對于理想正壓流體的定常流動，在質(zhì)量力有勢條件下，單位體積流體微團(tuán)沿著這條特定曲線s的勢能、壓能和動能之和不變，即總機(jī)械能不變。（1738年）§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義Bernoulli積分成立的條件，是（1）沿著任意一條流線，Bernoulli積分成立。這是因?yàn)?，在此情況下第16頁/共23頁2023/1/191:36第18頁共112頁

現(xiàn)任取一體積，邊界表面積為S0的確定系統(tǒng)作為考察對象。（1）連續(xù)方程（質(zhì)量守恒）

表示，在系統(tǒng)內(nèi)不存在源和匯的情況下，系統(tǒng)的質(zhì)量不隨時間變化。（2）動量方程

表示：系統(tǒng)的動量對時間的變化率等于外界作用于系統(tǒng)上的所有外力的合力。（3）動量矩方程

表示：系統(tǒng)對某點(diǎn)的動量矩對時間的變化率等于外界作用于系統(tǒng)上所有外力對同一點(diǎn)力矩之和。§2.4.2Lagrange型積分方程附§2.4流體運(yùn)動的積分方程第17頁/共23頁2023/1/191:36第19頁共112頁由動量積分方程，可得積分形式動量方程的一個重要方面在于人們往往不需要知道控制體中的流動細(xì)節(jié)，只需要知道控制面邊界處的流動屬性來求作用力，這個作用力可以包含摩擦力的影響在內(nèi)，例如用上述方程來求物體受到的阻力等。上述方程常常用于定常流動的氣體中，用于定常流時上式中的當(dāng)?shù)刈兓室豁?xiàng)等于零，用于氣體則質(zhì)量力可以忽略。附§2.4流體運(yùn)動的積分方程第18頁/共23頁2023/1/191:36第20頁共112頁2.6旋渦運(yùn)動---要點(diǎn)2.6.1渦線、渦管及旋渦強(qiáng)度渦線式充滿運(yùn)動流體的旋渦場中的一系列曲線，它具有這樣的性質(zhì)：在某瞬時該曲線上微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度向量（旋轉(zhuǎn)軸線方向按右手定則）都和曲線相切，如圖其微分方程為第19頁/共23頁2023/1/191:36第21頁共112頁2.6.3直線渦的誘導(dǎo)速度及畢奧－薩瓦定律我們把流場中由旋渦存在而產(chǎn)生的速度稱為誘導(dǎo)速度。其大小可由畢奧－薩瓦公式來確定。在不可壓流動中，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為或式中dL為渦線上的微段長度；

r為流場中任意點(diǎn)至微段的距離；為微段dL與r之間的夾角；

Γ為旋渦強(qiáng)度。

dω的方向垂直于ONM平面，見圖2.6旋渦運(yùn)動---要點(diǎn)第20頁/共23頁2023/1/191:36第22頁共112頁2.6.4海姆霍茲旋渦定理定理一在同一瞬間沿旋渦線或渦管的旋渦強(qiáng)度不變。定理二渦線不能在流線中中斷；只能在流體邊界上中斷或形成定理三在理想流中，渦的強(qiáng)度不隨時間變化，既不會增強(qiáng)也不會削弱或消失。閉合圈。2.6旋渦運(yùn)動---要點(diǎn)第21頁/共23頁2023/1/191:36第23頁共112頁本章基本要求了解兩種描述流場的方法的區(qū)別與特點(diǎn)，重點(diǎn)掌握歐拉法下加速度的表達(dá)和意義掌握流體微團(tuán)的幾種變形和運(yùn)動及其數(shù)學(xué)表達(dá)，掌握流體微團(tuán)的運(yùn)動分解與剛體運(yùn)動