機(jī)械能守恒定律一、知識(shí)點(diǎn)綜述：在只有重力和彈簧的彈力做功的情況下，物體的動(dòng)能和勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變.對(duì)機(jī)械能守恒定律的理解:（1）系統(tǒng)在初狀態(tài)的總機(jī)械能等于末狀態(tài)的總機(jī)械能.即Ei=E2或 1/2mvi2+mghi=1/2mv22+mgh2⑵物體（或系統(tǒng)）減少的勢(shì)能等于物體（或系統(tǒng)）增加的動(dòng)能，反之亦然。即 -AEP=AEK（3）若系統(tǒng)內(nèi)只有A、B兩個(gè)物體，則A減少的機(jī)械能Ea等于B增加的機(jī)械能AEb 即-AEa=AEb二、例題導(dǎo)航:例1、如圖示，長(zhǎng)為l的輕質(zhì)硬棒的底端和中點(diǎn)各固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，為使輕質(zhì)硬棒能繞轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)，則底端小球在如圖示位置應(yīng)具有的最小速度v=。解：系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，AEp+AEk=01 (v1 (v)2一mv2+—m一=mg-1+mg-212 I2)'24gl=濯.8gl例2,如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角。=30°，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪。一柔軟的細(xì)線跨過定滑輪，兩端分別與物塊A和B連結(jié)，A的質(zhì)量為4m，B的質(zhì)量為m，開始時(shí)將B按在地面上不動(dòng)，然后放開手，讓A沿斜面下滑而B上升。物塊A與斜面間無摩擦。設(shè)當(dāng)A沿斜面下滑S距離后，細(xì)線突然斷了。求物塊B上升離地的最大高度H.解：對(duì)系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律4mgSsin°-mgS=1/2X5mv2???v2=2gS/5細(xì)線斷后，B做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒定律mgH=mgS+1/2Xmv2H=1.2S例3.如圖所示，半徑為R、圓心為O的大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，兩個(gè)輕質(zhì)小圓環(huán)套在大圓環(huán)上.一根輕質(zhì)長(zhǎng)繩穿過兩個(gè)小圓環(huán)，它的兩端都系上質(zhì)量為m的重物，忽略小圓環(huán)的大小。

（1）將兩個(gè)小圓環(huán)固定在大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸的兩側(cè)9=30°的位置上（如圖）.在兩個(gè)小圓環(huán)間繩子的中點(diǎn)C處，掛上一個(gè)質(zhì)量M=m的重2物，使兩個(gè)小圓環(huán)間的繩子水平，然后無初速釋放重物M.設(shè)繩子與大、小圓環(huán)間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離.（2）若不掛重物M.小圓環(huán)可以在大圓環(huán)上自由移動(dòng)，且繩子與大、小圓環(huán)間及大、小圓環(huán)之間的摩擦均可以忽略，問兩個(gè)小圓環(huán)分別在哪些位置時(shí)，系統(tǒng)可處于平衡狀態(tài)？解：（1）重物向下先做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)重物速度為零時(shí)，下降的距離最大.設(shè)下降的最大距離為h,由機(jī)械能守恒定律得 Mgh=2mgh2+（RsinO）2-RsinO解得 h=、，R （另解h=0舍去）⑵系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，兩小環(huán)的可能位置為兩小環(huán)同時(shí)位于大圓環(huán)的底端.兩小環(huán)同時(shí)位于大圓環(huán)的頂端.兩小環(huán)一個(gè)位于大圓環(huán)的頂端，另一個(gè)位于大圓環(huán)的底端.除上述三種情況外，根據(jù)對(duì)稱性可知，系統(tǒng)如能平衡，則兩小圓環(huán)的位置一定關(guān)于大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸對(duì)稱.設(shè)平衡時(shí)，兩小圓環(huán)在大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸兩側(cè)a角的位置上（如圖所示）.對(duì)于重物，受繩子拉力與重力作用，有T=mg對(duì)于小圓環(huán)，受到三個(gè)力的作用，水平繩的拉力T、豎直繩子的拉力T、大圓環(huán)的支持力N.兩繩子的拉力沿大圓環(huán)切向的分力大小相等，方向相反Tsina=Tsina'得a=az,而a+a'=90°，所以a=45° AA AA例4.如圖質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的 *質(zhì)量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，

另一端連一輕掛鉤。開始時(shí)各段繩都牌伸直狀態(tài)，A上方的一段沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C上升。若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為(m1+m3)物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B則離地時(shí)D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。解:開始時(shí)，B靜止平衡，設(shè)彈簧的壓縮量為x1,kx1=m1g掛C后，當(dāng)B剛要離地時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為x2,有kx2=m2g此時(shí)，A和C速度均為零。從掛C到此時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律彈簧彈性勢(shì)能的改變量為△E=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2)將C換成D后，有△E+—(m+m+m)v2=(m+m)g(x+x)一mg(x+x)2 1 3 1 1 3「 1 2 1° 1 2聯(lián)立以上各式可以解得：2m1(m1+m2)g2I k(2m1+m3)針對(duì)訓(xùn)練在光滑水平面上有兩個(gè)相同的彈性小球A、B，質(zhì)量都為m,現(xiàn)B球靜止，A球向B球運(yùn)動(dòng)，發(fā)生正碰。已知碰撞過程中總機(jī)械能守恒，兩球壓縮最緊時(shí)的彈性勢(shì)能為Ep，則碰前A球的速度等于 (mE

A球的速度等于 (mE質(zhì)量為m的物體，在距地面h高處以g/3的加速度由靜止豎直下落到地面，下列說法中正確的是： ( )物體的重力勢(shì)能減少1/3mgh物體的機(jī)械能減少2/3mgh物體的動(dòng)能增加1/3mgh重力做功mgh一物體從某一高度自由落下，落在直立于地面的輕彈簧上，如圖所示.在A點(diǎn)時(shí)，物體開始接觸彈簧；到B點(diǎn)時(shí)，物體速度為零，然后被彈回.下列說法中正確的是[bcd]物體從A下降到B的過程中，動(dòng)能不斷變小物體從B上升到A的過程中，動(dòng)能先增大后減小物體由A下降到B的過程中，彈簧的彈性勢(shì)能不斷增大物體由B上升到A的過程中，彈簧所減少的彈性勢(shì)能等于物體所增加的動(dòng)能與增加的重力勢(shì)能之和長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量分布均勻的繩子，對(duì)稱地懸掛在輕小的定滑輪上，如圖所示.輕輕地推動(dòng)一下，讓繩子滑下，那么當(dāng)繩子離開滑輪的瞬間，繩子的速度為.—根內(nèi)壁光滑的細(xì)圓管，形狀如下圖所示，放在豎直平面內(nèi)，一個(gè)小球自A口的正上方高h(yuǎn)處自由落下，第一次小球恰能抵達(dá)B點(diǎn)；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再進(jìn)入A口，則兩次小球下落的高度之比hi：h2=將質(zhì)量為M和3M的兩小球入和日分別拴在一根細(xì)繩的兩端，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，開始時(shí)B球靜置于光滑的水平桌面上，A球剛好跨過桌邊且線已張緊，如圖所示.當(dāng)A球下落時(shí)拉著B球沿桌面滑動(dòng)，桌面的高為h，且hVL.若A球著地后停止不動(dòng)，求：(1)B球剛滑出桌面時(shí)的速度大小.(2)B球和A球著地點(diǎn)之間的距離.幻 幽生彳」?—如圖所示，半徑為W~質(zhì)量不計(jì)的圓盤盤面與地面相垂直,圓心處有一個(gè)垂直盤面的光滑水平固定軸O,在盤的最右邊緣固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A,在O點(diǎn)的正下方離O點(diǎn)r/2處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B.放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問：當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球的重力勢(shì)能之和減少了多少?A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是多少？在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

小球A用不可伸長(zhǎng)的輕繩懸于O點(diǎn)，在O點(diǎn)的正下方有一固定的釘子B,OB=d，初始時(shí)小球A與O同水平面無初速釋放，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，為使球能繞B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，試求d的取值范圍？OhI■Im |，|m如圖所示，桌面上有許多大小不同的塑料球，它們的密度均為P，有水平向左恒定的風(fēng)作用在球上；使它們做勻加速運(yùn)動(dòng)(摩擦不計(jì))，已知風(fēng)對(duì)球的作用力與球的最大截面面積成正比，即F=kS(k為一常量).(1)對(duì)塑料球來說，空間存在一個(gè)風(fēng)力場(chǎng)，請(qǐng)定義風(fēng)力場(chǎng)強(qiáng)度及其表達(dá)式.(2)在該風(fēng)力場(chǎng)中風(fēng)力對(duì)球做功與路徑無關(guān)，可引入風(fēng)力勢(shì)能和風(fēng)力勢(shì)的概念，若以柵欄P零風(fēng)力勢(shì)能參考平面，寫出風(fēng)力勢(shì)能Ep和風(fēng)力勢(shì)U的表達(dá)式。⑶寫出風(fēng)力場(chǎng)中機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式.(球半徑用r表示；第一狀態(tài)速度為v1，位置為x1；第二狀態(tài)速度為七，位置為X2)將細(xì)繩繞過兩個(gè)定滑輪A和B.繩的兩端各系一個(gè)質(zhì)量為m的祛碼。A、BOhI■Im |，|m如圖所示，桌面上有許多大小不同的塑料球，它們的密度均為P，有水平向左恒定的風(fēng)作用在球上；使它們做勻加速運(yùn)動(dòng)(摩擦不計(jì))，已知風(fēng)對(duì)球的作用力與球的最大截面面積成正比，即F=kS(k為一常量).(1)對(duì)塑料球來說，空間存在一個(gè)風(fēng)力場(chǎng)，請(qǐng)定義風(fēng)力場(chǎng)強(qiáng)度及其表達(dá)式.(2)在該風(fēng)力場(chǎng)中風(fēng)力對(duì)球做功與路徑無關(guān)，可引入風(fēng)力勢(shì)能和風(fēng)力勢(shì)的概念，若以柵欄P零風(fēng)力勢(shì)能參考平面，寫出風(fēng)力勢(shì)能Ep和風(fēng)力勢(shì)U的表達(dá)式。⑶寫出風(fēng)力場(chǎng)中機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式.(球半徑用r表示；第一狀態(tài)速度為v1，位置為x1；第二狀態(tài)速度為七，位置為X2)參考答案：1.C2.BCD3.BCD4.解：由機(jī)械能守恒定律，取小滑輪處為零勢(shì)能面.=一mgL——+1—mv225.解：第一次恰能抵達(dá)B點(diǎn)，不難看出vB1=0由機(jī)械能守恒定律mgh1=mgR+1/2?mvB12第二次從B點(diǎn)平拋R=vB2t參考答案：1.C2.BCD3.BCD4.解：由機(jī)械能守恒定律，取小滑輪處為零勢(shì)能面.=一mgL——+1—mv225.解：第一次恰能抵達(dá)B點(diǎn)，不難看出vB1=0由機(jī)械能守恒定律mgh1=mgR+1/2?mvB12第二次從B點(diǎn)平拋R=vB2tR=1/2?gt2VB26.7.mgh2hlh2=mgR+1/2?mvB22=5R/4:h2=4：5答案：Q）v=2uH11解：（i）AEp=mgr-mgr/2=mgr/2(2)由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律得2mgr一mv"二m21 5=—m?一v22 4a左偏離豎直方向的最大角度是9,由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律得mgrXcos9-mgr/2X(1+sin9)=02cos9=1+sin9,4(1-sin29)=1+2sin9+sin20,5sin20+2sin9-3=0Sin9=0.6.?.9=37°2/r解：設(shè)BC=r，若剛能繞B點(diǎn)通過最高點(diǎn)D,必須有(1)2/r由機(jī)械能守恒定律

mg(L-2r)=1/2mvd2 (2).??r=2L/5d=L-r=3L/5?.?d的取值范圍 3/5Ld<L解：(1)如答案圖(a