第五講：單變量描述統(tǒng)計(jì)集中趨勢(shì)測(cè)量

＆離散趨勢(shì)測(cè)量1知識(shí)點(diǎn)：

兩個(gè)維度——七個(gè)統(tǒng)計(jì)量數(shù)2學(xué)習(xí)要求1、集中趨勢(shì)各測(cè)量法的計(jì)算方法；2、集中趨勢(shì)各測(cè)量法的特點(diǎn)和應(yīng)用；3、離散程度各測(cè)量法的計(jì)算方法；4、離散程度各測(cè)量法的特點(diǎn)與應(yīng)用；

3集中趨勢(shì)測(cè)量/分析集中趨勢(shì)測(cè)量：用某一個(gè)典型的變量值或特征值來代表全體變量的問題，這個(gè)典型的變量值或特征值就稱作集中值或集中趨勢(shì)?！锉娭担∕ode)——定類層次★中位值（Median)——定序?qū)哟巍锞担∕ean)——定距層次5一、眾數(shù)（mode）1、出現(xiàn)頻次最多的變量值；2、眾數(shù)的不唯一性；3、主要應(yīng)用于定類變量，當(dāng)然也可以應(yīng)用于定序和定距變量6

眾數(shù)的特點(diǎn)：不唯一性原始數(shù)據(jù)：4、5、7、8、19（無眾值）原始數(shù)據(jù)：4、5、7、5、5、16（一個(gè)眾值）原始數(shù)據(jù)：4、4、5、7、7、9（兩個(gè)眾值）7例2分組數(shù)據(jù)收入(元)fCf↑Cf↓500-6991010550700-8996575540900-10991262114751100-12991583693391300-14991415101811500-16994055040總數(shù)5509從分布來看，眾數(shù)是具有明顯集中趨勢(shì)點(diǎn)的數(shù)值，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)值及為眾數(shù)。10二、中位值（Median）1、把一組數(shù)據(jù)按順序排列，處于中間位置的那個(gè)數(shù)值就是中位值。2、主要應(yīng)用于定序變量，也可用于定距變量，但不可用于定類變量。50%50%Md11（1）、個(gè)案數(shù)為奇數(shù)【例1】：甲地的5戶人家的人數(shù)為：2，4，3，6，8，求中位值。

解：Md的位置＝＝＝3排序2，3，4，6，8中位值Md=413（2）個(gè)案數(shù)為偶數(shù)【例2】：乙地的6戶人家的人數(shù)為：2，4，3，6，8，5求中位值。解：Md的位置＝＝＝3.5排序2，3，4，5,6，8Md==4.514（3）頻數(shù)分布表【例3】根據(jù)下表求中位值。解：Md位置＝＝

＝250.5中位值Md＝乙15L：中位數(shù)組的下限f：中位數(shù)組的頻數(shù)w：中位數(shù)組的組距（U-L）cf：低于中位數(shù)組下限的累加次數(shù)n：全部個(gè)案數(shù)Md位置=n/2（上下各50%的位置）17例：分組數(shù)據(jù)：首先將各組的次數(shù)累加起來求中位數(shù)的位置：Md位置=n/2=212/2=106第106個(gè)位置在25-35之間18分組變量看作是一組連續(xù)的數(shù)值259435124?10610301219三、均值1、均值的定義：總體各單位取值之和除以總體單位數(shù)目。2、僅適用于定距變量，不適用于定類和定序；211、未分組數(shù)據(jù)

（1）簡單原始資料求均值22均值的計(jì)算——未分組數(shù)據(jù)【例5】某班10名學(xué)生年齡分別為20、21、19、19、20、20、21、22、18、20歲，求他們的平均年齡。解：根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式有：23未分組數(shù)據(jù)加權(quán)平均數(shù)【例6】調(diào)查某年120名學(xué)生的年齡，結(jié)果如下表，求平均年齡。解：根據(jù)公式得＝18.9歲252、分組資料求均值：根據(jù)組中值求均值先求出組中值組中值=（上限+下限）/2計(jì)算組中值的和計(jì)算分組數(shù)據(jù)的均值組中值26眾值、中位數(shù)和均值的比較1注：▲表示該數(shù)據(jù)類型最適合用的測(cè)度值27中位數(shù)和平均數(shù)的比較計(jì)算平均數(shù)時(shí)用到數(shù)據(jù)中所有的數(shù)值，而求中位數(shù)時(shí)只用到數(shù)值的相對(duì)位置，平均數(shù)比中位數(shù)利用了更多的有關(guān)數(shù)據(jù)的信息平均數(shù)容易受到極端值的影響，而中位數(shù)則不會(huì)受這種影響。當(dāng)樣本中數(shù)據(jù)值的分布是高度傾斜的，中位數(shù)一般比平均數(shù)更適合一些如100，200，400，500，600，均值為360，中位數(shù)為400100，200，400，500，1000，均值為440，中位數(shù)為40029對(duì)隨機(jī)抽樣調(diào)查來說，平均數(shù)比中位數(shù)更穩(wěn)定，它隨樣本的變化比較小平均數(shù)比中位數(shù)更容易進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算。30眾數(shù)、中位數(shù)、均值比較2但兩種情況不宜用均值：(1)分組數(shù)據(jù)的極端組沒有組限。(2)個(gè)別數(shù)值非常特殊。3132練習(xí)：

求下表(單項(xiàng)數(shù)列)所示數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。人口數(shù)（X）戶數(shù)(f)頻率(P)23456785816106410.100.160.320.200.120.080.02合計(jì)501.0033求下表所示數(shù)據(jù)的的算術(shù)平均數(shù)間距頻數(shù)（f）組中值（X)148―152152―156156―160160―164164―168168―172172―176176―180180―184184―188188―192192―19612510192517125301150154158162166170174178182186190194合計(jì)100——34求54，65，78，66，43這些數(shù)字的中位數(shù)。求54，65，78，66，43，38這些數(shù)字的中位數(shù)。35某年級(jí)學(xué)生身高如下，求中位數(shù)36人口數(shù)（X）戶數(shù)(f)頻率(P)23456785816106410.100.160.320.200.120.080.02合計(jì)501.00求下表中的眾數(shù)37求下表中的眾數(shù)38

城鎮(zhèn)自殺率的分組次數(shù)分布自殺率次數(shù)真實(shí)組限組中值向上累積次數(shù)3-5126-8359-118112-145215-173018-20721-23924-263合計(jì)22939第五講單變量的描述統(tǒng)計(jì)（2）

離散趨勢(shì)測(cè)量40離散趨勢(shì)測(cè)量（Measuresofdispersion）反映的是各變量值偏離其中心值的程度，是個(gè)案與個(gè)案之間的差異情況。這種測(cè)量法，與前面所講的集中趨勢(shì)測(cè)量法具有相互補(bǔ)充的作用。集中趨勢(shì)求出的是一個(gè)最能代表變量所有資料的值，但是集中趨勢(shì)值代表性的高低還要看各個(gè)個(gè)案之間的差異情況。41舉例：某校3個(gè)系各選5名同學(xué)參加智力競(jìng)賽，他們的成績?nèi)缦拢褐形南担?8，79，80，81，82

（＝80）數(shù)學(xué)系：65，72，80，88，95（＝80）英語系：35，78，89，98，100（＝80）如果僅從集中趨勢(shì)測(cè)量（平均分?jǐn)?shù)）來看，這三個(gè)系的成績都一致，不存在什么差別。但從直觀上可看出，三個(gè)系選手之間的差距程度（離散程度）很不一樣……？？？42

異眾比率/離異比率（Variationratio)——定類層次四分位差（Interquartilerange)——定序?qū)哟畏讲睿╒ariance)標(biāo)準(zhǔn)差（Standarddeviation)——定距層次43一、異眾比率（Variationratio)1、異眾比率(簡寫Vr)：指非眾值在總數(shù)中所占的比率。表示以眾數(shù)來預(yù)測(cè)一組數(shù)據(jù)時(shí)，所犯錯(cuò)誤的大小.即Vr值越大,則眾值的代表性就越小.Vr值越小,則眾值的代表性就越大.2、計(jì)算公式：：眾值的頻次44異眾比率(先找出眾值.找到眾值的頻次分布)【例1】：根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算眾值和異眾比率。解：眾值Mo＝“核心家庭”異眾比率45例2：眾數(shù)和異眾比率的比較表2甲乙兩校學(xué)生的父親職業(yè)甲乙兩校學(xué)生的父親職業(yè)的眾數(shù)都為“農(nóng)民”甲校乙校眾數(shù)的代表性中甲校小于乙校，甲校中有47.6%非農(nóng)民，乙校只有38.5%.46異眾比率&眾值異眾比率是眾值的補(bǔ)充。取值范圍是[0，1]。不屬于眾數(shù)的個(gè)案所占的比例愈大，就表示眾數(shù)的代表性愈小，以之作估計(jì)或預(yù)測(cè)時(shí)所犯的錯(cuò)誤也就愈大。當(dāng)Vr＝0，說明變量只有一個(gè)值，那就是眾值；當(dāng)Vr0，說明資料比較集中，眾值的代表性比較高；當(dāng)Vr1，說明資料比較分散，眾值的代表性低。47二、四分位差（Interquartilerange)

將數(shù)據(jù)由低至高排列，然后分為四等分（即每個(gè)等分包括25％的數(shù)據(jù)），第一個(gè)四分位置的值（Q1）與第三個(gè)四分位置的值（Q3）的差異，就是四分位差（簡寫為Q）。Q1Q2Q3Q425%25%25%25%481.離散程度的測(cè)度值之一2.也稱為內(nèi)距或四分間距3.上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差4.反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度5.不受極端值的影響6.用于衡量中位數(shù)的代表性49基本公式求位置，找出4分位對(duì)應(yīng)的數(shù)值Q1=

Q3=四分位差Q＝Q3－Q1。501、根據(jù)原始未分組資料求四分位差解：

Q1的位置＝=75.25Q3的位置＝＝225.75那么Q1＝不滿意；Q3＝一般Q＝Q3－Q1＝一般－不滿意結(jié)論，有一半的家庭對(duì)住房評(píng)價(jià)在不滿意到一般之間。表甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410894443024132226270300合計(jì)300—【例3】求下表的四分位差51例4：調(diào)查甲乙兩村的家庭人數(shù)其中甲村有11戶人家，每戶人數(shù)為2，2，3，4，6，9，10，10，11，13，15乙村有8戶人家，每戶人口數(shù)為2，3，4，7，9，10，12，12則甲村中：Q1位置=（n+1）/4=（11+1)/4=3，Q1=3Q3位置=3（n+1)/4=9，Q3=11

Q=Q3-Q1=11-3=8則乙村中：Q1位置=（n+1）/4=2.25，Q1=3+0.25(4-3)=3.25Q3位置=3（n+1)/4=6.75，Q3=10+0.75(12-10)=11.5

Q=Q3-Q1=11.5-3.25=8.25甲的離散程度低于乙村，以中位置估計(jì)甲乙兩村的人口數(shù)時(shí)，在甲村犯的錯(cuò)誤小于乙村522、根據(jù)分組資料求四分位差有四步：計(jì)算向上累加次數(shù)求出Q1和Q3的位置

Q1=Q3=參考累加次數(shù)分布，決定Q1和Q3屬于哪一組從所屬組中，計(jì)算Q1位置和Q3位置的數(shù)值。53公式如下：L1=Q1屬組之真實(shí)下限L3=Q3屬組之真實(shí)下限f1=Q1屬組之次數(shù)f3=Q3屬組之次數(shù)cf1=低于Q1屬組之累計(jì)次數(shù)cf3=低于Q3屬組之累計(jì)次數(shù)w1=Q1屬組之組距w3=Q3屬組之組距n=全部個(gè)案數(shù)目54四分位差&中位數(shù)四分位差反映的是中位數(shù)的代表性差距越大，中位數(shù)的代表性越小，用中位數(shù)估計(jì)變量時(shí)所犯的錯(cuò)誤越大；反之，中位數(shù)的代表性越大，用中位數(shù)作估計(jì)犯的錯(cuò)誤越小。55三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差1. 離散程度的測(cè)度值之一2. 最常用的測(cè)度值3. 反映了數(shù)據(jù)的分布4.反映了各變量值與均值的平均差異5.根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差4681012X=8.356三、方差與標(biāo)準(zhǔn)差所謂方差（Variance)，觀察值與其均值之差的平方和除以全部觀察總數(shù)N。方差的平方根就是標(biāo)準(zhǔn)差（Standarddeviation)，用或S57表示以均值作代表值時(shí)引起的偏差或錯(cuò)誤，也就是說用均值來估計(jì)或預(yù)測(cè)各個(gè)個(gè)案的數(shù)值，所犯的錯(cuò)誤（）平均是σ標(biāo)準(zhǔn)差是用得最多，也是最重要的離散量數(shù)的統(tǒng)計(jì)量；方差是統(tǒng)計(jì)學(xué)上的一個(gè)重要概念，在以后的統(tǒng)計(jì)方法學(xué)習(xí)過程中會(huì)進(jìn)一步了解；只適用于定距層次的變量；58總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差未分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式59樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!未分組數(shù)據(jù)60樣本方差的

自由度(degreeoffreedom)一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為

n時(shí)，若樣本均值x

確定后，只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)則不能自由取值例如，樣本有3個(gè)數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則x=5。當(dāng)x

=5

確定后，x1，x2和x3有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個(gè)則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面來解釋，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差去估計(jì)總體方差σ2時(shí)，