第三節(jié) 量的函數(shù)及其分布(單個

一、問題的在實際中，人們常常對 量的函數(shù)更 例如，已知圓柱截d的分

求截面面積A

πd4

的分布 已知tt0時刻噪聲電壓V的分

設 量X的分布已知，Y=g(X)(設是連續(xù)函數(shù)），如何由X的分布求出Y的0t 布？這個問題0t 是重要的求功率W=V2/R(R為電阻）的分布等

下面我們分離散型和連續(xù)型兩種情況行討論 二、離散型 量的函數(shù)的分設g(x)是定義在隨 量X的一切可能值x 函數(shù)，記為問題如何根據(jù)已知的隨 量Y=g(X)的分布？

例1X的分布律 YX2的分布律解Y的可能值為(1)2,02,12,即0,1,P{Y0}P{X20}P{X0}14 P{Y1}P{X21}P{(X1)(XP{X1}P{X1}111 P{Y4}P{X24}P{X2}14

離散型 量的函數(shù)的分布如果X是離散型 量，其函數(shù)Yg(XXXY的分布律

則YgX)的分布律f(f(Xg(x1))由此歸納出離散型 量函數(shù)的分布的求法gxk中有值相同的應將相pk合并 例解 三、連續(xù)型 量的函數(shù)的分設X是連續(xù)型 量 Yg(X

解 先求Y=2X+8的分布函數(shù)FY(FY(y)P{Yy}P{2X8下面給出兩種方法來求Y的概率密度函

P{X

y2

fX(x)d分布函數(shù)先求 再求

2o由分布函數(shù)求概率密度yf(y)F(

[

fX(x)d例3設 量X的概率密度

f(y8)(y8)f(y8)f(x)x/

0x

其它

變限的定如果Fx(x)f求 量Y2X8的概率密度

積分的 (x導公 則F(x)f[(x)](x)f[(x)]( f(y)f(y8) 1(y8

fX(x)0y82其它

0x

定理設隨量X的具有概率密度fX(x),其中xgx處處可導且恒有g(shù)x)0(或恒gx0則稱Yg(X是連續(xù)型隨量其概率密度為f(y)fX[h(y)]h(y) αyy8 8y

其他

其它

其中αmin(g(),g()),βmax(g(hy)gx的反函數(shù) 證若gx)ygx)單調(diào)增加，且xhy)在()上單調(diào)增加y時，F(xiàn)YyP{Yyy時，F(xiàn)YyP{Yy f(y)dFY(y)

FY(y)P{YP{Y}P{Y0P{Y于是FY(y)P{Y (yP{Xh(h(y d

fX(x)d當y時，F(xiàn)YyP{Y FY(y)

fX(x)d

(y

例4設 量X具有概率密度fX( x求 量YX2的概率密度fY(當yf(y)dFY( d

設X的概率密fX(x)

1x其他 f1(ydy[ fX(x)dfX[h(y)][h(

YX2的概率密度(1)分別記X和Y的分布FXx)FY(y 第1求Y的分布函數(shù)FYFY(y)P{Yy}P{X2

(2)代入的概率密度的P{yX

y

yf

y

f(y)

y2

,0 y

f(y)

y

,1y y

y

其他

其他

fY(y

y

所以

y y y y)

y y

y

f(y)

0yfY(y)FY(y)

y y [f y)f y y

其他 y

0y其他例5設 量X~N(,2),試證明X的線性函YaXb(a0)也服從正態(tài)

由公式fYy)fX[hy)][h YaXb的概率密度aX的概率密度a

y y (

fY(y)

fX

af(x) e

,x

(ybygxaxy

YaX~N(aμb,(aσ)2得xh(y) a

[h(y

a

a

[2(aσ

y 例 設X~U(0,1),求YeX的密度函數(shù)

fY(y)

fX[h(y)][h(

0y其他解X~UX的密度函

1[h(

0h(y)其他f(x)

x

11

0lnyX方法1(公式法

x

其他yex在(,)上可導，單

1,1yxh(y)ln

[h(y)]y

其他 方法2(分布函數(shù)法

lny

(x)dx

lny0lnyY0F(y)P{Yy}P{eX Y0P{Xln

yy

fX(x)dx

lny

y

lny1dx

lny0lny1ln 1

fX(x)d

y

lny

01dx

lny當 0時 fX(x)d

lnf(x)d

0lny

y fX(x)d

lny

lny

1yye FY(y)

y 0yln 1y

例7設隨 量X分布函數(shù)F(x)是嚴格上服從均勻分布. ye從而fydFY d1 1y

證 F(x)是分布函 0Fx)1,且Fx)單調(diào)不減依題意Fx)嚴格單調(diào)增加故yFY(y)P{Yy}P{F(X) 其他 FY(y)P{Yy}P{F(X)

fY(y)[FY(yP{F(X)P{XF1(

y0yyy0yy

0y 其他[01]F[F1(

y0, 0y1,

y0y

y

y 內(nèi)容小離散型 量的函數(shù)的分

連續(xù)型 量的函數(shù)的分如果X是離散型 量,其函數(shù)Yg(XXX

方法

FY(y)P{Yy}P{g(X)f(x)yfX(x (x則YgX)的分布

再對FY(y)求導得Y的密度函數(shù)方法f[h(y)][h(y)],yYf(Xg(x1)g()gxk中有值應將相應的pk合并

fY(y)注意條件

其它思考設g(x)是連續(xù)函數(shù)，若X是離散型隨 則Yg(X)也是離散型隨 量，它的取值是有限 量，若X是連續(xù)型 量，那么Y不一定是連續(xù)型 量

例如設X在(0,2)上服從均勻分1 0xfX(x)0,其他 0x又設連續(xù)函數(shù)ygx) 1x則YgX的分布函FYy可以計算出來由于Y的取值為 所y0時FYyP{Yyy1時FYyP{Yy當0y1時FYyP{YyPgX

y2故Y的分布函數(shù)為FY(Y) 0y21,yyy

(x)dx y1dxy

量，又因為FYy)不是階梯函數(shù)，故YgX也不是離散型 量 例2-1測量一類圓形物體的半徑X為 量其分布列

所以Y1的分布列 求圓周長Y1和圓面積Y2的分布列Y12πX和Y2πX2都是X的函數(shù)，Y1和Y2各自

例2‐2設某工程隊完成某項工程所需時間X(天)近似服從N(100,52)工程隊規(guī)定:若工程在100天內(nèi)完工可超過115天完工,罰款5萬元,求該工程隊在完成此

Φ(115100) Φ(3)Φ(0)5P{Y10}P{X100}5工程時，所獲獎金的分布列

(0)所以所獲獎金Y的分布列解X~N(100,52Y是X的函數(shù)可取值10,3,5.5P{Y5}P{115X}151Φ(3)P{Y3}P{100X

例2‐3已知 量Ｘ的密度函數(shù)

例4‐1(講設X~N(0,1),求下列函數(shù)的密度函數(shù)f(x)

x

xπe試求 量Yg(X)的概率密度，其

YX2 (2)YX 當x

分析yx2在(,)內(nèi)不單調(diào)g(x)

當x

yx在x0處不可導，解因為fx)為偶函數(shù)所PX0)PX0) 由此可

故不能直接用定理解(1)FYyP{Yy}PX2P(Y1)P(X0)P(X0)P(Y1)

y所以Y的分布列為P

-

P{

y yX(y)

y yy yy

f(y)dFY( d d y)

y)y y

yy2(y) y y

1 y

yyFYy2(y

y

y y

FY(y)P{Y

y1

y

P{Xy} 20,

y0,y

2(y)

P{yXy},y0,y

y e2, y0.2π0,

y0,

f(y)dFY( d

22(

yy

y即fyY

2

y0.

y 2π

2(

y

12 2

e

y 例 設 量X的概率密度

f(x)dx

f(x)d

xy y

fX(x) x3ex2 x3ex2

xx

再由分布函數(shù)求概率密度

x3ex x求 量YX2和Y2X3的概率密度

fY(y)FY(y)

y y)f y y 解先求 量YX2分布

y)3e( y)20 FYyP{Yy}PX2 (y0時P{yX FX y)FX

ye

,yy Y=2X+3時,y2x3x

y32