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初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)第十七講*會集與簡單邏輯

17．1會集

我觀察某些事物的候，常常要考由些事物成的集體，我把個集體叫作會集．成某個會集的事物，叫作個

會集的元素．平時用大寫字母A，B，C?等表示會集，小寫字母a，b，c，?等表示元素．假如m是會集A的元素，就m屬于A，作m∈A．假如

n

你的家庭中全部成成一個會集，你和你的家庭中的其余各個成都是個會集中的元素．

自然數(shù)全體1，2，3，?成一個會集(平時把它叫作自然數(shù)集)．

假如A，B是平面上兩個不一樣樣的點，那么A，B兩點所確立的直上的點成一個會集，條直上每個點都是個會集

的元素．

之，會集是數(shù)學(xué)中一個最基本、最常用的看法，下邊一步同學(xué)介一些關(guān)于會集的基本知．

1．會集的描述方法

列法

當(dāng)一個會集所含元素個數(shù)少，一個最的描述方法就是把它所含的每個元素都列出來，叫列法．用列法表示會集，平時是將個會集的每個元素一一填寫在｛｝中，每個元素之用逗點分開．填寫會集的元素，與元素的擺列次序沒關(guān)．比方：

由a，b，c，d，e五個小寫字母成的會集A，作

A=｛a，b，c，d，e｝，

也可作

A=｛b，a，c，d，e)．

由小于40的數(shù)成的會集B，作

B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．

(iii)平方等于1的有理數(shù)會集C，作

三條直l1，l2，l3成的會集D，作

D=｛l1，l2，l3｝．

特色性描述法

當(dāng)一個會集所含元素多，用列法描述很麻，就要用到特色性描述法．

所特色性是指會集中元素的特色性，即：(i)個會集中每個元素都擁有些性；(ii)擁有些性的事物都是個會集的元素．

比方，會集=｛1,-1｝用特色性描述法表示就是

A=｛x│x2=1｝，

也許

A=｛x││x│=1｝．

全體偶數(shù)成的會集B，用特色性描述法表示就是

B=｛x│x是能被2整除的整數(shù)｝，

也許

B=｛2n│n是整數(shù)｝．

全體奇數(shù)成的會集C，用特色性描述法表示就是

C=｛x│x是不可以被2整除的整數(shù)｝，

也許

C=｛2n＋1│n是整數(shù)｝，

C=｛2n-1│n是整數(shù)｝．

一般地，用特色性α表示會集A的形式是：

A=｛x│x擁有性α｝．

2．會集之的關(guān)系和運算

包括與子集

C=｛1，-1｝．

你班上的同學(xué)的會集和你學(xué)校的同學(xué)的會集之間的關(guān)系是：前者是后者的子集，后者包括前者．

設(shè)會集

例1設(shè)A=｛1，2，3，4｝，試寫出A的全部子集．

｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝．

交集運算

關(guān)于給定的會集A，B，由它們的公共元素所構(gòu)成的會集叫作

會集A與B的交集．我們用A∩B表示A，B的交集(圖2-88)．例

如

如圖2-89，設(shè)

A=｛x│x是12的正因數(shù)｝，

則

A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝．

所以A∩B=｛6，12｝．

(ii)設(shè)l1，l2是平面上兩條不一樣樣的直線，則l1∩l2就是由它

們的交點構(gòu)成的會集．

假如l1與l2訂交于一點P，則l1∩l2=｛P｝(圖2-90)；

并集運算

關(guān)于給定的兩個會集A，B，把它們所含的元素合并起來所構(gòu)

成的會集，叫作會集A，B的并集，我們用符號A∪B表示A，B

的并集(圖2-92)．比方

(i)設(shè)M，N分別表示你班上男生、女生的會集，那么M∪N

就是你班上同學(xué)的會集．

設(shè)

A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，

則A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．

注意在求上述會集A，B的并集時，固然在A，B中都有3

和5，但在A∪B中，3，5只取一次．

設(shè)E=｛x│x是實數(shù)，且x≥4｝，

F={x│x是實數(shù)，且x≤-4}，G={x│x2≥16}．

則E∪F=G．

一般地說，假如α，β分別是會集A，B的特色性質(zhì)，即

B=｛x│5＜x＜13，x是整數(shù)｝，

A={x│x擁有性質(zhì)α}，B=｛x│x擁有性質(zhì)β｝，則A∪B就是那些擁有性質(zhì)α或性質(zhì)β的元素構(gòu)成的會集，也就是

A∪B=｛x│x擁有性質(zhì)α或β｝，

也許

A∪B={x│x∈A或x∈B}．

例2設(shè)

A={x│x是12的正因數(shù)}，B={x│x是18的正因數(shù)}，

C={x│0≤x≤5，且x∈Z}．

求：(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C．

解依據(jù)已知條件，用填文氏圖各地域的元素的方法來解決(如圖2-93(a)，(b)).

(1)A∩B∩C=｛1，2，3｝；

(2)A∪B∪C=｛0，1，2，3，4，5，6，9，12，18｝．

例3設(shè)A={1，a，a2}，B={1，a，b)，假定A，B中的元素都是整數(shù)，而且A∩B=｛1，3｝，A∪B=｛1，a，2a，3a｝，求a，

的值．

解因為A=｛1，a，a2｝，B=｛1，a，b｝，所以

A∩B＝｛1，a｝．

已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又因為

A∪B=｛1，a，b，a2｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，

所以b=6．

§17．2簡單邏輯

邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思想法規(guī)的一門學(xué)科．?dāng)?shù)

學(xué)和邏輯的關(guān)系特別親近，在此，對邏輯知識做一些初步介紹．

1．推出關(guān)系

假如設(shè)A={x│x是4的倍數(shù)}，B={x│x是2的倍數(shù)}，則A中元素?fù)碛行再|(zhì)α——4的倍數(shù)；B中元素?fù)碛行再|(zhì)β——2的倍數(shù)．我們知道：假如某元素x是4的倍數(shù)，那么x必然是2的倍數(shù)，即擁有性質(zhì)

一般地說，假如擁有性質(zhì)α的元素也擁有性質(zhì)β，我們便說由α推

下邊再舉一個例子．

2．命題和證明

命題和抗命題

人們在思想活動中，常常要對客觀事物做出判斷．比方：

雪是白的；

假如∠1和∠2是對頂角，那么∠1=∠2；

(iii)3+4=6；

上述所列都是對客觀事物做出判斷的語句．人們對客觀事物

的狀況做出判斷可能是正確的(真)，也可能是錯誤的(假)．我們

把必然或否定的判斷語句叫作命題．上述語句(i)，(ii)，(iii)，

都是命題．

關(guān)于命題的真假性，有些簡單判斷，如(i)，(ii)是真命題，

(iii)是假命題．但對(iv)的真假性就不是明顯可判斷的．可經(jīng)過

設(shè)x=1，y=0(x＞y)，那么

所以，命題(iv)為假命題(注意：證明一個命題為真命題，必然經(jīng)過邏輯推演，但要證明一個命題為假命題只須舉出一個反例

即可)．

數(shù)學(xué)命題擁有多種形式，常常采納的命題形式是“若α，則β”，“假如α，那么β”．

命題“若α，則β”或是真命題，或是假命題，兩者必居其

一．“若

當(dāng)由α不可以能推出β時，“若α，則β”即是假命題．

在命題“若α，則β”中，α叫作這個命題的條件，β叫作這個命題的結(jié)論．假如將命題“若α，則β”的條件和結(jié)論互換，就獲取一個新命題“若β，則α”，這兩個命題之間擁有互連關(guān)系，此中一個叫作原命題時，則另一個命題就叫作這個原命題的抗命題．

當(dāng)“假如α，則β”為真命題時，它的抗命題“假如β，則α”不用然是真命題．比方：

“假如2×3=6，那么6÷3=2”是真命題．它的抗命題“假如6÷3=2，那么2×3=6”也是真命題．

“若a=0而且b=0，則ab=0”是真命題，但它的抗命題“若ab=0，則a=0而且b=0”就不是真命題．

“假如∠1，∠2是對頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它的抗命題“∠1=∠2，那么∠1，∠2是對頂角”就是假命題．

證明

我們要說明“若α，則β”是真命題時，以什么方式來推證呢？最常用的基本格式就是推出關(guān)系的傳達性，即：

假如

那么

比方，(i)若

1和∠2是對頂角，①對頂角相等，②

則∠1=∠2．③

張三是人，①

凡人必有死，②

所以張三必有死．③

上述推理格式叫作三段論式，推理中的①，②是兩個前提條件，①叫小前提，②叫大前提，③是由①，②推出的結(jié)論．

實質(zhì)上，三段論式和推出關(guān)系的傳達性是一致的．比方“對頂角相等”的證明過程，可以像下邊這樣來理解．

已知：∠1是∠2的對頂角(圖2-98)，求證：∠1=∠2．

證

從上述證明過程可知，要證明“若α，則β”，我們先想法找出一

應(yīng)用已經(jīng)被確認(rèn)的正確命題和已知條件作依據(jù)，經(jīng)過推演，

導(dǎo)出某一命題成立，這類方法就叫作演繹推理法(簡稱演繹法)．演繹法是證明數(shù)學(xué)問題的重要方法．

a2＋b2＋c2

(a+b-c)2=a2+b2+c2.

例2某校數(shù)學(xué)競賽，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H八位同學(xué)獲取

了前八名，老師叫他們猜一下誰是第一名．A說：“也許F，也許

H是第一名．”B說：“我是第一名．”C說：“G是第一名．”D說：“B不是第一名．”E說：“A說的不對．”F說：“我不是第一名．”G說：“C不是第一名．”H說：“我同意A的建議．”老師說八個人中有三人猜對了，那么試問第一名是誰？

分解與解由已知條件可知：A與H同真假，E與F同真假，B

與D必然一真一假．

假如A與H猜對了，那么D與G也都猜對了．這樣就有四人猜對，不合題意，所以，A與H必然都猜錯了．

(ii)假如E與F猜對了，即F與H都不是第一名，這時若B

猜對了，那么D就猜錯了，C也猜錯了，G猜對了，這樣，就有E，F(xiàn)，B，G四人猜對，也與題意不符．所以B猜的不對，D猜對了，

這時已有E，F(xiàn)，D三人猜對，所以G，C都必然猜錯了，所以C

是第一名．

練習(xí)十七

1．已知A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，C={2，3，5，

8}，寫出會集：

(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C；

(3)A∩(B∪C)；(4)A∪(B∩C)．

5．寫出以下命題的抗命題，并指出其真假．

(1)若a=b，則(a-b)2=0；

22(2)若a=b，則a-b=0；

(3)若a≠b，則a2＋b2＞2ab；

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